1、专题八立体几何课标解读主题内容考情分析备考指导一、空间几何体的结构特征及体积 与 表 面 积公式认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式二、空间点、线、面的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义能运用公式、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面平行的判定定理与有关性质以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的判定定理与有关性质三、空间向量运算及立体几何中的向量方法掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐
2、标表示、用向量的数量积判断向量的平行与垂直理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用从近几年高考情况来看，本专题内容在客观题中主要考查空间几何体的表面积、体积以及与球的组合等问题，如 新高考的第 题考查了球面与平面相交求交线长问题，新课标文、理的第 题以世界建筑奇迹古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算问题，将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合，有时也考查点、线、面的位置关系在解答题中主要考查线、面位置关系的证明及空间角的计算
3、，新高考的第 题第（）问考查了用直线与平面平行的性质定理找出两平面的交线，第（）问求直线与平面所成角的最值问题，与基本不等式放在一起考查，有比较好的应用性与创新性利用空间向量证明平行与垂直以及求空间角（特别是二面角）均是高考的热点，以解答题形式出现，把立体几何问题转化为空间向量问题本专题重点考查的核心素养为直观想象和数学运算强化识图能力，还原成自己熟悉的几何体对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补重视立体几何最值问题的研究平面展开图（折线转化成直线）完善知识网络，强调通性通法加强空间向量对垂直问题的研究：空间直角坐标 系的建立是基于三线两两垂直，因此只有真正掌 握了对垂直关系的判断、
4、论证的研究方法，真正理解法向量的自由性，以及求法向量的方法，才能使问题顺利解决方法总结证明直线与平面平行的方法（例如求证：）（）线面平行的判定定理：在平面 内找到一条与直线 平行的直线，从而得到（）面面平行的性质：过直线 找到（或作出）一个平面，使得，从而得（）向量法：（）求出平面 的法向量 和直线 的方向向量，证明，得（）证明直线 的方向向量 能被平面 内的两个基向量所表示，得 求线面角的方法（）定义法：作出线面角，解三角形即可（）解由斜线段、射影、垂线段构成的三角形例：求 与平面 所成角 的正弦值，其中只需求出点 到平面 的距离（通常由等体积法求），由 得结果（）向量法：求出平面 的法向量
5、，设直线 与 所成角为，则 ，最好是画出图形，否则容易出错拓展延伸寻找空 间 几 何 体 外 接 球 球 心 的 步 骤：（）找底面多边形的外心，过点 作底面多边形所在平面的垂线；（）找其中一侧面多边形的外心，过点 作该侧面的垂线；（）设 与 的交点为，则点 即为所求外接球的球心专题八 立体几何 年高考年模拟 版（教师用书）真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养 新高考，填空题易空间几何体的体积三棱锥的体积公式法直观想象数学运算 新高考，单项选择题易空间角与距离根据直线位置关系求角直接法直观想象数学运算 课标，文，理 选择题易空间几何体的结构特征斜高与底面边长的数量关系公式法直
6、观想象数学运算 课标，文，理 选择题中空间几何体的表面积与球有关的空间几何体直接法直观想象数学运算 新高考，填空题难空间几何体的结构特征由空间组合体确定两个面的交线直接法直观想象数学运算逻辑推理 北京，解答题中直线、平面平行的判定和性质直线、平面平行的判定，直线与平面所成的角直接判断向量法直观想象数学运算逻辑推理 新高考，解答题中空间向量及其应用直线、平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成角的最大值向量法定义法直观想象数学运算逻辑推理 天津，解答题中空间向量及其应用证直线与直线垂直，求二面角、直线与平面所成角的正弦值向量法定义法直观想象数学运算逻辑推理 命题规律与探究从 年新高考
7、情况来看，本专题内容为高考热点，考题难度以中档偏难为主，题型涵盖选择题（年新高考卷第 题）、填空题（年新高考卷第 题）和解答题（年新高考卷第 题），分值为 分从近几年高考情况来看，本专题内容在客观题中主要考查空间几何体的表面积、体积以及与球的相关问题，如 年新高考卷第 题考查了球面与平面相交的交线长问题，课标卷文、理第 题以古代世界建筑奇迹埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算问题，将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合，有时也考查点、线、面的位置关系在解答题中主要考查线、面位置关系的证明及空间角的计算，如 年新高考卷第 题第（）问考查了用直线与平面平行的性质定理找出两平面的交线，第（
8、）问求直线与平面所成角的最大值，与基本不等式放在一起考查，有比较好的应用性与创新意识本章重点考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算 命题变化与趋势高考对本专题内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度变化不大，延续此前的考试风格考查内容主要体现在以下方面：以空间几何体或与球的组合体为背景考查几何体的表面积、体积，球的性质等；以空间几何体为载体考查空间线、面位置关系的证明以及空间角的计算；以空间向量为辅助工具解决空间几何体的证明与计算问题，这些内容均为高考考查的重点与热点，在备考复习中应加强重视专题八 立体几何 空间几何体的结构特征、表面积与体积考点一 空间几何体的结构特征 多面体的结构特征名
9、称棱柱棱锥棱台图形结构特征（）有两个面互相平行，其余各个面都是四边形；（）每相邻两个四边形的公共 边 都互相平行有一 个 面（即 底面）是多边形，其余各 面是有 一 个公 共 顶 点 的 三角形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面 和 截 面 之间的部分侧棱 平行且相等 相交 于一点 但 不一定相等延长线交于一点侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形大圆侧面展开图 矩形 扇形 扇环 用斜二测画法画直观图的步骤（）画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 轴、轴
