1、 解三角形高考试题考点一 正弦定理与余弦定理1.(2013年新课标全国卷,文10)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()(A)10(B)9 (C)8 (D)5解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因ABC为锐角三角形,所以cos A=.ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b6,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.答案:D2.(2013年陕西卷,文9)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为(
2、)(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由正弦定理,得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,则sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(B+C)=sin2A=1,所以A=,故选A.答案:A3.(2013年北京卷,文5)在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B等于()(A)(B)(C)(D)1解析:由正弦定理得=,sin B=.故选B.答案:B4.(2013年山东卷,文7)ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若B=2A,a=1,b=,则c等于()(A)2(B)2 (C)(D)1解析:由正
3、弦定理,得=,B=2A,a=1,b=,=,sin A0,cos A=得A=,B=,C=.c=2.故选B.答案:B5.(2013年湖南卷,文5)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()(A)(B)(C)(D)解析:由正弦定理得,2sin Asin B=sin B,sin A=,因为ABC为锐角三角形,所以A=.故选A.答案:A6.(2012年广东卷,文6)在ABC中,若A=60,B=45,BC=3,则AC等于()(A)4(B)2(C)(D)解析:由正弦定理可知, =,所以AC=2.故选B.答案:B7.(2011年浙江卷,文5)在ABC中,角A,B,C所
4、对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B等于()(A)-(B)(C)-1(D)1解析:因为在ABC中,acos A=bsin B,由正弦定理可得sin Acos A=sin2B,即sin Acos A=1-cos2B,所以sin Acos A+cos2B=1.故选D.答案:D8.(2012年陕西卷,文13)在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=,c=2,则b=.解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=22+(2)2-222cos=4,b=2.答案:29.(2012年福建卷,文13)在ABC中,已知BAC=
5、60,ABC=45,BC=,则AC=.解析:由正弦定理知=,代入数据得=,AC=.答案:10.(2013年重庆卷,文18)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A;(2)设a=,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.解:(1)由余弦定理得cos A=-.又0A,所以A=.(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a=得S=absin C=asin C=3sin Bsin C,因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B=时,S+3c
6、os Bcos C取最大值3.11.(2013年湖北卷,文18)在ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2 A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0.解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0A,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=
7、.又由正弦定理,得sin Bsin C=sin Asin A=sin2 A=.12.(2012年新课标全国卷,文17)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c=asin C-ccos A.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面积为,求b,c.解:(1)由c=asin C-ccos A及正弦定理得sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,由sin C0,所以sin（A-）=,又0Ab,则B等于()(A)(B)(C)(D)解析:由asin Bcos C+csin Bcos A=b得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,因为sin
8、 B0,所以sin Acos C+cos Asin C=,即sin(A+C)= ,sin B=,又ab,则B=,故选A.答案:A2.(2013年新课标全国卷,文4)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则ABC的面积为()(A)2+2(B)+1(C)2-2(D)-1解析:由正弦定理知c=2.又sin A=sin(-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,所以ABC的面积S=bcsin A=+1.故选B.答案:B3.(2013年安徽卷,文9)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin
9、 B,则角C等于()(A)(B) (C)(D)解析:利用正弦定理,由3sin A=5sin B得a=b,又因b+c=2a,得c=2a-b=b-b=b,所以cos C=-,则C=.故选B.答案:B4.(2012年湖北卷,文8)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acos A,则sin Asin Bsin C为()(A)432(B)567(C)543(D)654解析:因为a,b,c为连续的三个正整数,且ABC,可得a=c+2,b=c+1;又因为3b=20acos A,由余弦定理可知cos A=,则3b=20a,联立,化简可得7c2-1
10、3c-60=0,解得c=4或c=- (舍去),则a=6,b=5.又由正弦定理可得,sin Asin Bsin C=abc=654.故应选D.答案:D5.(2011年四川卷,文8)在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是()(A)（0,(B),）(C)(0,(D),)解析:根据正弦定理,由sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C得a2b2+c2-bc,根据余弦定理cos A=,又0A,0A,故选C.答案:C6.(2013年福建卷,文21)如图,在等腰直角OPQ中,POQ=90,OP=2,点M在线段PQ上.(1)若OM=,求PM的长;(2)
11、若点N在线段MQ上,且MON=30,问:当POM取何值时,OMN的面积最小?并求出面积的最小值.解:(1)在OMP中,OPM=45,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OPMPcos 45,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设POM=,060,在OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故SOMN=OMONsinMON=.因为060,302+30150,所以当=30时,sin(2+30)的最大值为1,此时OMN的面积取到最小值.即POM=30时,OMN的面积的最小值为8-4.7.(2013年江西卷,文17)在ABC中,角A,B,C的对边分别
