1、-1-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义-2-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 首页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.分清平均速度与瞬时速度的概念.2.了解函数的平均变化率与导数的关系.3.会求物体运动过程中某时刻 t0 的瞬时速度和函数的瞬时变化率.4.掌握导数的几何意义,会求函数在点(x0,y0)处的切线斜率及切线方程.-3-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIA
2、N重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 1.瞬时变化率-4-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 思考 1 平均变化率与瞬时变化率相同吗?提示:不相同.平均变化率是描述函数值在区间x1,x2上变化的快慢,瞬时变化率是描述函数值在 x0 点处变化的快慢.思考 2 瞬时变化率定义中 x0 的含义是什么?提示:x 趋近于 0 的距离要多近就有多近,即|x-0|可以小于给定的任意小的正数,且始终 x0.-5-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3
3、导数的几何意义 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 2.导数与导函数-6-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 思考 3 函数在某点处的导数与函数在该点的瞬时变化率相同吗?提示:相同.思考 4 函数 f(x)在定义域内的任一点都存在导数吗?提示:不一定.存在导数的点 x0 首先在区间内部,不能是区间的端点,其次是当 x0 时,(0+)-(0)趋近于一个常数,否则就不存在导
4、数.-7-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 特别提醒(1)函数在一点处的导数 f(x0)是一个常数,不是变量.(2)函数的导数是针对某一区间内任意点 x 而言的.函数 f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f(x0).根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数 f(x)的导函数 f(x).(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)就是导函数 f
5、(x)在点 x=x0 处的函数值,即 f(x0)=f(x)|=0.-8-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 3.导数的几何意义思考 5 曲线的切线与曲线只有一个公共点吗?提示:不一定.切线只是一个局部概念,是该点处的割线的极限情况,在其他位置可能还有一个或多个公共点.-9-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一
6、 探究二 探究三 探究四 求导数求函数在点 x0 处的导数就是求该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限,求解过程中要注意对式子的变形和约分,变形不彻底可能会导致 lim0不存在,得出错误结论.【典型例题 1】已知函数 y=,求 y,y|x=1.思路分析:按求导数的步骤求解即可,但要注意变形的技巧.-10-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 解:因为 y=+,所以=+-=(+)=1+.所以 y=lim0=lim01+
7、=12 .所以 y|x=1=12.点评函数的导数与在点 x0处的导数不是同一概念,在点 x0处的导数是函数的导数在 x=x0 处的函数值.分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧,要认真体会.-11-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 利用导数求曲线的切线方程求曲线上某点(x0,y0)处的切线方程,需要先求出 f(x0),即切线的斜率,再用点斜式写出切线方程后化简,但要注意分清“求曲线 y=f(x)上过点 M 的切线”与“
8、求曲线 y=f(x)上在点 M 处的切线”两者的不同.【典型例题 2】如图,已知曲线 y=13x3上一点 P 2,83,求:(1)点 P 处的切线方程.(2)满足斜率为 1 的曲线的切线方程.-12-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 思路分析:(1)先利用导数的几何意义求斜率,然后写出切线方程.(2)设出切点坐标,利用斜率求出切点坐标,从而得切线方程.解:因为 y=f(x)=13x3,所以 y=lim0=lim013(x
9、+)3-133=lim02+()2+13()3=lim0 2+x+13()2=x2.-13-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四(1)因为 y|x=2=4,所以在点 P 处的切线方程为 y-83=4(x-2),即 12x-3y-16=0.(2)设切点坐标为 M 0,13 03,由于切线斜率 k=02,则02=1,x0=1,那么切点坐标 M-1,-13 或 M 1,13,所以所求切线方程为 y+13=x+1 或 y-13=x-
10、1,即 x-y+23=0 或 x-y-23=0.-14-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 导数几何意义的应用(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识,如直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点的坐标是常设的未知量.【典型例题 3】已知点 M(0,-1),F(0,1),过点 M 的直线