10、，两轴相交于点，画直观图时，把它们画成对应的 轴、轴，两轴相交于点，且使（或），已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中长度 保持不变，平行于 轴的线段，长度变为 原来的一半（）画几何体的高在已知图形中过点 作 轴垂直于平面，在直观图中画出对应的 轴，垂直于平面，已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中平行于 轴且 长度不变 考点二 空间几何体的体积名称体积柱体 锥体 台体 （）球体 考点三 空间几何体的表面积 多面体的表面积等于其各个面的面积之和 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积公式名称表面积侧面积圆柱 （）侧 圆锥（）侧 圆台（）侧（）球 考点一 空间几何体的结构特征已知正三角形 的边长为，那么
11、的平面直观图的面积为（）答案 某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图的轮廓是边长为 的正方形，侧视图的轮廓是底边长分别为 和 的直角梯形，则该几何体的体积为（）年高考年模拟 版（教师用书）答案 某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为直角边长是 的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是（）答案 给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是 答案 给出下列命题：在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直
12、角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的序号是 答案 考点二 空间几何体的体积如图，在圆锥 的轴截面 中，有一小球 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球 的体积为，圆锥 的体积为，则 的值为（）答案 如图，四棱锥 的底面 为平行四边形，为棱 上一点，则三棱锥 与三棱锥 的体积之比为（）答案 如图所示，正三棱柱 的底面边长为，侧棱长为，为 的中点，则三棱锥
13、的体积为（）答案 如图，在四边形 中，则四边形 绕 所在直线旋转一周所形成几何体的体积为 答案 考点三 空间几何体的表面积在底面半径为，母线长为 的圆锥中内接一个高为 的圆柱，则圆柱的表面积是 答案（）已知直三棱柱 的 个顶点都在球 的球面上，且，则球 的表面积是 答案 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵 中，则阳马 的外接球的表面积是 专题八 立体几何 答案 已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱
14、与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球 的表面上，若球 的表面积为，则该三棱柱的侧面积为 答案 考点一 空间几何体的结构特征（河北衡水中学三调，）已知正方体 的外接球的体积为 ，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）或 或 答案 设正方体的棱长为，依题意得，解得 由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图 对应的几何体的表面积为 ，图 对应的几何体的表面积为 故选 如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；该几何体有 条棱、个顶点；该几何体有 个面，并且各面均为三角形；该几何体有 个面，其中一个
15、面是四边形，其余均为三角形答案 解析 平面 将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而平面 是该组合体的一个截面，而不是一个面，故填考点二 空间几何体的体积（辽宁大连二模，）若某几何体的三视图如图所示，其中主视图与侧视图都是边长为 的正方形，则该几何体的体积为（）答案 几何体为四棱锥，是正方体的一部分，也可以看作是三棱柱去掉两个三棱锥，几何体的体积为 故选（云南师范大学附属中学高三上第一次月考，）如图，网格纸的小方格都是边长为 的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）年高考年模拟 版（教师用书）答案 由三视图还原几何体如图该几何体是一个底面为
16、正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥，侧面 底面，底面边长为，锥体的高为，四棱锥的体积为 ，半圆锥的体积为 ，故该几何体的体积为，故选 思路分析 由三视图还原几何体，可知原几何体是一个底面为正方形的四棱锥挖去了一个半圆锥，由四棱锥体积减去半圆锥体积便可求解该几何体的体积（吉林长春质检，）九章算术 卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 丈），那么该刍甍的体积为（）立方丈 立方丈 立方丈 立方丈答案 如图所示，由三视图可还原得到几何体，过，分别作垂直于底面的截面 和，
17、可将原几何体切割成直三棱柱，四棱锥 和四棱锥，易知三棱柱 的体积为 （立方丈），两个四棱锥的体积相同，都为 （立方丈），则原几何体的体积为 （立方丈），故选（云南大理二模，）在四棱锥 中，底面，底面 为正方形，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（）答案 根据几何体的三视图可得，该几何体是由过 且平行于 的平面截四棱锥 所得的几何体截去的部分为三棱锥，设 ，则 三棱锥 四棱锥 正方形 剩余部分的体积 剩余部分 四棱锥三棱锥 剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为 故选 思路分析 根据几何体的三视图可得，该几何体是过 且平行于 的平面截四棱锥 所得
18、的几何体，截去的部分为三棱锥，剩余部分 四棱锥 三棱锥设 ，即可得出（黑龙江哈六中二模，）如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 的正方形，且 ，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为 答案 解析 由题意可知四棱锥 为正四棱锥，设正四棱锥的斜高为，则 ，解得 ，则正四棱锥的高 正四棱锥的体积 （河北石家庄 月质检，）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，底面，为对角线 与 的交点，若 ，则棱锥 的外接球的体积是 专题八 立体几何 答案 解析 底面 为菱形，为对角线 与 的交点，又 底面，面，三角形 与三角形 均为直角三角形，公共斜边的中点即为球心，（为 外接球的半径），故三棱锥 的外接球的体积是 ，故答
19、案为 解后反思 求解三棱锥外接球的表面积或体积的关键是过好双关：一是方程关，即能借助图形，适时运用勾股定理或正、余弦定理，得外接球的半径 所满足的方程（组）；二是公式关，即应用球的表面积公式 求其表面积，或应用球的体积公式 求其体积考点三 空间几何体的表面积（广西梧州高三摸底调研，）如图是乐高玩具中某一组件的三视图，则该组件的表面积为（）答案 由几何体的三视图可知，该几何体是一个长方体挖去了一个半圆柱，其直观图如图所示所以该组件的表面积为 ()（河南郑州一模，）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（）（）答案 由题意可知，几何体下部是圆锥，上
