1、3万有引力定律知识点一月地检验1检验目的：维持月球绕地球运动的力与地球上苹果下落的力是否为同一性质的力2检验方法：根据已知的地球和月球间的距离r，月球转动的周期T，由a2rr，可计算出物体在月球轨道上运行时的加速度，再依据地球表面的重力加速度g0和r60R地，看是否满足ag0.3结论：地面上物体所受地球引力，月球所受地球引力，太阳与行星间的引力，遵从相同的规律我们知道月球围绕地球运动试问月球为什么长期围绕地球运动，而没有投入到地球的怀抱？提示：地球与月球之间存在着引力，转动的月球既不会弃地球而去，也不会投向地球的怀抱，是因为地球对月球的万有引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，使月球不停地绕
2、地球运动知识点二万有引力定律1内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比2公式：FG.说明：(1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G6.671011 Nm2/kg2；(2)r为两个质点间的距离，或质量均匀的两个球体的球心间的距离为什么在日常生活中我们感觉不到万有引力的存在？提示：引力存在于任何物体之间，只是对于一般质量的物体(例如人与人之间)来说，这个力显得太小，所以我们无法感觉到考点一月一地检验(1)牛顿的猜想：地球与太阳之间的吸引力与地球对周围物体的引力可能是同一种性质
3、的力，遵循相同的规律(2)检验的思想：如果猜想正确，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度与地面重力加速度的比值，等于地球半径平方与月球轨道半径平方之比，即为a月.(3)检验过程实际测量：月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度ar，经天文观察月球绕地球运动的周期T27.3天3 6002427.3 s2.4106 sr606.4106 m3.84108 m，代入数据解得a2.7103m/s2.理论推导：根据引力公式，对“月地”系统和地面上的物体分别可得m月a月，m物a物m物g，两式相比得月球绕地球的向心加速度a月2g，又r地月60r地，即a月2g9.8 m/s22.7103m/s2.经过两方面的检验
4、，两者结果基本相符(4)检验的结果：地面物体所受地球的引力与天体间的引力是同一性质的力，遵循相同规律【例1】(1)由天文观测数据可知，月球绕地球周期为27.32天，月球与地球间相距3.84108 m，由此可计算出加速度a0.002 7 m/s2.(2)地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，与月球的向心加速度之比为13 630，而地球半径(6.4106 m)和月球与地球间距离的比值为160.这个比值的平方13 600与上面的加速度比值非常接近以上结果说明()A地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质力B地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种类型的力C地面物体所受地球
5、的引力只与物体质量有关，即GmgD月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关明确牛顿月地检验的目的和检验方法是解答本题的关键【解析】通过完全独立的途径得出相同的结果，证明了地球表面上的物体所受地球的引力和天体之间的引力是同一性质的力【答案】A总结提能 月地检验的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律用M表示地球的质量，R表示地球的半径，r月地表示月球到地球的距离在地球引力作用下：地面上物体的重力加速度g.月球的加速度a月.已知r月地60R，利用求13 600.已知r月地3.8108 m，月球绕地球运行的周
6、期T27.3天，计算月球绕地球运行的向心加速度a月已知重力加速度g9.8 m/s2，利用中算出的a月求的值比较，你能得出什么结论？解析：设物体质量为m，在地面上时：mg得g.月球受地球的万有引力Fm月a月得a月.()213 600.由a()2r得a月()23.8108 m/s22.7103 m/s2.比较可知月球所受引力与地面上物体所受引力遵循相同的规律，因而是同一性质的力答案：2.7103 m/s2略考点二万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比(2)公式：FG，其中m1、m
7、2表示两个物体的质量，r表示它们之间的距离，G为引力常量，它是一个与任何物体的性质都无关的常量，在国际单位制中G6.671011Nm2/kg2，其物理意义为两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力的大小(3)适用条件严格地说，万有引力定律适用于质点间的相互作用两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也适用，其中r为两物体质心间的距离(4)对万有引力定律的理解万有引力的普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间
8、任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力万有引力的相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上万有引力的宏观性：在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用万有引力的特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体及物体的运动状态无关【例2】关于万有引力定律的数学表达式FG，下列说法中正确的是()A公式中G为引力常量，是人为规定的B当r趋近于零时，万有引
9、力趋近于无穷大Cm1、m2受到的万有引力总是大小相等，是一对作用力与反作用力Dm1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力本题考查对万有引力定律的理解，解题时要根据万有引力定律的相关知识进行分析判断【解析】万有引力定律的数学表达式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，选项A错误；使用公式FG时，若两物体可以看成质点，则r为两质点间的距离，而认为r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大的纯数学思想是不正确的，此时公式不再适用，选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，分别作用在相互作用的两个物体上，不可能是平衡力，所以选项C正确，D错误【答案】C总结提能 利用
