1、专题 4.2 数列的通项与求和 一、单选题 1、(2020浙江镇海中学高三 3 月模拟)已知公差不为零的等差数列 na满足2314aa a，nS 为数列 na的前n 项和，则31SS 的值为()A 94 B94 C 32 D32【答案】A【解析】设公差为 d，由2314aa a得到111232ada ad，整理得到2140a dd，因0d，故14ad，31339Sadd，所以319944SdSd，故选 A.2、已知等差数列 na的前m 项之和为30，前 m2项和为100，则它的前 m3项的和为()A.130B.170C.210D.260【答案】C【解析】由于等差数列 na中232,mmmmmS
2、SSSS也成等差数列，即330,70,100mS成等差数列，所以33100110,210mmSS，故选 C.3、设等差数列 na的前 n 项和为nS，若112,0,3mmmSSS，则m ()A3B4C5D6【答案】C【解析】na是等差数列102msmm aaS112mmmaaSS 又113mmmaSS，公差11mmdaa，11325maammm ，故选 C4、(2020 届山东省潍坊市高三上学期统考)已知数列 na中，12a，111nnaa (2n)，则2018a等于()A 12 B12 C 1 D2【答案】A【解析】12a，111nnaa (2n)，211122a，31 21a ，41(1)
3、2a ，511122a ，数列 na是以 3 为周期的周期数列，20183 6722，2018212aa，故选：A.5(2020浙江镇海中学高三 3 月模拟)已知数列 na满足112(,2)nnnaaannN，则()A52143aaa B2736aaaa C76633()aaaa D2367aaaa【答案】C【解析】由题得11nnnnaaaa，则有213243546576aaaaaaaaaaaa，76435465633()()()()aaaaaaaaaa，故选 C 6、(2020浙江高三)等差数列an的公差为 d，a10，Sn 为数列an的前 n 项和，则“d0”是“2nnSSZ”的()A充分
4、不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等差数列an的公差为 d，a10，Sn 为数列an的前 n 项和，若 d0，则an为常数列，故 an=1a，即2112,nnSna Sna“2nnSSZ”，当2nnSSZ 时，d 不一定为 0，例如，数列 1，3，5，7，9，11 中，631 3579 111 35SS 4，d2，故 d0 是2nnSSZ 的充分不必要条件 故选：A 7、(2020 届山东省德州市高三上期末)对于数列 na，规定na为数列 na的一阶差分数列，其中*1nnnaaanN，对自然数 2k k，规定kna为数列 na的k 阶差分数列
5、，其中111kkknnnaaa.若11a ，且2*12nnnnaaan N，则数列 na的通项公式为()A212nnan B12nnan C212nnan D1212nnan【答案】B【解析】根据题中定义可得2*1112nnnnnnnnaaaaaana N，即1122nnnnnnnnaaaaaaa ，即122nnnaa，等式两边同时除以12n，得111222nnnnaa，111222nnnnaa且1122a，所以，数列 2nna是以 12为首项，以 12为公差的等差数列，1112222nnann，因此，12nnan.故选：B.8、(2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟)已知数列 na，满足
6、1aa且*1*121,N222,Nnnnankkaank k，设nS是数列 na的前n 项和，若20201S，则a 的值为()A13030 B12020 C11515 D1【答案】C【解析】由1aa且*1*121,N222,Nnnnankkaank k，得212aa，3aa，412aa 所以，,21,1,2,2na nkkNaa nk kN，202011010101015152Saaa，又20201S，所以15151a，解得11515a，故选：C.9、在数列 na中，已知2nann，nN，则“12aa”是“na是单调递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也
7、不必要条件【答案】C【解析】若在数列 na中，已知2nann，nN，12aa，则142，解得3 若数列 na是单调递增数列，则对任意的nN 都满足：22111210nnaannnnn ，1 2n ，即max1 23n .因此，“12aa”是“na是单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.二、多选题 10、已知nS 是等差数列*()nanN的前 n 项和，且897SSS，有下列四个命题，其中是真命题的是()A公差0d B在所有0nS 中，17S 最大C89aaD满足0nS 的 n 的个数有 15 个【答案】ABC 【解析】89SS，且989SSa，889SSa，即90a，又87SS，878SSa
8、，787SaS，即80a，980daa，故选项 A，C 为真命题；97SS，9789SSaa，7897SaaS，即890aa，又11582aaa，11515815()1502aaSa，又11689aaaa，116168916()8()02aaSaa，又11792aaa，11717917()1702aaSa，故选项 B 为真命题，选项 D 为假命题；故选：ABC 11、(2019 秋济宁期末)若 Sn 为数列an的前 n 项和，且 Sn2an+1，(nN*)，则下列说法正确的是()Aa516BS563C数列an是等比数列D数列Sn+1是等比数列【答案】AC【解析】：Sn2an+1，(nN*)，当
