1、第三章函数本章复习提升易混易错练易错点1忽略函数的定义域致错1.()若xR,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A. f(x)=x2,g(x)=x2B. f(x)=(x)2x,g(x)=x(x)2C. f(x)=1,g(x)=(x-1)0D. f(x)=x2-9x+3,g(x)=x-32.()函数f(x)=1-x1+x的单调递减区间为.3.()判断函数f(x)=x2+xx+1的奇偶性.4.()画出函数y=x|1-x2|1-x2的图像,并根据图像指出函数的值域.5.()设定义在区间-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(m)+f(m-1)0,求实数m的取值范围.易错点2不能
2、正确运用函数的单调性解题6.(2021河南重点高中高一阶段性测试,)已知函数f(x)=1-ax+1在区间(-1,+)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(-1,+)D.(-,-1)(1,+)7.()设函数f(x)=1,x0,0,x=0,-1,x0时,f(x)为增函数,且f(2)=0,则x|f(x-2)0=()A.x|0x4B.x|x4C.x|x6D.x|x22.()已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在0,2上的图像如图所示,则使不等式f(x)g(x)0成立的x的取值范围为()A.(-2,-1)(1,2)B.(-1,0)(0,1)C.
3、(-1,0)(1,2)D.(-2,-1)(0,1)3.()若关于x的方程|x2-2x-2|-m=0有三个不相等的实数根,则实数m的值为.4.()已知函数f(x)=x2-2|x|-3.(1)作出函数f(x)的图像,并根据图像写出函数f(x)的单调区间以及在各单调区间上的增减性;(2)求函数f(x)在x-2,4上的最值.5.()已知函数f(x)是定义在R上的函数,且f(x)的图像关于y轴对称,当x0时, f(x)=x2-4x.(1)画出f(x)的图像;(2)求出f(x)的解析式;(3)若函数y=f(x)的图像与直线y=m有四个交点,求实数m的取值范围.二、转化与化归思想在函数中的应用6.()若函数
4、f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间a,bD(其中a0恒成立,试求实数a的取值范围.三、方程思想在函数中的应用10.()已知关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是.11.()若函数f(x)满足2f(x)-f(2-x)=3x+1,则f(x)=.12.()已知函数f(x)=-12x2+x,是否存在实数m,n(mt,若f(x)在定义域上是单调函数,则t的取值范围为.15.()对于任意实数x,x表示不超过x的最大整数,如1.1=1,-2.1=-3.定义在R上的函数f(x)=2x+3x+4x,若集合A=y|y=f(x),0x1,求集合A中所有元素的和.16.()
5、已知函数f(x)=x2-a|x+1|-1,其中aR.(1)若函数f(x)在区间-4,-2上存在零点,求a的取值范围;(2)求函数f(x)在区间-4,4上的值域.答案全解全析第三章函数本章复习提升易混易错练1.B选项A, f(x)=x2(xR)与g(x)=x2=|x|(xR)的对应关系不同,所以不是同一个函数;选项B, f(x)=(x)2x=1(x0)与g(x)=x(x)2=1(x0)的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一个函数;选项C, f(x)=1(xR)与g(x)=(x-1)0=1(x1)的定义域不同,所以不是同一个函数;选项D, f(x)=x2-9x+3=x-3(x-3)与g(x)=x
6、-3(xR)的定义域不同,所以不是同一个函数.故选B.易错点拨研究两个函数是不是同一个函数时,应先看定义域是否相同,再看对应关系是否相同.忽视定义域会导致判断错误.2.答案(-,-1),(-1,+)解析函数f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+).任取x1、x2(-1,+)且x10,即f(x1) f(x2),故f(x)在(-1,+)上为减函数;同理,f(x)在(-,-1)上也为减函数.3.解析f(x)=x2+xx+1=x,定义域为x|x-1,不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.易错点拨在研究函数时应先求定义域,再化简解析式.忽视定义域进行不恒等变形常导致判断错误.4.解析函数的定义域为
7、x|xR且x1.当1-x20,即-1x1时,y=x;当1-x20,即x1时,y=-x.故y=x,-1x1,-x,x1.作出函数的图像,如图所示,根据函数的图像可知函数的值域为y|yR且y1.5.解析f(m)+ f(m-1)0, f(x)为奇函数,f(m)-f(m-1),即f(1-m)m,即-1m3,-2m2,m12,解得-1m12.实数m的取值范围是-1,12.6.B要使函数f(x)=1-ax+1在区间(-1,+)上单调递增,只需1-a1,所以实数a的取值范围是(1,+).7.答案(-,0,(1,+)解析由题意得g(x)=x2,x1,0,x=1,-x2,x1.作出函数g(x)的图像如图所示,故