20、部是直四棱柱，如图，可得：几何体的表面积为 （）故选 解题关键 判断出几何体的形状，利用三视图中的数据求解几何体的表面积即可已知各棱长为，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥，则它的表面积为 答案（）解析 如图，设 为 的中点，为底面正方形对角线的交点，连接，四棱锥 的各棱长均为，各侧面都是全 等 的 正 三 角 形，则 侧 表 侧底 （）（吉林梅河口五中 月月考，）已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ，则棱锥 的侧面积为 答案 解析 如图，由已知得 ，因为 ，所以 中 边上的高为()，中 边上的高为 因为四边形 为矩形，所以 ，所以棱锥 的侧面积 年高考年模拟 版（教师用书）
21、考法与球有关的切、接问题 例（）（皖南八校联考，）将半径为，圆心角为 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）（）（届河北张家口、邢台、衡水摸底联考，）已知球 是三棱锥 的外接球，则当点 到平面 的距离取最大值时，球 的表面积为 解题导引 （）为定值，点 到平面 的距离取最大值时，直线 与平面 有什么样的位置关系？此时直线平面，将三棱锥补成直三棱柱，利用直三棱柱上、下底面中心的连线的中点是外接球的球心，从而确定三棱锥 的外接球球心的位置解析（）设圆锥的底面半径为，高为，则 ，设内切球的半径为，则 ，则 ，故选（）当点 到平面 的距离最大时，平面 如图，将三棱锥 以 为底面，为侧棱补成一
22、个直三棱柱，则球 是该三棱柱的外接球，球心 到底面 的距离 在 中，由正弦定理得 的外接圆半径 ，所以球 的半径为 ，所以球 的表面积为 答案（）（）规律总结 球的“切”“接”问题的处理规律（）“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体解答时要找准切点，通过作截面来解决（）“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径与球有关的组合体的常用结论（）长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：（，为长方体的长、宽、高）（）正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球：外接球：球心是正方体的中心，半径
23、 （为正方体的棱长）；内切球：球心是正方体的中心，半径 （为正方体的棱长）；与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心，半径 （为正方体的棱长）（）正四面体的外接球与内切球（正四面体可以看作正方体的一部分）：外接球：球心是正四面体的中心，半径 （为正四面体的棱长）；内切球：球心是正四面体的中心，半径 （为正四面体的棱长）例（陕西咸阳二模，）已知一个三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的内切球的体积为 解析 解法一：如图，取 的中点，连接、，在 中，过点 作 于，则正四面体内切球的球心 在 上易知 也是正四面体 的外接球的球心连接，则、为外接球半径，为所求内切球半径设，在等边三角形 中，由 ，即 ，解
24、得 ，则 ，即三棱锥内切球的半径是 ，内切球的体积为 解法二：因为三棱锥的四个面均为边长是 的等边三角形，专题八 立体几何 所以三棱锥的表面积 而三棱锥的体积 （）设内切球的半径为，则 ，即 ，故内切球的体积为 答案 例（）已知四面体 的四个顶点都在球 的球面上，若 平面，且 ，则球 的表面积为（）（）过球 表面上一点 引三条长度相等的弦，且两两夹角都为，若球的半径为，则 的面积为（）在球面上有四个点，如果，两两互相垂直，且，则这个球的表面积为 解析（）解法一：如图所示，因为 平面，在四面体的基础上构造长方体，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的体对角线就是外接球的直径，即 ，所以
25、 ，所以球 的表面积 ()故选 解法二：经过分析发现 与 有公共的斜边，它们的外接圆的圆心都是 的中点，而这一点到四个顶点的距离相等，从而该点也就是外接球的球心，所以可以得到外接球的半径 ，球 的表面积 （）解法一：由条件知 是正四面体，将 正 三 棱 锥 补 成 一 个 正 方 体，如图，则三 棱 锥 和 正 方 体 有共同的外接球 设正方体 的棱长为，则正方体外接球的半径 满足 （），解得 ，所以 的面积 解法二：由条件知 是正四面体，球心 在正四面体中心如图，设，的中点为，为过点，的截面圆的圆心，则截面圆半径 ，正四面体 的高 所以截面 与球心的距离 ，在 中，解得 所以 的面积 （）解
26、法一：根据球的截面性质，正三棱锥 的外接球的球心一定在该三棱锥的高所在的直线上设球 的半径为，三点所在圆 的半径为，在 中，由 正 弦 定 理 得 ，所以 设点 在内的射影是 的中心，有 平面，而 平面，所以，三点共线，球的半径 ，又 ，所以 ，解得 ，所以 球 解法二：这是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥（形如墙角），且所有侧棱长相等，可以考虑将其补为一个正方体，这样，四个点正好是正方体的四个顶点，其体对角线就是外接球的直径因此（），所以 ，有 球 答案（）（）（）考法与球有关的切、接问题（多选题）（湖南怀化期末检测，）已知，三点均在球 的表面上，且球心 到平面 的距离等于球半径的 ，则下列结论
27、正确的是（）球 的半径为 球 的表面积为 球 的内接正方体的棱长为 球 的外切正方体的棱长为 答案（山东滨州期末，）在四面体 中，且，则该四面体体积的最大值为 ，该四面体外接球的表面积为 答案；（山东滕州一中 月模拟，）已知正三棱锥，为 的中点，则正三棱锥 的外接球的半径为 ；过 的平面截三棱锥 的外接球所得截面的面积范围为 年高考年模拟 版（教师用书）答案 ；，（湖北襄阳四中 月月考，）已知三棱锥 的各顶点都在同一个球面上，所在截面圆的圆心 在 上，平面，若三棱锥的体积是 ，则该球体的球心到棱 的距离是 答案 考法与球有关的切、接问题（广西南宁二中、柳州高中第二次联考，）某四面体的三视图如图
28、所示该四面体的外接球的表面积为（）答案 由三视图知，该四面体 中，平面，由 余 弦 定 理，得 ，外 接 圆 直 径 ，设四面体 外接球的直径为，则（）（），球 （江西宜春 月大联考，）如图是某几何体的三视图，该几何体的轴截面的面积为，则该几何体的外接球的表面积为（）答案 由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的高为，则轴截面的面积 轴 （），设圆台的外接球的半径为，则由题意得，解得 （或 ，此时无解），外接球的表面积 ，故选（安徽黄山模拟，）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为（）（）（）（）（）答案 将该三棱锥放入棱长为 的正方体中，如图所
