1、导数及其应用1已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）Ae Be C1e D1e【答案】C【解答】解：设切点坐标为（a，lna），y=lnx，y=1x，切线的斜率是1a，切线的方程为ylna=1a（xa），将（0，0）代入可得lna=1，a=e，切线的斜率是1a=1e；故选：C求曲线yf(x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0, y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程kf (x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求
2、yf(x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由kf (x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程（5）在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上2y=12x2lnx的单调递减区间为（）A1，1B（0，1）C1，+）D（0，+）【答案】B【解答】解：函数的定义域为x0,y=
3、x1x，令x1x0，由于x0，从而得0x1，函数y=12x2x的单调递减区间是（0，1）故选：B函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a,b)内：如果，函数f(x)在这个区间内单调递增;如果，函数f(x)在这个区间内单调递减;如果，函数f(x)在这个区间内是常数函数3函数在，上单调递增，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解答】解：对求导：；函数在，上单调递增，即导函数在，上恒有；为一元二次函数，其对称轴为：，由选项可知，开口朝上，故在，上为单调递增函数；故只需满足：，解得：；或无解，故选：由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上
4、f (x)0(或f (x)0)(f (x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f (x)0(或f (x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4设函数，.（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）若在上为单调增函数，求的取值范围.【解析】（1）当时，则（），当，在上单调递减；当，在上单调递增，故当时，取
5、得极小值，为，的极小值为2.（2）因为在上为单调增函数，所以在上恒成立，即对于恒成立，则，故的取值范围是.函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号（2）求函数f(x)极值的方法确定函数f(x)的定义域求导函数f (x)求方程f (x)0的根检查f (x)在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果f(x)在这个根的左右两侧符号不变，则f(x)在这个根处没有极值（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数f (x)，求
6、方程f (x)0的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的值或取值范围.5函数对于x1，1总有f（x）0成立，则a 的取值范围为（）A2，+）B4，+）C4D2，4【答案】C【解答】解：当x=0时，f（x）=10，对于aR皆成立当0x1时，若总有f（x）0，则0，a3x2-1x3，令g（x）=3x2-1x3，g（x）=-6x3+3x4=-6(x-12)x4，令g（x）=0，解得x=12当0x12时，g（x）0；当12x1时，g（x）0g（x）在x=12时取得最大值，g（12）=4，a4当1x0时，若总有f（x）=0，则0，a3x2-1x3令h（x）=3x2-1x3，则h（x）=-
7、6(x-12)x40，h（x）在1，0）上单调递增，当x=1时，h（x）取得最小值，h（1）=4，a4由可知：若函数f（x）=对于x1，1总有f（x）0成立，则a必须满足&aR&a4&a4，解得a=4a 的取值范围为4故选：C利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.6曲线与直线围成的平面图形的面积为ABCD6.【答案】D
8、【解答】解：如图：联立，解得，两曲线的交点坐标为，所以两曲线围成的图形的面积为故选：7.由曲线和直线，所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为ABCD7.【答案】A【解答】解：根据题意，可得记，可得当时，当，时，在上为减函数；在，上为增函数因此，的最小值为，即围成的图形面积的最小值为故选：A利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略（1）利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案（2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上
9、、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.1设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则A（4）（3）B（4）（3） C（3）（4）D（3）（4）【答案】A【解答】解：，即设，则，当时，恒成立，即在上单调递增，（4）（3）（4）（3），故选：A利用导数研究函数综合问题的一般步骤（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点（2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论（4）利
10、用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论（5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性2函数在，上的最小值为AB0CD【解答】解：函数在，上所以，所以时，（舍去），或，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，所以函数的极小值为：（2）；（1），（3），所以：函数在，上的最小值为（2）；故选：.求函数f(x)在a,b上最值的方法（1）若函数f(x)在a,b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f(x)在a,b内有极值，先求出函数f(x)在a,b上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f(x)在(a
