1、第七节对数与对数函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaNloga10，logaa1，alogaNN运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质函数ylogax(a0，且a1)图象a10a1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的
2、性质定义域(0，)值域R单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值变化规律当x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x01判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)当x1时，logax0.()(4)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()答案：(1)(2)(3)(4)2已知a0，a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是()解析：选B函数yloga(x)的图象与ylogax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.3函数ylg|x|()A是偶函数，在区间(，0)上单
3、调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选Bylg|x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增4设alog2，blog，c2，则a，b，c的大小关系是()AabcBbacCacbDcba解析：选C因为alog21，blog0，c20，但c1，所以bca.5函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，须满足解得0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x1时，f(x)ln(x1)，又f(x)的图象关于x1对称，故选B.2.已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，且a1)的图象如
4、图所示，则a，b满足的关系是()A0a1b1B0ba11C0b1a1 D0a1b11解析：选A令g(x)2xb1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)loga(g(x)是单调递增的，所以必有a1.又由函数图象与y轴交点的纵坐标介于1和0之间，即1f(0)0，所以1logab0，故a1b1，因此0a1b1.高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.,常见的命题角度有：(1)比较对数值的大小；(2)简单对数不等式的解法；(3)对数函数的综合问题.题点全练角度(一)比较对数值的大小1已知alog29log2，b1log2，clog2，则a，b，c的大
5、小关系为()AabcBbacCcab Dcba解析：选Balog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因为函数ylog2x在(0，)上是增函数，且23，所以bac.题型技法比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较角度(二)简单对数不等式的解法2已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是_解析：原不等式或，解不等式组得xbc BbacCcab Dbca解析：选A由
6、对数函数的性质可得alog0.30.2log0.30.31，blog3(0,1)，clog0.3ebc.2设函数f(x)则满足不等式f(x)2的实数x的取值集合为_解析：原不等式等价于或解得x1或1x4，即实数x的取值集合为.答案：3已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1在1,2上恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解得1a，当0a1时，f(x)在1,2上是增函数，由f(x)1在1,2上恒成立，则f(x)minloga(8a)1，且82a0，
7、故不存在实数a满足题意综上可知，实数a的取值范围是.答案：(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1函数y的定义域是()A1,2B1,2)C. D.解析：选C由即解得x.2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B.Clogx D2x2解析：选A由题意知f(x)logax(a0，且a1)，f(2)1，loga21，a2.f(x)log2x.3如果logxlogy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析：选Dlogxlogyy1.4若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|0y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析：
8、选A由函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|0y1，知0a1，由此可知yloga|x|的图象大致是A.5设函数f(x)loga|x|(a0，且a1)在(，0)上单调递增，则f(a1)与f(2)的大小关系是()Af(a1)f(2) Bf(a1)f(2)Cf(a1)f(2) D不能确定解析：选A由已知得0a1，所以1a1f(2)6(2018郑州模拟)已知函数f(x)lg，若f(a)，则f(a)()A2 B2C. D解析：选Df(x)lg的定义域为1xc.2.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1C0a1 D0a1
9、,0c0，所以x0或x.当x时，M(1，)，f(x)0，所以a1，又Mx2x图象的对称轴为x，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，)4设2a5bm，且2，则m_.解析：因为2a5bm，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102，所以m210，m.答案：5设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析：由f(a)f(a)得或即或解得a1或1a0.答案：(1,0)(1，)6设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，且a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)f