29、示：设三棱锥内切球的半径为，则由等体积法得 （），解得 ，所以该三棱锥内切球的表面积 （）（）故选 思路分析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据等积法求出三棱锥内切球的半径，再计算内切球的表面积（湖南顶级名校 月联考，）正三棱锥（底面 为正三角形，顶点 在底面的射影为底面 的中心）中，其体积为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 答案 解析 因为正三棱锥 中，所以、两两垂直且相等，设，则 ，得 因为、两两垂直且相等，所以可将该三棱锥补形为棱长是 的正方体，则三棱锥的外接球即为该正方体的外接球，故外接球直径 ，则该球的表面积 专题八 立体几何 例 如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，
30、从 的中点 处拉一条绳子绕圆台侧面转到 点（）求绳子的最短长度；（）当绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离解题导引 我们知道两点之间线段最短，要求绳子的最短长度，我们如何将其转化为两点间的线段长度问题？可沿 将侧面展开为平面图形，然后在平面图形中通过解三角形求解解析（）如图，画出圆台的侧面展开图（沿 展开）并延长，交于点，连接，则 的长即为绳子的最短长度设，圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长 ，（），由解得 ，在中，由 余 弦 定 理 得 ，绳子的最短长度为（）过 作，与弧 交于，则 的长即为所求 ，所以最短距离为 方法总结 利用“展图法”成功地将立体几何问题转化为平面几何问题；
31、此题用到将圆台的侧面展开图“补成”圆锥的侧面展开图进行研究，这种割补的思想是重要的数学思维方法（多选题）（山东潍坊一模，）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）假设该沙漏每秒钟漏下 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆以下结论正确的是（）沙漏中的细沙的体积为 沙漏的体积是 细沙全部漏入下部后圆锥形沙堆的高度约为 该沙漏的一
32、个沙时大约是 秒（）答案 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 尺，米堆的高为 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 斛米的体积约为 立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米约有（）斛 斛 斛 斛答案 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）答案（课标，分）学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型如图，该模型为长方体
33、 挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打 年高考年模拟 版（教师用书）印所用原料密度为 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 答案（课标，分）如图，圆形纸片的圆心为，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为，为圆 上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，得到三棱锥当 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为 答案 考点一 空间几何体的结构特征（课标，文，理，分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底
34、边上的高与底面正方形的边长的比值为（）答案（课标理，分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（）答案（多选题）（新高考适应卷，分）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）答案（课标，分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 是一个棱数为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 则该半正多
35、面体共有 个面，其棱长为 （本题第一空 分，第二空 分）图 图 答案；（新高考适应卷，分）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有 个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为（）求四棱锥的总曲率；（）若多面体满足：顶点数棱数面数 ，证明：这类多面体的总曲率是常数考点二 空间几何体的体积（课标，分）已知
36、三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，是边长为 的正三角形，分别是，的中点，则球 的体积为（）答案（新高考适应卷，分）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 的球面上，其上、下底面半径分别为 和，则该圆台的体积为 答案（江苏，分）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为 ，则此六角螺帽毛坯的体积是 答案 ()专题八 立体几何（课标，文，理，分）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为 答案 （江苏，分）如图，长方体 的体积是，为 的中点，则三棱锥 的体积是 答案（天津，分）已知正方体 的棱长为，除面 外，该正方体其余各面
37、的中心分别为点，（如图），则四棱锥 的体积为 答案（江苏，分）如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 答案（江苏，分）如图，在圆柱 内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 的体积为，球 的体积为，则的值是 答案 考点三 空间几何体的表面积（课标理，分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）答案（北京，分）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）答案（天津，分）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）答案（课标，文，理，分）已知 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 的球面上若球 的表面积为，则 到
38、平面 的距离为（）答案（课标，文，理，分）已知，为球 的球面上的三个点，为 的外接圆 若 的面积为，则球 的表面积为（）答案（浙江，分）已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 答案（课标，分）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为 ，与圆锥底面所成角为 若的面积为，则该圆锥的侧面积为 答案 年高考年模拟 版（教师用书）考点一 空间几何体的结构特征（浙江，分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 柱体，其中 是柱体的底面积，是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：）