11、,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.3定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且2f(x)1,当x0,2时,不等式f(2cosx)2cos2x2-12的解集为A(-6,6)B(-3,3)C0,6)(56,2D0,3)(53,2【答案】D【解析】由题意得f(2cosx)2cos2x2-12=cosx+12,令t=2cosx,则ftt2+12，构造函数gt=ft-
12、t2-12,则g1=f1-12-12=0,gt=ft-12，因为2f(x)1,所以gt=ft-120,即函数gt单减，不等式转化为gt=ft-t2-121,得cosx12,而x0,2,求得x0,3)(53,2.即不等式f(2cosx)2cos2x2-12的解集为0,3)(53,2.选D4已知函数 f（x）=2xalnx（aR），g（x）=exx（I）讨论函数f（x）的单调性；（）当a=2时，证明：g（x）f（x）【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=2ax=2x-ax，当a0时，f（x）0恒成立，即f（x）在（0，+）上是增函数，当a0，则当0xa2时，f（x）0，当xa2时
13、，f（x）0，f（x）在（0，a2）上为减函数，在（a2，+）上为增函数，综上可得，当a0时，f（x）在（0，+）上是增函数，当a0时，f（x）在（0，a2）上为减函数，在（a2，+）上为增函数，证明（）a=2时，令h（x）=g（x）f（x）=exx2x+2lnx，x0，h（x）=xex-exx22+2x=ex(x-1)-2x(x-1)x2=(ex-2x)(x-1)x2，令m（x）=ex2x，（x0），得m（x）=ex2，当0xln2时，m（x）0，m（x）单调递减，当xln2时，m（x）0，m（x）单调递增，m（x）m（ln2）=22ln20，x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，x
14、（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增，当x=1时，h（x）的取最小值h（1）=e20，当a=2时，g（x）f（x）5已知函数f(x)=ax-bex，且函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线斜率为a-1.(1)求b的值，并求函数f(x)的最值；(2)当a1,1+e时，求证：f(x)x.【解析】(1)由题得，f(x)=a-bex，根据题意，得f(0)=a-b=a-1，b=1，f(x)=a-ex.当a0时，f(x)0时，令f(x)lna，令f(x)0，得x0时，f(x)的最大值为alna-a，无最小值.(2)要证f(x)x，即证(a-1)xex，令F(x)=ex-(a-1)x，当a=1时
15、，F(x)=ex0，(a-1)xex成立；当1a1+e时，F(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a-1)，当xln(a-1)时，F(x)ln(a-1)时，F(x)0，F(x)在(-,ln(a-1)上单调递减，在(ln(a-1),+)上单调递增，F(x)F(ln(a-1)=eln(a-1)-(a-1)ln(a-1)=(a-1)1-ln(a-1).10，1-ln(a-1)1-ln(1+e)-1=0，F(x)0，即成立，故原不等式成立.用导数证明不等式的方法（1）利用单调性：若f(x)在a,b上是增函数，则xa,b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a,b，且x1x2,则f(x1)f(x2
16、).对于减函数有类似结论.（2）利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m).（3）证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)=f(x)g(x)，证明F(x)0.6已知函数和的定义域都是，则它们的图象围成的区域面积是ABCD【答案】C【解答】解：的图象为圆心为半径为的圆的上半部分，是奇函数，在，上与轴围成的面积与在，上与轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积，故选：作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键1已知函数，则的值为AB1CD02函数的单调递减区间为ABCD3若函数存在单调递增区间
17、，则实数的值可以为ABCD4已知函数与其导函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间为A和BC和D5已知函数的导函数为，满足，且（1），则不等式的解集为ABCD6设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是A的极大值为，极小值为B的极大值为，极小值为C的极大值为，极小值为（3）D的极大值为（3），极小值为7设，若函数在区间，有极值点，则取值范围为A，BC，D，8函数f（x）=x3ax2bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A（3，3）B（4，11）C（3，3）或（4，11）D不存在9设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f（x）的图象可能是（）ABCD1
18、0已知实数a，b满足0a1，0b1，则函数f（x）=x3ax2+bx+1存在极值的概率为（）A19B13C25D8911已知三次函数的图象如图所示，则AB2CD12已知函数，且对于任意，总有函数的图象在函数图象的上方，则当时，的最大值为A3B4C2D513设为定义在上的函数的导函数，且恒成立，则A（4）（3）B（4）（3） C（3）（4）D（3）（4）14若满足（1），则AB4CD215若函数，则（2）=16 已知函数，的导函数为，的解集为，若的极小值等于，则的值是_17若函数f(x)=lnex+1+ax为偶函数，则_18函数的最小值为_.19若函数在区间，上是单调函数，则的取值范围是_.20
19、 若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为21已知函数的图象与直线有三个不同的交点,则a的取值范围是_.22若函数，的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为23已知定义在上的函数满足，为函数的导函数，且无零点，则_.24已知函数f（x）=2x33（m+1）x2+6mx，mR（）若m=2，写出函数f（x）的单调递增区间；（）若对于任意的x1，1，都有f（x）4，求m的取值范围25已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.26已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间，的最小值为，求27已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)
