1、3.4 函数的应用()课时过关能力提升1 某公司为了适应市场需求,对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案 D2 当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()A.y=100 xB.y=log100 xC.y=x100D.y=100 x解析由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,函数 y=100 x的增长速度最快.答案 D3 化学上通常用 pH 来表示溶液酸碱性的强弱:pH=-lgc(H+),其中 c(H+)
2、表示溶液中 H+的浓度.若一杯胡萝卜汁的 pH 比一杯葡萄汁的 pH 小 2,则胡萝卜汁中 c(H+)是葡萄汁中 c(H+)的倍数为()A.2B.10C.100D.200解析设胡萝卜汁中的 c(H+)和葡萄汁中的 c(H+)分别为 a 和 b,依题意有 lg b-lg a=-2,因此 lg =-2,即 a=100b.答案 C4 今有一组数据如下表所示:t 1.993 3.002 4.001 5.032 6.121 s 1.501 4.413 7.498 12.04 17.93 现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是()A.s=2t-3+1B.s=log2tC.s=t
3、2-D.s=2t-2解析画出散点图如图所示.由散点图可知,此函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项 A;函数的图象不是直线,排除选项 D;函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项 B.答案 C5 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了()A.10 天B.15 天C.19 天D.2 天解析荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关系为 y=2x,当 x=20 时,长满水面,故生长 19 天时,布满水面一半.答案 C6 某种动物繁殖数量 y(单位:只)与繁殖时间
4、x(单位:年)的关系为 y=alog2(x+1),设这种动物第一年有 100 只,则第七年它们发展到()A.300 只B.400 只C.500 只D.600 只解析由题意,知当 x=1 时,y=100,即 100=alog22,即 a=100,故 y=100log2(x+1).于是当 x=7 时,y=100log28=300(只).答案 A7 某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是()A.y=100 xB.y=50 x2-50 x+10
5、0C.y=502xD.y=100log2x+100解析由所给数据,再根据不同函数的不同增长特点可知最好的模型为指数型函数,故选 C.答案 C8 有浓度为 a%的酒精一满瓶共 m 升,每次倒出 n 升,再用水加满,一共倒了 10 次,则加了 10 次水后瓶中的酒精浓度是 .解析第一次加满水时,瓶中酒精的浓度为(-)a%,第二次加满水时,瓶中酒精的浓度为(-)(-)a%=(-)a%,依次可得第 n 次加满水时,瓶中酒精的浓度为(-)a%.答案(-)a%9 某化工企业生产一种溶液,按市场要求杂质含量不能超过 0.1%,若最初含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,则至少应该过滤 次才能达到市场要
6、求.(取 lg 20.301 0,lg 30.477 1,lg 50.699 0)解析设该过滤 n 次,则 2%(-)0.1%,即 n -7.4,即 n7.4,因此至少应经过 8 次过滤才能达到市场要求.答案 810 有时可用函数 f(x)=-描述学习次数对某学科知识的掌握程度,其中 x(xN+)表示对某学科知识的学习次数,f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关.(1)证明:当 x7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降;(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121,(121,127,(127,133.当学习某学科知识 6
7、次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.(1)证明当 x7 时,f(x+1)-f(x)=-.当 x7 时,函数 y=(x-3)(x-4)是单调递增的,且(x-3)(x-4)0.故 f(x+1)-f(x)是单调递减的.因此,当 x7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降.(2)解由题意,知 0.1+15ln -=0.85,整理得 -=e0.05,解得 a=-6123,123(121,127.故该学科是乙学科.11 据预测,我国在“十三五”期间某产品的市场价格与市场供应量 P 的关系近似地满足:P(x)=-(其中 t为关税的税率,且 t ,x(单位:元)为市场价格,b,k 为正常数),当 t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象求 k,b 的值;(2)若市场需求量为 Q,它近似满足 Q(x)=-,当 P=Q 时,市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于 9 元的范围内,求税率 t 的最小值.解(1)由题图可知当 t=时,图象过点(5,1),(7,2),故(-)-(-)-解得 (2)当 P=Q 时,得 -,解得 t=-=-=-.令 m=-,因为 x9,所以 m(,在 t=-(17m2-m-2)中,对称轴为直线 m=(,且函数图象开口向下,故当 m=时,t 取得最小值 ,此时 x=9.