9、 n1 时，a1S12a1+1，a11，当 n2 时，anSnSn12an+12an11，2an1an，1=2，数列an是首项为1，公比为 2 的等比数列，故选项 C 正确，=21，=(12)12=1 25=24=16，5=(125)12=31，故选项 A 正确，选项 B 错误，又+1=2 2，数列Sn+1不是等比数列，故选项 D 错误，故选：AC12、(2019 秋宁阳县校级月考)设nS 是数列na的前 n 项和，且11a ，11nnnaS S，则()A112nna B1,1,111nnann C数列1nS为等差数列D121001115050SSS【答案】BCD【解析】：nS 是数列na的前
10、 n 项和，且11a ，11nnnaS S，则11nnnnSSS S，整理得1111nnSS (常数)，所以数列1nS是以111S 为首项，1 为公差的等差数列故C 正确所以 11(1)nnnS ，故：1nSn 所以当2n 时，1111nnnaSSnn(首项不符合通项)，故1,1,111nnann 故 B 正确所以12100111(123100)5050SSS ，故 D 正确故选：BCD 三、填空题 13、(2020 届江苏省南通市如皋中学高三下学期 3 月线上模拟)已知数列*()nanN是等差数列，nS 是其前 n 项和.若156913,18a aaS，则na的通项公式=na_【答案】7n【
11、解析】设数列na公差为 d，由已知得1111(4)51393618a adadad，解得161ad 6(1)7nann故答案为：7n 14、(2020 届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三 12 月联考)设nS 为数列 na的前 n 项和，若31nnSnan n(nN)，且211a，则20S的值为_.【答案】1240【解析】当2n 时，212223 2 2 1Saaa，211a，可得15a，当2n 时，由1nnnaSS，得1311312nnnanan nnann，11161nnnanan，即*162,nnaannN，数列 na是首项15a，公差为 6 的等差数列，2020 1920 5
12、612402S，故答案为：1240.15、(江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三 9 月月考)设等比数列 na的公比为 1q q，前n 项和为nS.若存在mN，使得2152mmmaaa，且29mmSS，则正整数m 的值为_.【答案】3【解析】2152mmmaaaQ，252mmmaa qa q，得25102qq，1q Q，解得2q=.由29mmSS，可得2111 21 291 21 2mmaa，所以，21 29 1 2mm，即1 21 29 1 2mmm，mN Q，1 20m，1 29m，解得3m，故答案为3.16、(2020 届山东师范大学附中高三月考)设等差数列na前 n
13、项和为nS 若210a，540S，则5a _，nS 的最大值为_【答案】4 42 【解析】数列 na是等差数列，540S，15355 24022aaa，38a，又210a，2d ，2(2)10(2)(2)142naandnn，5142 54a ，122(12 142)(262)13169(13)13()22224nnn aannn nSn nnnn ,当6n 或 7 时，nS 有最大值 42.故答案为：(1)4；(2)42.17、(2020 届山东省九校高三上学期联考)已知数列 na中，112a，其前n 项和nS 满足202nnnnSa San，则2a _；2019S _.【答案】16 120
14、20 【解析】(1)由题：202nnnnSa San，令2n，222222222211()0220,()Sa Saaa aa，得：231024a，所以216a ；(2)由题202nnnnSa San，12nnnaSSn 211()02nnnnnnSSSSSSn，化简得：1102nnnnS SSSn，11111110,1,(2)nnnnnSSSS，1nS是一个以 2 为首项，1 为公差的等差数列，11nnS ，11nSn，201912020S 故答案为：(1).16 (2).12020 18、(2020 届浙江省温丽联盟高三第一次联考)数列 na的前 n 项和为nS，11a，11444nnnnn
15、aaaaa，则11S _；若2019nS 时，n 的最大值为_.【答案】26 807 【解析】11a ，1+1444nnnnnaaaaa，11a ，22a，33a，44a，4514aa，111212SSa123443 aaaaa31 234426 ；由 202020210可知80780880820162019SaS，8082020S，故2019nS 时，n 的最大值为 807；故答案为：26；807 四、解答题 19、(2020 年高考全国卷理数)设na是公比不为 1 的等比数列，1a 为2a，3a 的等差中项(1)求na的公比；(2)若11a ，求数列nna的前 n 项和【解析】(1)设na