10、万有引力定律解题时，要注意以下三点：(1)理解万有引力定律的内容和适用范围；(2)知道万有引力不是什么特殊的一种力，它同样满足牛顿运动定律；(3)明确公式中各物理量的含义及公式的使用方法(多选)关于万有引力定律及公式FG，下列说法中正确的是(CD)A公式FG只适用于计算天体与天体之间的万有引力B当两物体间的距离r很近时，两物体间已不存在万有引力，故不能用公式FG来计算C地球表面的物体受到地球的万有引力可用公式FG计算D在教室内，同学之间也有万有引力解析：万有引力定律不仅适用于两质点间，也适用于两个质量均匀分布的球体之间，故A错误，C正确；自然界中任何有质量的物体间都存在万有引力，是无条件的，故
11、B错误，D正确考点三引力常量(1)卡文迪许实验实验示意图实验的简单描述A图中T形框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m的小球附近各放置一个质量均为m的大球，用一束光射向平面镜B由于大、小球之间的引力作用，T形框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F，再测出m、m和球心的距离r，即可求出引力常量G.(2)引力常量测定的意义卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实
12、用价值标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代引力常量G的测出也表明：任何规律的发现都是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成【例3】(多选)关于引力常量，下列说法正确的是()A引力常量是两个质量为1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力B牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值C引力常量的测定，证明了万有引力的存在D引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量1引力常量的物理意义引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互引力2引力常量测定的物理意义卡文迪许利用铅球间的万有引力测出了引力常量G的数值，有力地证明了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量的计
13、算；同时，也标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代【解析】引力常量的大小等于两个质量是1 kg的物体相距1 m时的万有引力的数值，而引力常量不能等于物体间的吸引力，故A错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，所以B错误；引力常量的测出，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在【答案】CD总结提能 (1)卡文迪许巧妙地利用扭秤实验测定了引力常量G.(2)引力常量的测定有着非常重要的意义，它不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有真正的实用价
14、值(多选)关于引力常量，下列说法中正确的是(AC)AG值的测出使万有引力定律有了真实的实用价值B引力常量G的大小与两物体质量乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C引力常量G的物理意义：两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力为6.671011ND引力常量G是不变的，其值大小与单位制选择无关解析：利用G值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故A正确引力常量G是一个普遍适用的常量，通常取G6.671011 Nm2/kg2，其物理意义是两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的万有引力为6.671011 N，它的大小与所选的单位有关，故C
15、正确，B、D错误考点四万有引力与重力的关系(1)重力是万有引力的一个分力地面上物体受重力在地球表面上的物体随地球的自转而做圆周运动，物体受到指向圆周圆心(圆心位于地球的自转轴上)的向心力作用，此向心力由地球对物体的万有引力在指向圆心方向的分力提供而万有引力的另一分力，即为物体所受的重力Gmg，如图所示FG，F向mr2，物体位于赤道时，向心力指向地心，三力同向，均指地心，满足FF向G赤，即GmR2mg赤，当物体在地球的南北两极时，向心力F为零，FG极，即Gmg极当物体从赤道向两极移动时，根据F向mR2知，向心力减小，则重力增大，只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力从赤道向两极，重力加速度增大
16、，而重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极，重力的方向才指向地心(2)在不考虑地球自转的情况下，物体在地球表面上所受的万有引力跟重力相同，即在地球表面近似认为：Gmg.(3)重力加速度在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力由mgG可得地球表面的重力加速度g.提示：利用g可确定任一星球表面的重力加速度，但M、R应为相应星球的质量和半径物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mgG，g，其中h为物体到地球表面的距离离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：2.【例4】设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而
17、产生的加速度为g，则g/g0为()A1B1/9C1/4 D1/16利用g可确定任一星球表面的重力加速度，但M、R应为相应星球的质量和半径物体在距地球表面不同高度处所受的重力和重力加速度：mgG，g，其中h为物体到地球表面的距离离地面越高，物体的重力加速度越小，它和高度的关系：()2.【解析】本题考查万有引力定律的简单应用地球表面处的重力加速度和在离地心4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有地面上，Gmg0，离地心4R处，Gmg，由两式得2.【答案】D总结提能 由万有引力定律可知，星球表面物体的重力加速度g，应用该式解题时须注意R的含义如果物体离地高度为h，则RR球h，此时有：g，而