39、，则该柱体的体积（单位：）是（）答案 本题考查空间几何体的三视图、直观图；以三视图还原直观图为背景考查学生的空间想象能力和运算求解能力；体现直观想象的核心素养；以祖暅原理为背景旨在弘扬中华优秀传统文化，指导学生树立正确的历史观、民族观、国家观由三视图知该柱体的直观图为如图所示的五棱柱，取 中点，连接，由侧视图知，底面积 梯形 梯形 （）（），该柱体体积 故选 解题关键 正确利用正视图与俯视图“长对正”的原理确定，的长（课标理，文，分）某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如图圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长
40、度为（）答案 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题由圆柱的三视图及已知条件可知点 与点 的位置如图 所示，设 与 为圆柱的两条母线，沿 将圆柱侧面展开，如图 所示，即为从 到 的最短路径，由题知，故选图 图 方法点拨 由三视图还原直观图需遵循以下三步：（）看视图明关系；（）分部分想整体；（）合起来定整体解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法：把立体图形展为平面图形，利用两点之间线段最短进行求解（北京理，文，分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）答案 本题考查空间几何体的三视图和直观图，空间线、面的位置关系由三视图得四棱锥的直观图如
41、图所示其中 底面，由 底面，底面，得，故，为直角三角形，又，平面，平面，又平面，即 也是直角三角形，从而 ，又 ，不是直角三角形，故选 方法技巧 三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”，另外，在将三视图还原为直观图时，借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单（北京理，分）在空间直角坐标系 中，已知专题八 立体几何（，），（，），（，），（，）若，分别是三棱锥 在，坐标平面上的正投影图形的面积，则（）且 且 且 答 案 三 棱 锥 如 图所示 ，且，故选（湖南理，分）已知棱长为 的正方体的俯视图是一个面积为 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）答案 若该正方体的
42、放置方式如图所示，当正视的方向与正方体的任一侧面垂直时，正视图的面积最小，其值为，当 正 视 的 方 向 与 正 方 体 的 对 角 面 或 垂直时，正视图的面积最大，其值为 ，由于正视的方向不同，因此正视图的面积，故选 评析 本题考查空间几何体的三视图与直观图，考查学生空间想象能力及有关知识的应用能力，解答本题应设法求出正视图的面积的取值范围，而不应该逐项计算考点二 空间几何体的体积（浙江，分）某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（）答案 由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，其中它们的底面是等腰直角三角形，所以该几何体的体积等于 （），故
43、选（浙江，分）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）答案 本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为 ，高为，直四棱柱的高为 故直四棱柱的体积 思路分析 （）利用三视图可判断几何体是直四棱柱；（）利用“长对正，高平齐，宽相等”的原则，可得直四棱柱的各条棱长（课标理，文，分）设，是同一个半径为 的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（）答案 本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题设等边 的边长为，则有 ，解得 设 外接圆的半径为，则 ，解
44、得 ，则球心到平面 的距离为（），所以点 到平面 的最大距离为 ，所以三棱锥 体积的最大值为 ，故选 方法总结 解决与球有关的切、接问题的策略：（）“接”的处理：构造正（长）方体，转化为正（长）方体的外接球问题空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面（过球心，接点等）利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线（）“切”的处理：体积分割法求内切球半径作出合适的截面（过球心，切点等），在平面上求解多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题（课标，理，文，分）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几
45、何体的体积为（）年高考年模拟 版（教师用书）答案 本题考查三视图和空间几何体的体积由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为，高为 的圆柱，所以该几何体的体积 故选 方法总结 如果不能直接求几何体的体积，应利用割补法或换底法求解（课标，理，文，分）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）答案 本题考查球的内接圆柱的体积设圆柱的底面半径为，则()，解得 ，圆柱 ，故选 思路分析 利用勾股定理求圆柱的底面半径，再由体积公式求圆柱的体积解题规律 有关球的切或接问题，要重视利用勾股定理求解（山东理，分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示
46、则该几何体的体积为（）答案 由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为，四棱锥的高为，球的直径等于正四棱锥底面正方形的对角线的长，所以球的直径 ，即 ，所以半球的体积为 ，又正四棱锥的体积为 ，所以该几何体的体积为 故选 易错警示 不能从俯视图中正确地得到球的半径，而错误地从正视图中得到球的半径 评析 本题考查了空间几何体的三视图和体积公式正确得到几何体的直观图并准确地计算是解题关键（北京，分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）答案 由三视图可画出三棱锥的直观图如 图 所 示，其 底 面 是 等 腰 直 角 三 角 形，直角边长为，三棱锥的高为，故体积 故选（课标，理，文，
47、分，）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）答案 如 图，由 已 知 条 件 可 知，在 正 方 体 中，截去三棱锥 后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体，设该正方体的棱长为，则截去部分的体积为 ，剩余部分的体积为 它们的体积之比为 故选（重庆理，分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）专题八 立体几何 答案 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为 的圆柱和底面半径为，高为 的半圆锥拼成的组合体所以该几何体的体积为 ，故选（浙江理，分）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）答案 由三视图知，该几
