1、江苏省南通中学2018-2019学年高一数学5月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A. 2B. 4C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】化为标准方程求解.【详解】圆化为标准方程为圆的圆心坐标和半径分别是 故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程与的标准方程互化，属于基础题.2.若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化为标准方程，根据半径必须大于零求解.【详解】表示一个圆，所以 ，解得 故选C.【点睛】本题考查圆的一般方程与
2、标准方程的互化，属于基础题.3.若直线与直线垂直，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线的垂直关系求解.【详解】由与垂直得：，解得 ，故选A.【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于基础题.4.设为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是 ( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故错；对于B，mn，mn或m，故错；对于C，mn，mn，正确；对于D，mn，mn或m，故错；故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些
3、知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.(2)对于类似直线平面位置关系的判断，可以利用举反例和直接证明法.5.设为圆上任一点，则的最小值是 ( )A. B. 4C. 6D. 3【答案】B【解析】【分析】根据点与圆心的距离求解.【详解】点与圆的圆心的距离等于：，则点在圆外，所以的最小值是5减去圆的半径1，等于4.故选B.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，属于基础题.6.直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设ykxb，由题意得k0，b0，且解得考点：点斜式方程及三角形的面积.7.直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是( )A.
4、B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，（1）的斜率为，当直线时，的方程是，即；(2)当直线经过线段的中点时，的斜率为，的方程是，即，故所求直线的方程为或，故选C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.已知点，直线与线段相交，则的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得
5、到直线的方程为，然后求出直线与的交点坐标，根据交点横坐标的范围可得所求结果【详解】由题意得直线PQ方程为，由，解得，所以交点坐标为又该交点在线段上，所以，所以，即的取值范围为故选A【点睛】解答本题的关键是将问题进行转化，即转化为交点在线段上运用，由此可得所求范围另外，本题也可根据直线过点分别求出的值，进而可得到所求范围9.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点圆上存在一点，满足，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据与向量的数量积公式求与的夹角，再圆心到直线的距离公式，最后在三角形中求解.【详解】由题意得 ，设与的夹角是 ，且 ，则 由题意知 ，则 ，所以 ，化
6、简 ，因为 ，且 ，所以 ，解得 ，设圆心 到直线的距离为，则 ，即，解得，故选A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，直线与圆的综合应用；此题的关键在于求出与的夹角.10.在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为、，且，则实数的值是（ ）A. 3B. 或C. 或2D. 2【答案】B【解析】【分析】实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而得到四点共线，即可求解.【详解】设中点为，圆心 ，根据对称性，则， 因为 所以，即 ，因为共线，所以，即，化简得，解得或.故选B.【点睛】本题考查圆与直线应用；本题的关键在于本质的识别，再结合图形求解.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题
7、纸上）11.已知两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】圆心是直径的中点，半径是直径的一半.【详解】线段的中点为圆心，所以圆心坐标为，又 圆的半径为 所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆的标准方程.12.正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，则侧棱与底面所成角为_【答案】45【解析】【分析】先作出线面角，在直角三角形中求解.【详解】设正四棱锥的侧棱长与底面边长为2，如图所示，正四棱锥中，过作平面，连接，则是在底面上的射影，所以即为所求的线面角， ， ， ，即所求线面角为.【点睛】本题考查直线与平面所成的角.13.若直线倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_.【答案】【
8、解析】【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数在上单调递增，所以，当时，所以斜率【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.14.若点为直线上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】把转化为两点距离的平方求解.【详解】由题意知的最小值表示:直线上的点到点的最近距离的平方，由点到直线的距离为： ，所以最小值为.【点睛】本题考查两点距离公式的应用，点到直线的距离公式.15.一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_【答案】7【解析】分析】先求出对称轴，根据与和对称轴的关系求解.【详解】的中点为 ，直线的斜率，所以对称轴方程为 ，的中点为，则由题意得直线与