12、为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.(1)证明:由sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin2B=1得sin A+sin C-2sin B=0.因为=,所以a+c-2b=0,所以2b=a+c,即a、b、c成等差数列.(2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C及2b=a+c,c=,得(a-2b)2=a2+b2-2ab.即a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,也即3b2=5ab,所以=.8.(2013年浙江卷,文18)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
13、且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.解:(1)由2asin B=b及正弦定理=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由三角形面积公式S=bcsin A,得ABC的面积为=.9.(2013年天津卷,文16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.(1)求b的值;(2)求sin（2B-）的值.解:(1)在ABC中,由=,可得bsin A=asin B.又由bsin A=3cs
14、in B,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos B,cos B=,可得b=.(2)由cos B=,得sin B=,从而得cos 2B=2cos2B-1=-,sin 2B=2sin Bcos B=.所以sin（2B-）=sin 2Bcos -cos 2Bsin =.10.(2012年辽宁卷,文17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,角A,B,C成等差数列.(1)求cos B的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin Asin C的值.解:(1)角A、B、C成等差数列,2B=A+C,又A+B+C=,B=,cos B=.(2)边a,b,c成等比数列,b2
15、=ac,根据正弦定理得sin2 B=sin Asin C,sin Asin C=sin2 B=（sin）2=.11.(2010年福建卷,文21)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能
16、有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)法一设相遇时小艇的航行距离为s海里,则s=.故当t=时,smin=10,v=30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.法二若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.在RtOAC中,OC=20cos 30=10,AC=20sin 30=10.又AC=30t,OC=vt,此时,轮船航行时间t=,v=30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.由题意可得(v
17、t)2=202+(30t)2-22030tcos(90-30),化简得v2=-+900=400(-)2+675.由于00),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即解得15v30.所以v的取值范围是(15,30).模拟试题考点一 正弦定理与余弦定理1.(2013安徽望江四中高三月考)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=acos C,则A等于()(A) (B)(C)或 (D)或解析:由正弦定理知,2sin B-sin C=2sin Acos C,2sin(A+C)-2sin Acos C=
18、sin C,2cos Asin C=sin C,sin C0,cos A=.又0A,A=.故选B.答案:B2.(2013广东江门高三一模)在ABC中,若A=,B=,AB=6,则AC等于()(A)(B)2(C)3(D)4解析:C=-A-B=-=.由正弦定理=,=,AC=4.故选D.答案:D3.(2013四川外国语学校高三月考)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,B=,且sin Asin C=31,则bc的值为.解析:sin Asin C=ac=31,a=3c.由余弦定理cos=,=,7c2=b2,=7,=.答案:4.(2013浙江金丽衢十二校第一次联合考试)在ABC中,角A、B、C的
19、对边分别为a、b、c,C=,b=5,ABC的面积为10.(1)求a、c的值;(2)求sin（A+）的值.解:(1)SABC=absin C=10,a5sin=20,得a=8,c2=a2+b2-2abcos C,c=7.(2)=,sin A=,cos A=,sin(A+)=sin Acos+cos Asin=+=.考点二 正、余弦定理的综合应用1.(2013广东肇庆高三一模)在ABC中,AC=,BC=2,B=60,则ABC的面积等于.解析:设角A、B、C的对边分别为a、b、c,由余弦定理,cos B=,即=,c2-2c-3=0,c=3或c=-1(舍).SABC=acsin B=.答案:2.(20
20、12安徽淮南质检)在ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且ab,则B=.解析:由ab,得ab=bcos C-(2a-c)cos B=0,利用正弦定理,可得sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,因为sin A0,故cos B=,又0B,因此B=.答案:3.(2013浙江嘉兴高三测试)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=c+bcos C.(1)求角B的大小;(2
21、)若SABC=,求b的最小值.解:(1)由正弦定理可得sin A=sin C+sin Bcos C,又因为A=-(B+C),所以sin A=sin(B+C),可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C,又sin C0,即cos B=,所以B=.(2)因为SABC=,所以acsin=,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.所以b24,即b2,所以b的最小值为2.4.(2013重庆第一中学高三月考)ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直
22、的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,求的最小值.解:(1)E为AC中点时,则AE=EC=,+3a得BA,A为锐角,A=30,C=90,SABC=ab=.故选C.答案:C4.(2013广东深圳中学高三阶段测试)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若(b-c)cos A=acos C,则cos A=.解析:由正弦定理得(sin B-sin C)cos A=sin Acos C,sin Bcos A=sin Acos
23、 C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.又sin B0,cos A=.答案:5.(2013重庆育才中学高三上12月月考)在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若m=（sin2,1）,n=(-2,cos 2A+1),且mn.(1)求角A的度数;(2)当a=2,且ABC的面积S=时,求边c的值和ABC的面积.解:(1)由于mn,所以mn=-2sin2+cos 2A+1=1-2cos2+2cos2A-1=2cos2A-cos A-1=(2cos A+1)(cos A-1)=0.所以cos A=-或1(舍去),即角A的度数为.(2)由S=及余弦定理得tan C=,C=B.又由正弦定理=得c=2,所以ABC的面积S=acsin B=.