48、何体是由棱长为 的正方体和底面边长为 ，高为 的正四棱锥组合而成的几何体所以该几何体的体积 ，故选（山东理，分）在梯形 中，将梯形 绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）答案 如图，此几何体是底面半径为，高为 的圆柱挖去一个底面半径为，高为 的圆锥，故所求体积 评析 本题主要考查几何体的体积及空间想象能力（湖南文，分）某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 材料利用率 新工件的体积原工件的体积()（）（）（）答案 由三视图可知，原工件是一个底面半径为，母线长为 的圆锥，
49、则圆锥的高为 ，新工件是该圆锥的内接正方体，如图，此截面中的矩形为正方体的对角面，设正方体的棱长为，则 ，解得 所以正方体的体积 ，又圆锥的体积 ，所以原工件材料的利用率为，故选（陕西理，分）已知底面边长为，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）答案 如图为正四棱柱 根据题意得 ，对角面 为正方形，外接球直径 ，球 ，故选（课标，理，文，分，）如图，网格纸上正方形小格的边长为（表示 ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 ，高为 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）年高考年模拟 版（教师用书）答案 该零件是两个圆柱体构
50、成的组合体，其体积为 ，圆柱体毛坯的体积为 ，所以切削掉部分的体积为 ，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ，故选（课标，理，文，分，）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）答案 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成其中长方体的长、宽、高分别为、，圆柱的底面半径为，高为 所以该几何体的体积 故选 思路分析 由三视图分析该几何体的构成，从而利用三视图中的数据计算几何体的体积（浙江文，分）已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）答案 由三视图可知，该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥，结合所给数据，可得其体积为 （），故选（大纲全国，理，文，分）如图
51、，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）答案 由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面 为等腰三角形，底边 ，边上的高为，底面，且 ，所以该几何体的体积 故选 评析 本题考查了三视图和三棱锥的体积，考查了空间想象能力由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键（陕西文，分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）答案 由给出的三视图可得原几何体为正方体中挖去一圆锥，且此圆锥以正方体的上底面内切圆为底，以正方体的棱长为高故所求几何体的体积为 评析 三视图是考查空间想象能力很好的一个题材，正确解答此类题目的关键是平时空间想象能力的培养，对文科学生
52、来说，本题属中等难度题（天津，理，文，分）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 答案 解析 本题考查了圆柱、正四棱锥的性质，通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的空间想象能力和转化思想方法的应用，体现了直观想象的核心素养如图所示，圆柱的高 ，圆柱的底面半径 所以圆柱的体积 专题八 立体几何（天津理，分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积为 答案 解析 四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其面积为 ，四棱锥的高为 ，所以四棱锥的
53、体积 易错警示 该题有两点容易出错：一是锥体的体积公式中的系数 易漏写；二是底面平行四边形的面积易错误地写成 评析 本题考查了三视图和直观图，考查了锥体的体积（四川，分）已知三棱锥的四个面都是腰长为 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 答案 解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为 ，三 棱 锥 的 高 为，则 三 棱 锥 的 底 面 积 为 （），该三棱锥的体积为 评析 正确理解正视图中的数据在直观图中表示的含义很关键（山东理，分）三棱锥 中，分别为，的中点，记三棱锥 的体积为，的体积为，则 答案 解析 如图，设 ，到平面 的距离为，到平面 的距离为，则
54、 ，评析 本题考查三棱锥的体积的求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化，找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系，从而造成题目无法求解或求解错误（安徽，分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 答案 解析 由题意知，该三视图对应的几何体如图，其体积 （）评析 本题主要考查三视图的知识，考查学生的空间想象能力由三视图得到直观图是解题关键（课标理，分）已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ，则棱锥 的体积为 答案 解析 如图，连接，交于，则 为矩形 所在小圆的圆心，连接，则 面，易求得 ，又 ，棱锥体积 失分
55、警示 立体感不强，空间想象能力差，无法正确解出棱 年高考年模拟 版（教师用书）锥的高而得出错误结论评析 本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算，通过球这个载体考查学生的空间想象能力及推理运算能力（课标文，分）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 答案 解析 如图，设球的半径为，圆锥底面半径为，由题意得 ，体积较小的圆锥的高 ，体积较大的圆锥的高 故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 评析 本题考查球、球内接圆锥的相关问题，考查，的关系，由题意得到
