1、云南省德宏州2020届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题 文（含解析）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给
2、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合，再利用集合并集运算即可得到答案.【详解】又所以故选：B.2. 若为虚数单位，且，则复数的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据复数相等得到，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C3. 如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，大正方形的面积即可得概率【详解】由已知大正方形的边长为，面积为，小正方形边长为1，面
3、积为，所以所求概率为故选：D.4. 我国古代著名的数学著作中，周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、夏侯阳算经、孙丘建算经、海岛算经、五经算术、缀术和缉古算经，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对周髀算经、九章算术、孙子算经阅读的情况，随机调查了100名学生，阅读情况统计如下表，书籍周髀算经九章算术周髀算经且九章算术周髀算经或九章算术阅读人数70？6090则该100名学生中阅读过九章算术的人数为（ ）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】C【解析】【分析】根据统计表分析可得结果.【详解】根据统计表可知，只阅读过周髀算经没阅读过九章算术的人数为人，所以只阅读过九章算术没
4、阅读过周髀算经的人数为人，所以阅读过九章算术的人数为人.故选：C【点睛】关键点点睛：理解并运用统计表给出的信息是解题关键.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角公式化简，然后代值求解即可.【详解】，利用诱导公式可得，故选：B.6. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值可得答案【详解】解：函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以其图像关于原点对称，所以排除B，D，因为 ，所以排除C，故选：A7. 如下图所示，在正方体中，是平面的中心，、分别是、的中点，则下列说
5、法正确的是（ ）A. ，且与平行B. ，且与平行C. ，且与异面D. ，且与异面【答案】D【解析】【分析】设正方体的棱长为2，利用正方体性质可求得，知，再利用三角形中位线性质知，从而，又与相交，可知与异面，即可选出答案.【详解】设正方体的棱长为2，则作点在平面的投影点，即平面，连接，在直角中，则，所以，故排除A、C连接，由是平面的中心，得又分别是、的中点，所以又，所以，又，所以与异面故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.8. 执行如图所示的程序框图，若输入，的值分别是288，12
6、3，则输出的结果是（ ）A. 42B. 39C. 13D. 3【答案】D【解析】【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的值，当时，满足条件，输出的值.【详解】执行程序框图，由，知由，知由，知由，知，即，输出，结束循环故选：D.9. 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则B=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.【详解】由正弦定理可得：，.故选：D【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 的图象的一条
7、对称轴为B. 在上单调递增C. 在上的最大值为1D. 的一个零点为【答案】B【解析】【分析】对选项A，即可判断A错误；对选项B，求出的单调区间即可判断B正确；对选项C，求出在的最大值即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D错误.【详解】，.对选项A，因为，故A错误；对选项B，因为，.解得，.当时，函数的增区间为，所以在上单调递增，故B正确；对选项C，因为，所以，所以，故错误；对选项D，故D错误故选：B11. 设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，设，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，
8、即可得到，再利用等面积法即可求得【详解】由题意，双曲线中，如图，设，由双曲线定义知两边平方得：在中，由余弦定理可得：，即两式相减得：，即利用等面积法可知：，即解得故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设，分别为椭圆的左，右焦点，点为椭圆上的一点，且，则椭圆焦点三角形面积（2）设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点，且，则双曲线焦点三角形面积12. 若函数是定义在上的奇函数，对于任意两个正数、，都有.记，则、的大小关系为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，根
9、据题意推导出函数为偶函数且在上单调递减，可得，比较、三个数的大小关系，进而可得出、三个数的大小关系.【详解】构造函数，函数的定义域为，因为函数为上的奇函数，则，函数为偶函数，对于任意两个正数、，都有，则，所以，则函数在上单调递减，则，即.故选：A.【点睛】利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，先比较出自变量的大小关系，再利用其单调性得出函数值的大小关系，若为偶函数，则第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答.第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.