9、平行，所以即联立解得.所以【点睛】本题主要考查点线点对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在平面直角坐标系中，圆，若圆上存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围为_【答案】(或)【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接，由于， ，解得.【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.三、解答题：共80分.解答应写出文字说明、
10、证明过程或演算步骤.17.如图，已知三棱柱中，平面，分别是棱，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由平面，平面证明AA1CN，由，是棱的中点，证得CNAB，即可证明CN平面ABB1A1；（2）设AB1的中点为P，连接NP、MP，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，从而,四边形是平行四边形，得,利用线面平行的判定，可得CN平面AMB1试题解析：（1）三棱柱中，平面，平面，是棱的中点，平面，平面，平面（2）取的中点，连结.分别是棱的中点，且，三棱柱 中，是棱的中点，且，且，.四边形是平行四边形，.平面，平面，平面.18. （201
11、3湖北）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.（2）由Sbcsin
12、Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.已知两直线（1）求直线与的交点的坐标；（2）求过交点，且在两坐标轴截距相等的直线方程；（3）若直线与不能构成三角形，求实数的值.【答案】（1）（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）
13、联立方程解方程组；（2）分为截距为零和不为零两种情况；（3）三直线不能构成三角形，则与其中一条平行或过的交点.【详解】解： （1）由，解得：所以点的坐标为（2）设所求直线为,当直线在两坐标轴截距为不零时,设直线方程为: ， 则，解得，所以直线的方程为，即.当直线在两坐标轴截距为零时,设直线方程为:设直线方程为:,则，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.（3）当与平行时不能构成三角形，此时：,解得；当与平行时不能构成三角形，此时：,解得；当过的交点时不能构成三角形，此时：，解得.综上，当或或时，不能构成三角形.【点睛】本题考查直线位置关系的应用.20.如图，某海面上有、三个小岛（面
14、积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向处，岛在岛的正东方向处.（1）以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出、的坐标，并求、两岛之间的距离；（2）已知在经过、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）、，（）（2）该船有触礁的危险详见解析【解析】【分析】（1）根据两点距离公式求解；（2）先用待定系数法求出圆方程和直线方程，再根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系.【详解】解：（1）如图所示，在的东北方向，在的正东方向，、，由两点间的距离公式得（）；（2）设过、三点的圆
15、的方程为，将、代入上式得，解得、，所以圆的方程为，圆心为，半径.设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为，由点斜式得船航行方向为直线，圆心到的距离为，所以该船有触礁的危险【点睛】本题考查直线与圆的实际应用，点到直线的距离公式是常用方法；用待定系数法求圆方程时注意选用一般方程，能降低计算难度.21.已知圆：与直线：，动直线过定点.（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于、两点，点M是PQ的中点，直线与直线相交于点N探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）直线的方程为或（2）为定值，详见解析【解析】【分析】（1）假设直线方程，再根据直线与圆
16、相切，则圆心到直线的距离等于半径求解；（2）根据向量加法三角形法和数量积公式把化为，联立两直线方程求出点的坐标，把向量积用坐标表示，化简即可的得到结果.【详解】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，若直线与圆相切，则圆心 到直线的距离等于半径1，所以，解得 ，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.直线的方程为或（2），若直线与轴垂直时，不符合题意；所以的斜率存在，设直线的方程为，则由，即，从而综上所述， 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及应用，向量积的坐标计算；此题的关键在于结合图形把化为.22.在平面直角坐标系中
17、，已知圆经过、三点，是直线上的动点，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点（1）若，求直线的方程；（2）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）求出圆心与半径，设方程为：，因为，则直线到圆心的距离，即可求直线 的方程.（2）设，由点在线段上，得，因为，所以. 依题意知，线段与圆至多有一个公共点，所以，由此入手求得三角形的面积的最小值【详解】解：（1）由题意可知，圆的直径为，所以圆方程为：.设方程为：，则，解得， 当时，直线与轴无交点，不合，舍去所以，此时直线的方程为. （2）设，由点在线段上，得，即.由，得. 依题意知，线段与圆至多有一个公共点，故，解得或.因为是使恒成立的最小正整数，所以. 所以圆方程为： (i) 当直线时，直线的方程为，此时， (ii) 当直线的斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：，点.所以 .又圆心到距离为，所以故 因为，所以.【点睛】本题考查圆锥曲线与直线问题，涉及到的知识点有求圆的方程，直线方程，点到直线的距离公式，以及恒成立问题等，解题的关键是求出圆的方程，属于偏难题目。