16、的公比为q，由题设得1232,aaa 即21112aa qa q.所以220,qq 解得1q(舍去)，2q .故na的公比为 2.(2)设nS 为nna的前 n 项和.由(1)及题设可得，1(2)nna.所以 11 2(2)(2)nnSn ，21222(2)(1)(2)(2)nnnSnn .可得2131(2)(2)(2)(2)nnnSn 1(2)=(2).3nnn 所以1(31)(2)99nnnS.20、(2020 届山东省潍坊市高三上期末)已知各项均不相等的等差数列na的前4 项和为10，且124,a a a 是等比数列 nb的前3 项.(1)求,nna b;(2)设11nnnncbaa，求
17、 nc的前n 项和nS.【解析】(1)设数列 na的公差为 d，由题意知:12341144 14+46102aaaaadad 又因为124,a a a 成等比数列，所以2214aa a，21113adaad，21da d，又因为0d，所以1ad.由得11,1ad，所以nan，111ba，222ba，212bqb，12nnb.(2)因为111112211nnncn nnn，所以0111111122.212231nnSnn 1 2111 21nn 121nn 所以数列 nc的前n 项和121nnSn 21、(2020 年高考全国 III 卷理数)设数列an满足 a1=3，134nnaan (1)计
18、算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前 n 项和 Sn【解析】(1)235,7,aa 猜想21,nan 由已知可得 1(23)3(21)nnanan，1(21)3(21)nnanan，2153(3)aa.因为13a，所以21.nan(2)由(1)得 2(21)2nnnan，所以 233 25 27 2(21)2nnSn .从而 234123 25 27 2(21)2nnSn .得 2313 22 22 22 2(21)2nnnSn ，所以1(21)22.nnSn 22、(2020 届山东省泰安市高三上期末)已知等差数列 na的前 n 项和为254,12,16nS
19、 aaS(1)求 na的通项公式；(2)数列 nb满足141nnnbTS，为数列 nb的前 n 项和，是否存在正整数 m，1kmk，使得23kmTT?若存在，求出 m，k 的值；若不存在，请说明理由【解析】(1)设等差数列 na的公差为 d，由2541216aaS得112512238adad，解得112ad，*1 2121,nannnN；(2)2122nn nSnn，21111412 2121nbnnn，1211111111111123352321212122121nnnTbbbnnnnnn，若23kmTT，则2232121kmkm，整理得22341 2mkmm，又1km，2234121mmm
20、mm，整理得222104121mmmmm，解得6112m，又*mN，2m，12k，存在2,12mk满足题意 23、(2020 届山东省九校高三上学期联考)已知数列1na 是等比数列，11a 且2a，32a，4a 成等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)设11nnnnnaaba a，求数列 nb的前n 项和nS.【解析】(1)设数列1na 的公比为q，112a ，22334121212aqaqaq ，22334212121aqaqaq，32422aaa，232 2121 21qqq ，2342222qqq，即：224121qq q，解得：2q=.112 22nnna ，21nna .(2
21、)11211212121 21nnnnnnb，1231nnnSbbbbb 12233411111121212121212111111121212121nnnn 11112212121nnn.24、(2020 届山东省烟台市高三上期末)已知数列 na的前n 项和nS 满足21nnSnanN，且12a.(1)求数列 na的通项公式；(2)设1 2 nannba，求数列 nb的前n 项和nT.【解析】(1)因为2(1)nnSna,nN,所以112(2)nnSna,nN,两式相减得112(2)(1)nnnanana,整理得1(1)nnnana,即11nnaann,nN,所以nan为常数列,所以121n
22、aan,所以2nan (2)由(1),(1)2=(21)4nannnban,所以 1231 4+3 4+5 4+(21)4nnTn 23141 4+3 4+(23)4(21)4nnnTnn 两式相减得：23134+2(4+4+4)(21)4nnnTn，2+114434+2(21)41 4nnnTn，化简得120(65)4+99nnnT 25、(2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知等比数列 na满足1,a2,a31aa成等差数列，且134a aa；等差数列 nb的前 n 项和2(1)log2nnnaS.求：(1),nanb；(2)数列nna b的前项和nT.【解析】(1)设 na的公比
23、为 q.因为1,a2,a31aa成等差数列，所以21312aaaa，即232aa.因为20a，所以322aqa.因为134a aa，所以4132aaqa.因此112nnnaa q.由题意，2(1)log2nnnaS(1)2nn.所以111bS，1223bbS，从而22b.所以 nb的公差212 1 1dbb .所以1(1)1(1)1nbbndnn .(2)令nn nca b，则2nncn.因此12nnTccc12311 22 23 2(1)22nnnn .又234121 22 23 2(1)22nnnTnn 两式相减得23122222nnnTn 1222=21 2nnn 11222nnn 1(1)22nn.所以1(1)22nnTn.