11、 l 与曲线y=13x3-4x+4 在 x=-2 处的切线平行.(1)求直线 l 的方程;(2)求以点 F 为焦点,l 为准线的抛物线 C 的方程.思路分析:要求直线 l 的方程,只需求 y|x=-2,要求抛物线 C 的方程,可以利用抛物线的定义求解.-15-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 解:(1)设曲线 y=f(x),因为 y|x=-2=lim0(-2+)-(-2)=0,所以直线 l 的斜率为 0,其方程为 y=-
12、1.(2)因为抛物线以点 F(0,1)为焦点,y=-1 为准线,所以可设抛物线方程为 x2=2py,则有2=1,p=2.故抛物线 C 的方程为 x2=4y.-16-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析易错点 混淆切点与切线经过的点【典型例题 4】试求过点 P(3,5)且与曲线 y=x2 相切的直线的方程.错解:因为函数 y=x2 的导数为 y=2x,所以 y|x=3=23=6.所以切线方程为 y-5=6(x-3),
13、即 y=6x-13.错因分析:没有注意到点 P 不在曲线上,点 P 不是切点,错解中把点 P 当成了切点,从而导致错误.-17-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 正解:直线的斜率不存在时显然不成立.函数 y=x2 的导数为 y=2x.设所求切线的切点为 A(x0,y0),则 y0=02,切线斜率为 y|=0=2x0.因为切线过 P(3,5)和 A(x0,y0)两点,所以其斜率为0-50-3=02-50-3,所以 2x0=
14、02-50-3,解得 x0=1 或 x0=5,从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为 2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为 2x0=10.所以所求切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)或 y-5=10(x-3),即 y=2x-1 或 y=10 x-25.-18-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 首页 探究一 探究二 探究三 探究四 点评求曲线上在点 P 处的切线与过点 P 的切线有区别,在点 P 处
15、的切线,点 P 必为切点;求过点 P 的切线,点 P 未必是切点,点 P 也不一定在已知曲线上.应注意概念区别,其求解方法上也有所不同,要认真体会.若点 P在曲线上,要分点 P 是切点和不是切点两种情况解决.-19-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 SUITANG LIANXI随堂练习 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首页 1 2 3 41.曲线 y=-2x2+1 在点(0,1)处的切线的斜率是()A.-4B.0C.4D.不存在解析:y=-2(x)2,=-2x,lim0=lim0(-2x)=0,由导数的几何意义可知,函数 y=
16、-2x2+1 在点(0,1)处的切线斜率为 0.答案:B-20-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 SUITANG LIANXI随堂练习 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首页 1 2 3 42.已知函数 f(x)=ax+4,若 f(1)=2,则 a=.解析:y=f(1+x)-f(1)=a(1+x)+4-a-4=ax,=a,所以 lim0=a,所以 f(1)=a=2.答案:2-21-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 SUITANG LIANXI随堂练习 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN N
17、ANDIAN重点难点 首页 1 2 3 43.曲线 y=2x2+1 在点 P(-1,3)处的切线方程为 .解析:y=2(x-1)2+1-2(-1)2-1=2(x)2-4x,=2x-4,lim0=lim0(2x-4)=-4,由导数的几何意义知,曲线 y=2x2+1 在点(-1,3)处的切线的斜率为-4,切线方程为 y=-4x-1.答案:y=-4x-1-22-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 SUITANG LIANXI随堂练习 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首页 1 2 3 44.试求过点 P(0,-1)且与曲线 y=f(x)
18、=x2+3 相切的直线方程.分析:点 P 不在曲线上,可设切点为 A(x0,y0).切线的斜率 k=f(x0),又k=0-(-1)0-0=0+10,利用二者相等列出方程即可解决.解:函数 y=f(x)=x2+3 的导数为 y=2x.设切点为 A(x0,y0),则 y0=02+3,切线斜率为 y|=0=2x0.因为切线过 P(0,-1)和 A(x0,y0)两点,所以其斜率为0+10=02+40.所以 2x0=02+40,-23-3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义 SUITANG LIANXI随堂练习 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首页 1 2 3 4解得 x0=2 或 x0=-2.从而切点 A 的坐标为(2,7)或(-2,7).当切点为(2,7)时,切线的斜率为 2x0=4;当切点为(-2,7)时,切线的斜率为 2x0=-4.所以所求切线方程为 y-7=4(x-2)或 y-7=-4(x+2),即 y=4x-1 或 y=-4x-1.
