1、专题五立体几何考情分析立体几何是历年高考必考知识,高考试卷中一般会以“两小一大”的命题形式出现.小题主要考查空间几何体的体积和表面积,空间点、线、面的位置关系,空间角,几何体与球的切、接问题等,会有一定的难度.立体几何解答题一般是以多面体为载体,考查空间平行与垂直关系的证明与应用、线面角与二面角的求解等问题,对直观想象、逻辑推理和数学运算素养有一定的要求.有时候会以图形翻折、探索性问题形式命题,难度中等.对位置关系的证明以几何法为主,空间角的求解问题则多数用向量法.5.1空间几何体的结构、体积与表面积专项练必备知识精要梳理1.空间几何体的表面积与体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧=2rlS表=
2、2r(r+l)V=S底h=r2h圆锥S侧=rlS表=r(r+l)V=13S底h=13r2h圆台S侧=(r+r)lS表=(r2+r2+rl+rl)V=13(S上+S下+S上S下)h=13(r2+r2+rr)h直棱柱S侧=Ch(C为底面周长)S表=S侧+S上+S下(棱锥的S上=0)V=S底h正棱锥S侧=12Ch(h指斜高)V=13S底h正棱台S侧=12(C+C)h(C,C分别是上、下底面周长,h指斜高)V=13(S上+S下+S上S下)h球S=4R2V=43R32.几个常用结论(1)长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则其体对角线即外接球直径为a2+b2+c2.(2)各棱长相等(都为a)
3、的三棱锥的几个结论:高为63a;表面积为3a2,体积为212a3;侧棱和底面所成角的正弦值为63;相邻两个面所成二面角的余弦值为13;内切球半径为612a,外接球半径为64a,其比值为13.(3)正方体与球的几个结论:设正方体的棱长为a,则其外接球半径R=32a,内切球半径r=a2,与各棱相切的球(棱切球)半径为22a;设球的半径为R,则球的外切正方体的边长为2R,内接正方体的边长为233R.考向训练限时通关考向一空间几何体的侧面积或表面积1.(多选)(2020山东潍坊高三期末,9)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则形成的几何体的表面积可以为()A.2B.(1+2)
4、C.22D.(2+2)2.(2020四川达州高三二诊,7)如图,四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,圆柱的侧面积是()A.23B.324C.223D.223.(2020全国,理10)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆.若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B.48C.36D.324.(2020安徽皖西南联盟高三联考,8)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部
5、的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为()A.8(6+62+3)B.6(8+82+3)C.8(6+63+2)D.6(8+83+2)5.(2020江苏扬州高三三模,15)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,O为上底面ABCD的中心,设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与正四棱锥O-A1B1C1D1的侧面积分别为S1,S2,则S1S2=.考向二空间几何体的体积6.(2020山东泰安三模,6)我国古代数学名著九章算术中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也
6、.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示),下底面是边长为2的正方形,上棱EF=32,EF平面ABCD,EF与平面ABCD的距离为2,该刍甍的体积为()A.6B.113C.314D.127.(2020山东滨州二模,8)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体.如图,将底面半径都为b,高都为a(ab)的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面,下底面的圆心为顶点)放置于同一
7、平面上,用平行于平面且与平面相距任意距离d的平面截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环,可以证明S圆=S圆环总成立.据此,椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4的椭球的体积是()A.163B.323C.643D.12838.(多选)(2020山东青岛二中月考,10)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏漏沙的速度为0.02 cm3/s
8、,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是()A.沙漏中的细沙的体积为102481 cm3B.沙漏的体积是128 cm3C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cmD.该沙漏的一个沙时大约是1 985 s(3.14)9.(2020山东聊城一模,16)点M,N分别为三棱柱ABC-A1B1C1的棱BC,BB1的中点,设A1MN的面积为S1,平面A1MN截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面积为S,五棱锥A1-CC1B1NM的体积为V1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,则V1V=,S1S=.考向三与球相关的内切问题10.(2020辽宁东北育才学校模
9、拟,15)圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆心)的侧面积与底面积的比是21,若圆锥的底面半径为3,则圆锥SD的内切球的表面积为.11.(2020天津和平区二模,13)农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图1,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图2所示粽子形状的六面体.若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为.考向四与球相关的外接问题12.(2020天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
10、A.12B.24C.36D.14413.(2020江西上饶三模,5)半径为2的球O内有一个内接正三棱柱,则正三棱柱的侧面积的最大值为()A.93B.123C.163D.18314.(2020山东滨州二模,14)已知点A,B,C,D均在球O的球面上,AB=BC=1,AC=2,若三棱锥D-ABC体积的最大值是13,则球O的表面积为.15.(2020山东,16)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=60.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.16.(2020山东德州二模,16)九章算术中记载:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱
11、剖开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,BB1=BC=23,AB=2,AC=4,且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑C1-ABC,现将鳖臑C1-ABC沿线BC1翻折,使点C与点B1重合,则鳖臑C1-ABC经翻折后,与鳖臑C1-ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是.专题五立体几何5.1空间几何体的结构、体积与表面积专项练考向训练限时通关1.AB解析如果是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,母线长是2,所以形成的几何体的表面积S=rl+r2=12+12=
12、(2+1).如果绕斜边旋转,形成的是两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边的高22,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以形成几何体的表面积S=2rl=2221=2.综上可知,形成几何体的表面积是(2+1)或2.2.C解析设圆柱的底面半径为r,母线长为l.因为四面体各个面都是边长为1的正三角形,所以2r=1sin60=233,解得r=33.因为四面体各个面都是边长为1的正三角形,所以棱锥的高为h=631=63,即圆柱的母线长为l=63.所以圆柱的侧面积为S=2rl=23363=223.3.A解析由题意知O1的半径r=2.由正弦定理知ABsinC=2r,OO1=AB=2rsin60
13、=23,球O的半径R=r2+|OO1|2=4.球O的表面积为4R2=64.4.A解析由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为2,则该几何体的表面积为S=6(2+22)2-41222+81223=8(6+62+3).5.3105解析如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,则正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积为S1=423=24.正四棱锥O-A1B1C1D1的斜高为12+32=10,正四棱锥O-A1B1C1D1的侧面积为S2=412210=410.S1S2=2441
14、0=3105.6.B解析如图,作FNAE,FMED,连接NM,则多面体被分割为棱柱与棱锥部分,则该刍甍的体积为VF-MNBC+VADE-NMF=1322-322+122232=113.7.C解析S圆=S圆环总成立,半椭球的体积为b2a-13b2a=23b2a.椭球的体积V=43b2a.椭圆的短半轴长为2,长半轴长为4,该椭球体的体积V=43224=643.8.ACD解析由题图可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,所以细沙的底面半径r=234=83(cm),所以细沙的体积V1=13r22h3=13649163=102481(cm3),故A正确;沙漏的体
15、积V2=213h22h=213428=2563(cm3),故B错误;设细沙流入下部后的高度为h1,根据细沙体积不变可知102481=13h22h1,所以102481=163h1,解得h12.4cm,故C正确;因为细沙的体积为102481cm3,沙漏漏沙的速度为0.02cm3/s,所以一个沙时为1024810.02=10243.1481501985(s),故D正确.9.71235解析如图所示,延长NM交直线C1C于点P,连接PA1交AC于点Q,连接QM.平面A1MN截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面为四边形A1NMQ.BB1CC1,M为BC的中点,PCMNBM,M为PN的中点.A1MN的面积S
16、1=12SA1NP.QCA1C1,PCPC1=13=PQPA1,A1QM的面积为23SA1PM=13SA1NP,S1S=35.BMN的面积=18S四边形B1C1CB,五棱锥A1-CC1B1NM的体积为V1=78V四棱锥A1-B1C1BC,而三棱锥A1-ABC的体积=13V,V1V=7823VV=712.10.12解析依题意,圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆心)的侧面积与底面积的比是21,所以(rl)(r2)=21,解得l=6.设内切球的半径为R,则利用轴截面,根据等面积可得12662-32=12(6+6+6)R,解得R=3.所以该圆锥内切球的表面积为4(3)2=12.11.86729解析每个
17、三角形面积是S=12132=34.由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的,可求出该四面体的高为1-332=63,所以四面体体积为133463=212.所以六面体体积是26.由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,需球与六个面都相切.连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥.设球的半径为R,所以26=61334R,解得R=69.所以球的体积V=43R3=43693=86729.12.C解析2R=(232)2+(23)2=6,球的表面积为4R2=36.故选C.13.B解析如图所示,设正三棱柱上、下底面的中心分别为O1,O2,底面边长与高分别为x,h,则O2A=33x.在RtOAO2中,h2
18、4+x23=4,化为h2=16-43x2.正三棱柱的侧面积S=3xh,S2=9x2h2=12x2(12-x2)12x2+12-x222=432,当且仅当x=6时取等号,此时S=123.14.8116解析设ABC的外接圆的半径为r,AB=BC=1,AC=2,则AB2+BC2=AC2,ABC为直角三角形,且r=22.SABC=1211=12.设三棱锥D-ABC体积的最大值为V,则V=13.A,B,C,D均在球O的球面上,D到平面ABC的最大距离h=3VSABC=31312=2,设球O的半径为R,则R2=r2+(h-R)2,即R2=222+(2-R)2,解得R=98.球O的表面积为S=4982=81
19、16.15.22解析如图所示,B1C1D1=B1A1D1=BAD=60且B1C1=C1D1,B1C1D1为等边三角形.B1D1=2.设点O1是B1C1的中点,则O1D1=3,易证D1O1平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1O1P,D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,O1P=2.即P在以O1为圆心,以2为半径的圆上.取BB1,CC1的中点分别为E,F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,EO1F=90,交线EPF=1422=22.16.1003解析将鳖臑C1-ABC
20、沿线BC1翻折,使点C与点B1重合,则鳖臑C1-ABC经翻折后,A点翻折到E点,A,E关于点B对称,所拼成的几何体为三棱锥C1-AEB1,如图,由BB1=BC=23,AB=2,AC=4,可得AB1=BB12+AB2=4,B1E=BB12+BE2=4,即B1AE为正三角形,所以其外接圆圆心为三角形中心O1.设三棱锥外接球球心为O,半径为R,连接O1O,则O1O平面AB1E,连接OC1,OB1,在OB1C1中作OMB1C1,垂足为M,如图,因为OC1=OB1=R,OMB1C1,所以M是B1C1的中点.由矩形MOO1B1可知OO1=12B1C1=12BC=3.因为O1为AB1E的中心,所以B1O1=23B1B=2323=433.在RtB1OO1中,R=OO12+B1O12=3+163=533,所以三棱锥外接球的表面积S=4R2=1003.