8、函数g(x)的递增区间为(-,0,(1,+).8.解析(1)f(x)在(0,+)上是增函数.证明:任取x1,x2(0,+),且x1x2,则x1-x20,1+x20,f(x1)-f(x2)=-21+x1+21+x2=2(x1-x2)(1+x1)(1+x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上是增函数.(2)由(1)知f(x)在1,4为增函数,函数的最大值为f(4)=-21+4=-25,最小值为f(1)=-21+1=-1.9.解析(1)由题意知f(x)=-2x-a,x0时,f(x)为增函数,且f(2)=0,故函数f(x)在(-,0)上单调递增,且f(-2)=0,故函数f(x)的大致图
9、像如图所示,由函数的图像可得-2x-22,解得0x4,故选A.根据函数的单调性和奇偶性画出函数的大致图像.由图像的性质得出不等式的解集,体现了数形结合思想.2.C由题图可知,当0x0,g(x)0, f(x)g(x)0;当1x0,g(x)0, f(x)g(x)0时,f(x)g(x)0的解集为x|1x2.y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,f(x)g(x)是奇函数,由奇函数的对称性可得当x0时,f(x)g(x)0的解集为x|-1x0.综上,不等式f(x)g(x)0的解集是x|-1x0或1x2,故选C.由函数的奇偶性和图像特征求不等式的解集,体现了数形结合思想.3.答案3解析令f(x)=|x
10、2-2x-2|,由题意可得函数y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点.画出函数f(x)=|x2-2x-2|的图像如图所示,结合图像可得,m=3.将方程解的问题转化为函数图像的交点问题,体现了数形结合思想.4.解析(1)作出函数图像如图.由图像得f(x)在(-,-1),(0,1)上单调递减,在(-1,0),(1,+)上单调递增.(2)结合图像可知f(x)在-2,4上的最小值为f(1)=f(-1)=-4,最大值为f(4)=5.画出函数图像,通过分析图像性质得出最值,体现了数形结合思想.5.解析(1)f(x)的图像如图.由x0时f(x)的解析式作出函数f(x)在y轴右侧的图像,再由f(x)的图像关
11、于y轴对称,可得出x0时f(x)的图像,体现了数形结合思想.(2)当x0, f(-x)=x2+4x,函数f(x)的定义域关于原点对称,图像关于y轴对称,f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=x2+4x,f(x)=x2-4x,x0,x2+4x,x0.(3)y=f(x)的最小值为f(-2)=f(2)=-4,由(1)中图像可知函数y=f(x)的图像与直线y=m有四个交点时,-4m0.6.C因为函数g(x)=x2+m是(-,0)上的正函数,所以ab0,所以当xa,b时,函数单调递减,则g(a)=b,g(b)=a,即a2+m=b,b2+m=a,两式相减得a2-b2=b-a,即b=-(a+1),代入a2
12、+m=b得a2+a+m+1=0,因为ab0,且b=-(a+1),所以a-(a+1)0,即a0,所以a-1,解得-1a0,h-120,-122-12+m+1-1,m-34,即-1m-34.7.答案-,178解析令t=1-x(t0),则x=1-t2,所以y=2-2t2+t=-2t-142+178,t0,通过换元,将f(x)=2x+1-x化为y=2-2t2+t.所以当t=14时,函数有最大值178,即函数的值域为-,178.8.答案2,+)解析由题意知f(x)=x2,x0,-x2,x0,则2f(x)=f(2x),所以f(x+a)2f(x)恒成立等价于f(x+a)f(2x)恒成立.由题意得f(x)在R
13、上是增函数,所以x+a2x恒成立,利用函数单调性将f(x+a)2f(x)恒成立转化成x+a2x恒成立.即a(2-1)x恒成立.又因为xa,a+2,所以当x=a+2时,(2-1)x取得最大值(2-1)(a+2),所以a(2-1)(a+2),解得a2.故实数a的取值范围是2,+).9.解析(1)当a=0.5时, f(x)=x+12x+2,x1,+).任取x1,x21,+),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=x2+12x2+2-x1+12x1+2=(x2-x1)(2x1x2-1)2x1x2.1x10,且x1x21,2x1x2-10,f(x2)-f(x1)0,即f(x2) f(x1),f(x)在1
14、,+)上是增函数,f(x)在1,+)上的最小值是f(1)=72.(2)对任意x1,+), f(x)0恒成立,x2+2x+a0恒成立.设g(x)=x2+2x+a,g(x)=x2+2x+a=(x+1)2+(a-1)在1,+)上是增函数,当x=1时,g(x)min=3+a0,解得a-3,实数a的取值范围为(-3,+).将恒成立问题转化成最值问题求解.10.答案1解析作出函数y=|x2-4x+3|的图像与直线y=1(如图所示),由图像知直线y=1与函数y=|x2-4x+3|的图像有三个交点,即方程|x2-4x+3|=1有三个不相等的实数根,所以a=1.利用直线与函数图像交点的个数得到方程解的个数,体现
15、了方程思想.11.答案x+3解析将x替换为2-x得2f(2-x)-f2-(2-x)=3(2-x)+1,即2f(2-x)-f(x)=7-3x,又2f(x)-f(2-x)=3x+1,所以f(x)=x+3.通过代换得到2个方程,解方程组得到函数解析式,体现了方程思想.12.解析存在.解法一:对函数图像的对称轴直线x=1的位置进行讨论.当mn1时,f(x)max=f(n)=2n,f(x)min=f(m)=2m,解得m=-2,n=0.当m+n21n时,f(x)max=f(1)=2n,f(x)min=f(m)=2m,无解.当m1m+n2时,f(x)max=f(1)=2n,f(x)min=f(n)=2m,无