20、若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值28已知函数f(x)aln xbx2.(1)当a2，b时，求函数f(x)在上的最大值；(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的，x都成立，求实数m的取值范围1.【答案】D【解答】解：，故选：D2.【答案】D【解答】解：函数；令，得：当时，若，则，所以有若，则，所以有综上可知，函数的单调递减区间为，故选：D3.【答案】D【解答】解：函数，所以，当时导函数是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，只需，解得，当时，导函数存在满足的
21、的区间，所以的取值范围是，因为，所以正确；故选：D4.【答案】A【解答】解：结合图象：和时，而，故在，递减，故选：A5.【答案】A【解答】解：令，则，令，则，因为：满足，,在上单调递增，（1），故选：A6.【答案】D【解答】解：观察图象知，时，时，由此知极小值为时，时，由此知极大值为（3）故选：D7.【答案】B【解答】解：函数在区间，有极值点在区间，有零点，解得取值范围为故选：B8.【答案】B【解答】解：对函数f（x）求导得 f（x）=3x22axb，又在x=1时f（x）有极值10，&f(1)=3-2a-b=0&f(1)=1-a-b+a2=10，解得&a=-4&b=11或&a=3&b=-3，验
22、证知，当a=3，b=3时，在x=1无极值，故选：B9.【答案】B【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确故选：B10.【答案】A【解答】解：对f（x）=x3ax2+bx+1求导数可得f（x）=3x22ax+b，由函数有极值可得=4a212b0，即b13a2，满足0a1，0b1的点（a，b）的区域为边长为1正方形，满足0a1，0b1且b13a2的点（a，b）的区域为正方形内曲线b=a2下方的部分，由定
23、积分可得S=0113a2da=19a3|01=19，而正方形的面积为1，所求概率为P=19，故选：A11.【答案】C【解答】解：由三次函数的图象可知，函数的极大值，是极小值，即2，是的两个根，由，得，即，即，则，故选：C12.【答案】B【解答】解：函数，且对于任意，总有函数的图象在函数图象的上方，所以对任意恒成立，即对任意恒成立令，令，则，所以函数在上单调递增因为（8），（9），所以方程在上存在唯一实根，且满足当时，即，当时，即，所以函数在上单调递减，在，上单调递增所以，所以故整数的最大值是4故选：B13.【答案】A【解答】解：，即设，则，当时，恒成立，即在上单调递增，（4）（3），（4）（3
24、），故选：A14.【答案】C【解答】解：，此函数是一个奇函数，又（1），故故选：C15.【答案】2【解答】解：由，得（1）取得：（1）（1），所以（1）则，所以（2）16.【答案】2【解答】解：依题意得的解集是，于是有，解得，函数在处取得极小值，有（3），17【答案】e2【解析】fx=lnex+1+ax为偶函数，f1=f-1，lne+1+a=ln1e+1-a，解得a=-12，则1e1x-xadx=1e1x+2xdx=lnx+x2|1e=e2.18【答案】【解析】函数的定义域为，令，解得或（舍去），当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的最小值为19.【答案】，【解答】解：由，得，由函
25、数在区间，上是单调函数，得在，上恒大于等于0或恒小于等于0则，或，解得；解得综上，的取值范围是，20.【答案】-3【解答】解：函数在内有且只有一个零点，当时，函数在上单调递增，在上没有零点，舍去；当时，的解为，在上递减，在，递增，又只有一个零点，解得，的解集为，在上递增，在上递减，（1），在，上的最大值与最小值的和为：21【答案】【解析】令，得，可得极大值为，极小值为.的大致图象如图所示，观察图象，得当时恰有三个不同的交点.22.【答案】【解答】解：依题意，故当时，阴影面积为23【答案】2【解析】由无零点，知函数为单调函数，由知为常数，设，则可得且，故，则.24.【解答】解：（）若m=2，则f
26、（x）=2x39x2+12x，f（x）=6x218x+12=6（x23x+2）=6（x1）（x2），令f（x）0，则x1或x2，故函数f（x）的递增区间是（，1），（2，+）；（）f（x）=2x33（m+1）x2+6mx，f（x）=6（x1）（xm），当m1时，f（x）在（1，1）递增，f（x）max=f（1）=3m14，故m53，1m53；当1m1时，f（x）在（1，m）递增，在（m，1）递减，f（x）max=f（m）=m3+3m24，即m33m2+40，（m+1）（m2）20恒成立，1m1；当m1时，f（x）在（1，1）递减，f（x）max=f（1）=9m54，综上，m的范围是1m5325
27、【解析】（1）函数的定义域为，令，当时，则在上单调递增；当时，时，则在上单调递增；时，则在上单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，又，不可能满足题意，舍去. 当时，在上单调递增，在上单调递减，若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上，实数的取值范围是.26.【解答】解：（1）当时，则，令，则，当时，；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），令，则，当时，在，上单调递增，不符合条件；当时，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，符合条件；当时，则当时，在上单调递减，不符合条件在区间，的最小值为，的值为27.解析：
28、(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，xln a.x(，ln a)，f(x)0；x(ln a，)，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值(3)当a1时，f(x)x1.令g(x)
29、f(x)(kx1)(1k)x，则直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于方程g(x)0在R上没有实数解假设k1，此时g(0)10，g10.又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在性定理，可知g(x)0在R上至少有一解，与“方程g(x)0在R上没有实数解”矛盾，故k1.又k1时，g(x)0，知方程g(x)0在R上没有实数解所以k的最大值为1.28. 解析：(1)由题知，f(x)2ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0得x；令f(x)0，得xe，f(x)在上单调递增，在(，e上单调递减，f(x)maxf()ln 21.(2)当b0时，f(x)alnx，若不等式f(x)mx对所有的a，x(1，e2都成立，则alnxmx对所有的a，x(1，e2都成立，即malnxx，对所有的a，x(1，e2都成立，令h(a)alnxx，则h(a)为一次函数，mh(a)min.x(1，e2，ln x0，h(a)在上单调递增，h(a)minh(0)x，mx对所有的x(1，e2都成立1xe2，e2x1，m(x)mine2.即m的取值范围为me2.