18、M为该星球的质量地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有(A)A物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B赤道处的角速度比南纬30大C地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力解析：由FG可知，物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力在赤道上，向心力最大，重力最小，A对地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错地面上物体随地球自转的向心力是万有引力
19、与地面支持力的合力，D错1引力常量很小，说明了(C)A万有引力很小B万有引力很大C很难观察到日常接触的物体间的万有引力，是因为它们的质量很小D只有当物体的质量大到一定程度时，物体之间才有万有引力解析：由FG可知，选项A，B，D错误，C正确2宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(B)A0B.C. D.解析：对飞船应用牛顿第二定律有Gmgh，则gh，故B正确3如图所示，两个半径分别为r10.40 m，r20.60 m，质量分布均匀的实心球质量分别
20、为m14.0 kg，m21.0 kg，两球间距离为r01.0 m，则两球间相互引力的大小为(A)A6.671011 N B大于6.671011 NC小于6.671011 N D不能确定解析：FG6.671011 N6.671011N.选项A正确4(多选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已知太阳的质量约为月球质量的2.7107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是(AD)A太阳引力远大于月球引力B太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同区域海水的吸引力大小相等D月球对不同区
21、域海水的吸引力大小有差异解析：取质量为m的海水研究，太阳对海水的引力F1G，月球对海水的引力F2G，169.由于地球上不同区域到月球的距离不等，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差异故选项A，D正确5两艘轮船，质量都是1.0107 kg，相距10 km，它们之间的万有引力是多大？请将这个力与轮船所受重力进行比较，看看是重力的多少倍？(g取10 m/s2)解析：由万有引力定律FG可得F6.671011 N6.67105 N万有引力与重力的比值6.671013.答案：6.67105 N6.671013巧用“填补法”求物体间的万有引力方法解读1万有引力定律的内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力
22、的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比其数学表达式为FG.2公式FG的适用条件(1)严格地说，该公式只适用于计算两个质点之间的万有引力大小(2)对于质量分布均匀的两个球体之间的万有引力的大小，也可用该公式来计算，但要注意，此时式中的r是两个球体的球心间的距离(3)对于一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力的大小，也可用该公式来计算，此时式中的r是球体的球心到球外质点之间的距离如果在使用公式FG进行计算时，不注意公式的适用条件而盲目地套用，就有可能出现解题错误【例】如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个与铅球相切的球形空穴，空穴直径为R
23、，并通过铅球的球心在未挖出空穴前铅球质量为M.求挖出空穴后铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力由于题目中没有告诉距离d与球的半径R之间的关系，因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点，故不能直接利用万有引力定律公式来计算引力的大小但是，可以用填补法求解，即先把挖去的部分“补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力定律公式，分别计算出半径为R的球体和补上的球体对小球的万有引力，最后两引力相减即可得到答案解析设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体(质量为，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1F
24、F2.根据万有引力定律可得F1G，F2G故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为FF1F2GG.答案总结提能 处理本题的关键是采用填补法，把挖去的部分补上，然后把多计算的力从总的力中减去对于此类问题，利用万有引力定律直接求解是不对的，当质点与质量分布均匀的球体间距离较小时，球体虽然不能被看做质点但仍可用F计算求解，此时的r应等于质点与球心间的距离此题目中球体被挖，质量分布不均匀，不符合此种情况求解，因此要先“填补”变为质量分布均匀的球体再求解变式训练如图甲所示，两个半径均为R，质量均为M的均匀球体靠在一起，与两球心相距均为2R的质点m受到两球对它的万有引力的合力F1.现紧贴球的边缘各挖去一个半径为的球形空穴，如图乙所示，挖去后，质点m受到的合引力为F2，则(D)AF2F1BF2F1CF2F1 DF2F1解析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和其中完整的均匀球体对球外质点m的引力为F12cos302cos30，此力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F2与半径为的小球对m质点的引力F之和，即：F1F2F .因半径为的小球质量M为M33.则有：FG2cos302cos30.所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力为F2F1F2cos302cos30，所以有，故D正确，A、B、C错误故选D.