16、解.当1mn时,f(x)max=f(m)=2n,f(x)min=f(n)=2m,无解.综上,m=-2,n=0.解法二:由题意得,在m,n上,函数的最大值为2n.又f(x)=-12x2+x=-12(x-1)2+12在xR上的最大值为12,2n12,n14.又f(x)在(-,1)上是增函数,f(x)在m,n上是增函数,f(m)=2m,f(n)=2n,即-12m2+m=2m,-12n2+n=2n,结合m0恒成立,即b2-4a(b-2)0恒成立,即b2-4ab+8a0对任意bR恒成立,令g(b)=b2-4ab+8a,则二次函数g(b)=b2-4ab+8a的图像恒在x轴上方,则2=(-4a)2-48a0
17、,即16a2-32a0,即a(a-2)0,解得0at时,y=x+78为增函数,所以当xt时,y=tx2+x+1也为增函数.由于y=tx2+x+1(xt)中的二次项系数含有参数,因此需对参数分类讨论.当t=0时,y=tx2+x+1=x+1为增函数,但0+1=178,不符合题意;当t0时,函数y=tx2+x+1图像的对称轴为直线x=-12t,结合二次函数性质,有t0,-12tt,t3+t+1t+78,解得t-12.15.解析当0x14时, f(x)=0+0+0=0;当14x13时, f(x)=0+0+1=1;当13x12时, f(x)=0+1+1=2;当12x23时, f(x)=1+1+2=4;当
18、23x34时, f(x)=1+2+2=5;当34x1时, f(x)=1+2+3=6;当x=1时, f(x)=2+3+4=9,故集合A=0,1,2,4,5,6,9,则集合A中所有元素的和为27.要求f(x)=2x+3x+4x,0x1,需先分析有几个分界点,再对区间进行划分,体现了分类讨论思想.16.解析(1)当x-4,-2时,-3x+1-1,则f(x)=x2+a(x+1)-1,令f(x)=0,得a=1-x2x+1=1-x,因为-4x-2,所以31-x5,即3a5,因此,实数a的取值范围是3,5.(2)当x-4,4时,f(x)=x2+ax+a-1,-4x-1,x2-ax-a-1,-1x4.易知二次
19、函数y=x2+ax+a-1的图像开口向上,对称轴为直线x=-a2;二次函数y=x2-ax-a-1的图像开口向上,对称轴为直线x=a2.由于抛物线的对称轴不固定,需讨论对称轴与区间端点的相对位置.当-a2-4,即a8时,a24,则函数y=f(x)在区间-4,-1上单调递增,在区间(-1,4上单调递减.当x-4,-1时,f(-4)f(x)f(-1),即15-3af(x)0;当x(-1,4时,f(4)f(x)f(-1),即15-5af(x)15-5a,所以函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为15-5a,0.当-4-a2-1,即2a8时,1a24,则函数y=f(x)在区间-4,-a2和-1,a2上
20、单调递减,在区间-a2,-1和a2,4上单调递增.f-a2=-a24+a-1,fa2=-a24-a-1,显然fa2f(4).(i)当2a5时,f(-4)f(-1),则f(x)max=f(-4)=15-3a,所以函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,15-3a;(ii)当5a8时,f(-4)f(-1),则f(x)max=f(-1)=0,所以函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,0.当-1-a20,即0a2时,0a21,则函数y=f(x)在区间-4,-1和-1,a2上单调递减,在区间a2,4上单调递增,f(-1)=0,fa2=-a24-a-1,显然fa2f(
21、-1),所以f(x)min=fa2=-a24-a-1,因为f(-4)=15-3a,f(4)=15-5a,f(-4)f(4),所以f(x)max=f(-4)=15-3a.所以函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,15-3a.当0-a21,即-2a0时,-1a20,则函数y=f(x)在区间-4,-1和-1,a2上单调递减,在区间a2,4上单调递增,f(-1)=0,fa2=-a24-a-1,显然fa2f(-4),所以f(x)max=f(4)=15-5a.所以函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,15-5a.当-a21,即a-2时,a2-1,则函数y=f(x)在
22、区间-4,-1上单调递减,在区间(-1,4上单调递增,则f(x)min=f(-1)=0,因为f(-4)=15-3a,f(4)=15-5a,f(-4)f(4),所以f(x)max=f(4)=15-5a,所以函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为0,15-5a.综上所述,当a-2时,函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为0,15-5a;当-2a0时,函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,15-5a;当0a5时,函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,15-3a;当5a8时,函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为-a24-a-1,0;当a8时,函数y=f(x)在区间-4,4上的值域为15-5a,0.