10、(1)2，loga42(a0，且a1)，a2.由得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x(1,1时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.7已知函数f(x)loga(a2xt)，其中a0且a1.(1)当a2时，若f(x)x无解，求t的取值范围；(2)若存在实数m，n(mn)，使得xm，n时，函数f(x)的值域也为m，n，求t的取值范围解：(1)log2(22xt)xlog22x，22xt2x无解，等价于22xt2x恒成立，即t22x
11、2xg(x)恒成立，即tg(x)max，g(x)22x2x2，当2x，即x1时，g(x)取得最大值，t，故t的取值范围为.(2)由题意知f(x)loga(a2xt)在m，n上是单调增函数，即问题等价于关于k的方程a2kakt0有两个不相等的实根，令aku0，则问题等价于关于u的二次方程u2ut0在u(0，)上有两个不相等的实根，即即得0t.t的取值范围为.C级重难题目自主选做1(2018广东省级名校模拟)已知函数f(x)(exex)x，f(log5x)f(logx)2f(1)，则x的取值范围是()A. B1,5C. D.5，)解析：选Cf(x)(exex)x，f(x)x(exex)(exex)
12、xf(x)，函数f(x)是偶函数f(x)(exex)x(exex)0在(0，)上恒成立函数f(x)在(0，)上单调递增f(log5x)f(logx)2f(1)，2f(log5x)2f(1)，即f(log5x)f(1)，|log5x|1，x5.故选C.2(2018沈阳质检)已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.解析：f(x)|log3x|所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f(m)f(n)，可得则所以0m2m1，则f(x)在m2,1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m
13、)f(n)，则f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)log3m22，解得m，则n3，所以9.答案：9(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2xB.Clogx D2x2解析：选A由题意知f(x)logax(a0，且a1)，f(2)1，loga21，a2.f(x)log2x.2.若函数f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为()A1,2) B1,2C1，) D2，)解析：选A令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2
14、，即a1,2)3.(2018广东韶关南雄模拟)函数f(x)xa满足f(2)4，那么函数g(x)|loga(x1)|的图象大致为()解析：选Cf(2)4，2a4，解得a2，g(x)|log2(x1)|当x0时，函数g(x)单调递增，且g(0)0；当1xc.5.已知函数f(x)loga(2xa)在区间上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得am恒成立，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)log2是奇函数，f(x)f(x)，log2log2，即log2log2
15、，a1，f(x)log2.令0，得或解得x1.函数f(x)的定义域为x|x1(2)f(x)log2(x1)log2(1x)，当x1时，x12，log2(1x)log221.当x(1，)时，f(x)log2(x1)m恒成立，m1.m的取值范围是(，110.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2可化为f(|x2
16、1|)f(4)又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x，即不等式的解集为x|x0，所以x0或x.当x时，M(1，)，f(x)0，所以a1，又Mx2x图象的对称轴为x，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，)2.设方程10x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，则()Ax1x20 Bx1x20Cx1x21 D0x1x21解析：选D作出y10x与y|lg(x)|的大致图象如图所示显然x10，x20.不妨设x1x2，则x11，1x20，所以10x1lg(x1)，10x2lg(x2)，此时10x110x2，即lg(x1)lg(x2)，由此得lg
17、(x1x2)0，所以0x1x21.3设2a5bm，且2，则m_.解析：因为2a5bm，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102，所以m210，m.答案：4(2018沈阳质检)已知函数f(x)|log 3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.解析：f(x)|log3x|所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，由0mn且f(m)f(n)，可得则所以0m2m1，则f(x)在m2,1)上单调递减，在(1，n上单调递增，所以f(m2)f(m)f(n)，则f(x)在m2，n上的最大值为f(m2)log3m2
18、2，解得m，则n3，所以9.答案：95已知函数f(x)loga(a2xt)，其中a0且a1.(1)当a2时，若f(x)x无解，求t的取值范围；(2)若存在实数m，n(mn)，使得xm，n时，函数f(x)的值域也为m，n，求t的取值范围解：(1)log2(22xt)xlog22x，22xt2x无解，等价于22xt2x恒成立，即t22x2xg(x)恒成立，即tg(x)max，g(x)22x2x2，当2x，即x1时，g(x)取得最大值，t，故t的取值范围是.(2)由题意知f(x)loga(a2xt)在m，n上是单调增函数，即问题等价于关于k的方程a2kakt0有两个不相等的实根，令aku0，则问题等
19、价于关于u的二次方程u2ut0在u(0，)上有两个不相等的实根，即即得0t.t的取值范围为.6.已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)当x1,4时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2)如果对任意的x1,4，不等式f(x2)f()kg(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，因为x1,4，所以log2x0,2，故函数h(x)的值域为0,2(2)由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1,4，所以tlog2x0,2，所以(34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，当t0时，kR；当t(0,2时，k恒成立，即k4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3.所以k3.综上，实数k的取值范围为(，3)