10、 已知，则_.【答案】5【解析】【分析】由向量坐标运算先写出向量的坐标，再求模即可.【详解】 , , 故答案为：5.14. 已知函数，则在处的切线方程_.【答案】【解析】【分析】求导数得切线斜率，然后可写出切线方程【详解】由已知，所以，又，所以切线方程为，即故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求出导函数，得出切线斜率后直接写出切线方程解题时要注意所给点是不是切点，问题是求函数在某点处的切线方程还是过某点的切线方程，如果是求过点，则设切点为，由此点求出切线方程，代入后求得切点坐标，从而得切线方程15. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，则抛物线的方程
11、为：_.【答案】【解析】【分析】如图作，由抛物线定义知是等边三角形，再过焦点作，知为的中点，所以，即焦点到准线的距离是，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线：，焦点，准线如图，由抛物线定义知，故是等边三角形，过焦点作，交于，则为的中点，所以，即焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知，再利用知是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.16. 如下图所示，三棱锥外接球的半径为1，且过球心，围绕棱旋转后恰好与重合.若，则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分
12、析】作于，可证得平面，得，得等边三角形，利用是球的直径，得，然后计算出，再应用棱锥体积公式计算体积【详解】围绕棱旋转后恰好与重合，作于，连接，则，又过球心，而，同理，由，得平面，故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作于，利用旋转重合，得平面，这样只要计算出的面积，即可得体积，这样作图可以得出，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转，即为旋转是旋转形成的二面角为应用作出二面角的平面角三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 2018年年初，中共中央、国务院发布关于开展扫黑除恶专项斗争的通知，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.为了解这次的
13、“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同，某高校一个社团在2018年末随机调查了100位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到部分数据如下表：不相同相同合计男50女15合计100已知在100名学生中随机抽取1人认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的概率为0.75.（1）完成上表；（2）根据如上的列联表，有没有的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关？附：（）.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8
14、415.0246.635【答案】（1）表格见解析；（2）有的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关.【解析】【分析】（1）由的概率计算出认为不相同的总人数，则可完成列联表；（2）计算后比较可得结论【详解】解：（1）不相同相同合计男501060女251540合计7525100（2）.所以有的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关.18. 设数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若数列中，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）当时，由，可得，两式相减，可化为，结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由
15、题知数列是等差数列，则，再利用分组求和法求数列的前项和.【详解】（1）证明：当时，当时， 由得：， ，即，故数列是以2为公比，首项为的等比数列，得（2）由题得：，故是以2为公差，2为首项的等差数列，.【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.19. 如图，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图所示.（1）证明：图中平面平面；（2）在线段上有一点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）
16、分别取，的中点，连接，由勾股定理逆定理证明，又有，得线面垂直，从而可得面面垂直；（2）由（1）易得到平面的距离为，再求出面积后可得棱锥体积【详解】解：（1）证明：分别取，的中点，连接，为正三角形且，且，为正方形，依题意，为等腰三角形，则，又，且平面，平面.平面，平面平面.（2）如图，取，连接，由（1）知平面平面.则到平面的距离.，为正三角形，且，所以，三棱锥的体积.【点睛】关键点点睛：本题考查面面垂直的证明，求棱锥的体积根据面面垂直的判定定理要证面面垂直需证线面垂直，也即要证线线垂直，掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题关键求三棱锥的体积需要灵活应用换底法，要观察以易求得高的面
17、为底计算才比较方便20. 已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由在上有解可得的取值范围（2）求出，由在两个零点确定在上最小值是或，比较它们的大小得最小值，可得的零点【详解】解：（1）在上存在单调递增区间，在上有解，又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0，而的最大值为，解得：.（2），由得：，则在，上单调递减，在上单调递增，又当时，在上的最大值点为，最小值为或，而，当，即时，得，此时，的零点为；当，即时，得（舍）.综上的零点为.【点睛】关键点点睛：本题考查导数与单调性关系，用
18、导数求函数的最值，及零点的概念求出导函数，解不等式（或）确定函数的增区间（或减区间）是求单调性的基本方法求函数在闭区间上的最值，一般由单调性确定极值，同时考虑区间两个端点处的函数值的大小才能得出最值21. 在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点做直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.若的面积取得最大值时，求的内切圆的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点，把已知条件用坐标表示并化简即得曲线的方程；（2）设，不妨令，可设直线的方程为，代入椭圆方程后可得，计算的面积，令，转换为的函
19、数，可由导数求得其最大值，再由三角形周长得出内切圆半径后可得圆面积【详解】解：（1）设动点，则，由，则，化简得：.所求曲线的方程为.（2）设，不妨令，可设直线的方程为，联立，得：，则，令，则，令，则，当时，恒成立，则在上单调递增，即的最小值为4.，即当时，面积最大为3，设的内切圆半径为，的周长为，得.所以，的内切圆的面积为.【点睛】关键点点睛：本题考查求曲线（椭圆）方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题，解题方法是：（1）求曲线方程采取直接法，即设动点坐标为，把题设条件用表示即可得曲线方程（2）直线与椭圆相交问题采取“设而不求”的思想方法，即设交点为，设直线方程为代入椭圆方程应用韦达定理得，然后
20、代入三角形面积，把面积转化为参数的函数后求解请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.选修44：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出圆的普通方程，再利用普通方程与极坐标方程之间的转化关系可得出圆的极坐标方程，根据极坐标方程与普通方程之间的转换关系可求得曲线的普通方程；（
21、2）求出的值，设点，求出点到直线的最大距离，由三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1）依题意：圆的半径，所以，圆的标准方程为：，得，由，得的极坐标方程为，由，得的普通方程为；（2）由（1）知的极坐标方程为，的普通方程为，将代入得，.设，则到的距离（其中）,，当时，等号成立，.【点睛】在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决选修45：不等式选讲23. 已知函数的最大值为2.（1）求值；（2）若，均为正数，且.求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，利用绝对值三角不等式，求得函数最大值为，计算即可求解；（2）由（1）知，再利用“1”的代换，利用不等式求得最值，即可得结论.【详解】（1）由，得函数的最大值为，解得或，又，.（2）由（1）知：，由，得，当且仅当时，等号成立，.【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项积的最小值：二维不等式：，当且仅当时，等号成立；一般不等式：，当且仅当时，等号成立.