56、是解答本题的关键考点三 空间几何体的表面积（课标文，分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 的正方形，则该圆柱的表面积为（）答案 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面设圆柱的底面半径为，高为，由题意可知 ，圆柱的表面积 故选 解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键（课标文，分）体积为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）答案 设正方体的棱长为，则 ，解得 设球的半径为，则 ，即 ，所以球的表面积 故选 方法点拨 对于正方体与长方体，其体对角线为其外接球的直径，即外接球的半径等于体对角线的一半（课标，理，文，分
57、）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）答案 由三视图知圆锥的高为 ，底面半径为，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为 圆柱的底面积为，圆柱的侧面积为 ，从而该几何体的表面积为 ，故选 评析 本题考查了三视图和圆柱、圆锥的侧面积公式运算失误是失分的主要原因（课标，理，文，分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）答案 由三视图可知，该几何体是一个球被截去 后剩下的部分，设球的半径为，则该几何体的体积为 ，即 ，解得 故其表面积为 选 评析 三视图问题主要考查空间想象能力本题考查内容较多，其中包括球
58、的体积、表面积的求法属中等难度题（课标，理，文，分）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）答案 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 的正方形，高为，侧棱长为 ，则该几何体的表面积 故选 易错警示 由于空间想象能力较差，误认为侧棱长为，或漏专题八 立体几何 算了两底面的面积是造成失分的主要原因评析 本题考查了几何体的三视图和柱体的表面积，考查了空间想象能力掌握侧面的形状是求解的关键（课标理，分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为，则（）答案 由已知条件可知，该几
59、何体由圆柱的一半和半球组成，其表面积为 由 得 故选（北京理，分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）答案 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中，取 的中点，连接，则 ，故 ，由正视图和侧视图可知 平面，因此可得 ，所以三棱锥的表面积为 ，故选（陕西，理，文，分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）答案 由题中三视图知该几何体是底面半径为，高为 的半个圆柱，故其表面积 评析 本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积，考查运算及推理能力和空间想象能力由三视图确定几何体的直观图是解题的关键（课标，理，文，分）已知，是球 的球面上两点，为该球面上的动点若三棱锥
60、体积的最大值为，则球 的表面积为（）答案 是定值，且 ，当 平面 时，最大，即 最大设球 的半径为，则（），球的表面积 思路分析 由 的面积为定值分析出当 平面 时，三棱锥 的体积最大，从而根据已知条件列出关于 的方程，进而求出 值，利用球的表面积公式即可求出球 的表面积导师点睛 点 是动点，在三棱锥 中，如果以面 为底面，则底面面积与高都是变量，而 为定值，因此转化成以面 为底面，这样高越大，体积越大（浙江理，分）某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的表面积是（）答案 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成（如图），其表面积为 （）（福建文，分）以边长为 的正方形的
61、一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）答案 由题意得圆柱的底面半径 ，母线 圆柱的侧面积 故选 年高考年模拟 版（教师用书）（课标文，分）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，是球 的直径若平面 平面，三棱锥 的体积为，则球 的表面积为 答案 解析 解法一：由题意作出图形，如图设球 的半径为，由题意知，又，则 连接，则，因为平面 平面，平面 平面，所以 平面，所以，则 ，所以 是边长为 的等边三角形，设 的中心为，连接，则 平面，则 ，则 （），所以 所以球 的表面积 解法二：由题意得，所以 是平面 与平面 所成二面角的平面角，又因为，所以 平面 因为平面 平面，所
62、以，所以 ()由于 ，从而球 的半径 ，故球 的表面积 （课标，分，）已知正四棱锥 的体积为 ，底面边长为 ，则以 为球心，为半径的球的表面积为 答案 解析 设底面中心为，连接，则 ，体积 ，从而以 为半径的球的表面积 思路分析 先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥 的高，再利用勾股定理求出 ，最后根据球的表面积公式计算即可（课标，分，）已知 是球 的直径 上一点，平面，为垂足，截球 所得截面的面积为，则球 的表面积为 答案 解析 平面 截球 所得截面为圆面，圆心为，设球 的半径为，则由 得 ，由圆 的面积为，得圆 的半径为，所以()，得出 ，所以球 的表面积 （福建理，分）已知某
63、一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 的正方形，则该球的表面积是 答案 解析 由三视图知：棱长为 的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为 ，即为球的直径所以球的表面积为 时间：分钟 分值：分一、单项选择题（每题 分，共 分）（届天津新华中学 月月考，）设所有棱长都为 的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）答案（届陕西安康 月联考，）四棱锥 的顶点都在球 的球面上，四边形 是边长为 的正方形，若四棱锥 体积的最大值为，则球 的表面积为（）答案（届江苏扬州期中检测，）已知一个球的半径为，则该专题八 立体几何 球内
64、接正六棱锥的体积的最大值为（）答案（届广东东华高级中学第二次联考，）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”若该多面体的棱长为，则其体积为（）答案（届广东湛江高中毕业班调研测试，）鳖臑（）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼已知三棱锥是一个鳖臑，其中 ，且 ，则三棱锥 的外接球的体积是（）答案（湖南长沙雅礼中学月考（七），）在三棱锥 中，二面角 的余弦值是 ，若，都在同一球面上，则该球的表面积是（）答案（福建宁德
65、 月质量检查，）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）答案（湖南衡阳联考，）在三棱锥 中，平面，且 若三棱锥 的外接球体积为，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为（）答案（湖南长郡中学第二次适应性考试，）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）答案（辽宁瓦房店高级中学 月月考，）一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为 ，则圆锥的内切球的表面积为（）（）（）（）答案 二、多项选择题（共 分）（山东潍坊期末，）等腰直角三角形的直角边长为，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）（）（）答案 三、填空题（每题 分，共 分）（届上海嘉定一中
66、测试，）已知边长为 的正方形 绕 所在直线旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 答案（届河北百师联盟联考，）我国古代数学名著 九章算术中将正四棱锥称为方锥已知某方锥的各棱长均为，则其内切球的体积为 答案 （届山东开学质量检测，）已知四面体 中，则其外接球的体积为 答案（届广东仲元中学、中山一中等七校联合体第一次联考，）已知过球面上三点、的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 ，则球的半径等于 ；球的表面积等于 答案 ；（福建漳州二模，）已知正四面体 的外接球的体积为 ，则这个四面体的表面积为 答案 年高考年模拟 版（教师用书）（湖北恩施二模，）某圆锥的母线长为，高为 ，其三视图如图所示，圆锥表
67、面上的点 在正视图上的对应点为，圆锥表面上的点 在侧视图上的对应点为，则在此圆锥侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为（）答案 因为圆锥的母线长为，高为 ，所以底面半径 ，所以底面周长为 ，所以侧面展开图中扇形中心角为 ，所以从 到 的路径中，最短路径的长度为 （河南郑州一模，）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（）（）（）（）答案 由三视图知该几何体是由两个圆锥与一个长方体组合而成的，两个圆锥的底面半径均为，高分别为 和，长方体的长、宽、高分别为 、，则该几何体的表面积 （），故选（贵州遵义四中 月月考，）已知三棱锥 的所有顶点都在球
68、的球面上，是边长为 的正三角形，为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为（）答案 取 的中点，连接，则 因为 为球 的直径，点、都在球面上，所以，又因为 是边长为 的正三角形，且 ，所以 ，所以，又 因 为 ，所 以 面，所 以 （）()，()，在三角形 中，所以 ，所以 ，所以棱锥的体积 （北京朝阳期末，）以棱长为 的正方体各面的中心为顶点构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（）答案 设原正方体、正八面体、小正方体分别为、，已知 的棱长为，以正方体 各面中心为顶点的凸多面体 为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方
69、形对角线长等于正方体 的棱长，所以该正八面体 的棱长为 ，以 各个面的中心为顶点的正方体为，正方体 面对角线长等于 棱长的 ，为 ，所以小正方体 的棱长为 ，故选（安徽 联盟 月联考，）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）答案 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥（侧棱 垂 直 于 底 面），其 直 观 图 如 图 所 示，（）（），专题八 立体几何 ，（），在 中，（）（），又 ，该四棱锥的侧面积 故选 方法技巧 对于三视图问题，一般根据该几何体的三视图判断几何体的形状，再作出其直观图，从而根据直观图来计算棱长、表面积和体积，在解决组合体表面积问题时，一定要注意重叠面，尤其要
70、注意重叠面是否完全重叠（云南玉溪一中期中，）已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，且 平面，若该三棱锥的体积为 ，则球的表面积等于（）答案 根据 ，由余弦定理的推论可得 ，解得 ，解得 设 外接圆的半径为，则 ，球的半径 ()球的表面积 ，故选（江西南昌调研，）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中 （，），则此三棱锥体积的最大值为 答案 解析 如图，由题意，知三棱锥的直观图为三棱锥，且长方体 的长、宽、高分别为，此三棱锥的体积 ()，当且仅当 ，时，等号成立，三棱锥体积的最大值为 （陕西部分重点中学摸底检测，）把边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面，形成的三棱锥 的正视图与俯视图如图
71、所示，则侧视图的面积为 答案 解析 由三棱锥 的正视图、俯视图得三棱锥 的侧视图为直角边长为 的等腰直角三角形，所以三棱锥 的侧视图的面积为 （宁夏银川一模，）已知矩形 的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 答案 解析 设正六棱柱的底面边长为，高为，则 ，正六棱柱的体积 （）（），当且仅当 时，等号成立，此时 ，又正六棱柱的外接球的球心是其上、下底面中心连线的中点，则外接球的半径为()，外接球的表面积为 （东北师大附中、重庆一中等校联合模拟，）若侧面积为 的圆柱有一外接球，当球 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为 答案 解析 设圆柱的底面半径
72、为，高为，年高考年模拟 版（教师用书）则球的半径()因为球的体积 ，故 最小当且仅当 最小圆柱的侧面积为 ，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取“”，此时球 的体积取最小值所以 ，圆柱的表面积为 如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形，点 为侧棱 上的动点若 周长的最小 值 为 ，则 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面积为 答案 解析 将侧面 和侧面 沿 展开在同一平面内，如图，易知当 为侧棱 的中点时，的周长最小，此时设（），则 ，可得 ，又易知三棱锥 外接球的球心为 的中点，半径 ，则三棱锥 外接球的表面积 （广西柳州重点中学摸底考试，）菱形 的边长为，将 沿对角线 翻折，使得二面角 的大小为，已知、四点在同一球面上，则球的表面积等于 答案 解析 设球的半径为 如图，点，分别为，外接圆的圆心，点 为球心，连接，并延长，由菱形性质知直线，交于一点，且 在 上，连接，易知，因为菱形 的边长为，所以 ，由菱形的对称性及二面角 的大小为，四点在同一球面上得 ，所以 ，故答案为 方法总结 找几何体外接球球心的方法：（）构造长方体（或正方体），将原几何体外接球转化成长方体（或正方体）的外接球，进而得球心的位置；（）找几何体底面的外心，过 作底面的垂线，再找几何体一侧面的外心，过 作该侧面的垂线，则 与 的交点即为外接球的球心
