1、徐水一中2020-2021学年度第一学期期中考试数学试题第卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】由题意得，所以，故选D.2. 命题“，”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题“，”全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即,故选：C3. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由函数的定义可知，两个函数要为同一
2、函数则其三要素必须相同选项A中的值域为，的值域为；选项B中的定义域为，的定义域为；选项C中的定义域为，的定义域为；故排除A,B,C，选项D中和的定义域都是，且.故选D.考点：函数的三要素4. 某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.5. 下列函数，在其定义域内既是奇函数
3、又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性、单调性逐项判断即可得解.【详解】对于A，函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B，函数是奇函数且在定义域内单调递增，故B正确；对于C，函数为非奇非偶函数，故C错误；对于D，函数在定义域内不单调，故D错误.故选：B.6. 已知过定点，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数恒过定点，即可求得的坐标.【详解】解：令，解得：，恒过定点.故选：C.7. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【详解】解：，即，即，
4、在上为增函数，且，即，故选：A【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题8. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案.【详解】因为在R上的偶函数，且上单调递减，所以在上单调递增，且，则等价于或，根据的单调性和奇偶性，解得或，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列不等式成立的是（ ）A. 若ab0，则a2b2B. 若
5、ab4，则ab4C. 若ab，则ac2bc2D. 若ab0，m0，则【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，显然B错误；对于C，当时，故C错误；对于D，因为，所以，所以所以，即成立，故D正确故选AD【点睛】本题主要考查不等式性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.10. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】先求出不等式的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义，由集合法求解.【详解】因为，所以，解得若使不等式成立的一个充
6、分不必要条件，则x的范围是的一个真子集，故选：AB【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及集合法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.11. 已知函数的图像如图所示，则（ ）A. 的单调增区间是B. 的解集是C. 的值域是D. 若，且，则【答案】CD【解析】【分析】由图象求出增区间判断A；由图象看出不等式的解集判断B；根据奇偶性与对称性，结合图象求出值域判断C；先根据图象判断，再根据单调性判断D.【详解】对于A，由图可知，的单调增区间是和，错误；对于B，由图可知，的解集是，错误；对于C，因为，所以是偶函数，由图可知时，因为的图象关于轴对称，所以时，的值域为，故正确；对于D，因
7、为，且，所以由图象可知，由图象可知，故正确.故选：CD.【点睛】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质12. 设，用表示不超过的最大整数，则函数称为高斯函数，也叫取整函数，如：，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B C. 的解集为D. 当，时，函数的值域中元素个数为【答案】ABD【解析】【分析】由取整函数定义可知，选项AB成立；对于选项CD，列表分析即可作出判断.【详解】由取整函数定义可知，选项AB成立；对于选项C
8、D，可列下表分析元素个数2，3，40，10001个111个24，52个39，10，113个，个由上表可知，的解集为，当，函数的值域中元素个数为：，故选项C错，选项D对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的新定义，考查等比数列的前n项和，解决此类型题应紧扣定义，结合函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性认真分析，利用数形结合和转化划归等思想合理解决问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.第卷一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上）13. 函数的单调增区间为_.【答案】【解析】【分析】先分析内层函数的单调性，然后分析外层函
9、数的单调性，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调区间.【详解】因为在上单调递增，在上单调递减，又因为在上单调递增，所以的单调递增区间为，故答案为：.【点睛】思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.14. 幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的值为_【答案】2【解析】【分析】由幂函数的定义及性质即可得解.【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数的图象不过原点，符合题意；当时，函数的图象经过原点，不符合题意；故.故
10、答案为：2.15. 已知，则的最小值为_.【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果【详解】由，则.当且仅当，即且时，取得最小值9.故答案为:9.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.16. 给出下列命题：函数与互为反函数，其图象关于直线对称；已知函数，则；当且时，函数的图像必过定点；用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；函数零点有2个.其中所有正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】求解出的反函数，再根据反函数的特点进行判断；采用换元法求解出的解析式，由此计算出的值并进行判断；分析当对数式的真数为时，此时的值，由此确
11、定出函数所过定点并进行判断；根据每经过一次操作区间长度变为原来的一半，由此列出关于次数的不等式，求解出次数的范围并进行判断；根据的值以及零点的存在性定理进行判断.【详解】令，所以，所以函数与互为反函数，则图象关于对称，故正确；令，则，所以，所以，所以，故错误；令，所以，所以，所以过定点，故正确；因为区间的长度为，经过次操作过后区间长度变为，所以，所以，故错误；因为，且，所以在上有零点，所以的零点至少有个，故错误；故答案为：.【点睛】结论点睛：（1）同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于对称；（2）形如的图象过定点问题，可考虑令，由此求解出的值，从而对应的的值可求，则定点坐标可求；（3）
12、利用二分法求解函数零点的近似值时，每进行一次操作，区间长度会变为原来的一半.三、解答题（共8个小题.满分为90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则以及根式化简求解出原式的值；（2）利用对数的运算性质以及对数恒等式求解出原式的值.【详解】（1）原式；（2）原式.18. 已知集合，（1）求集合、集合；（2）若_，求实数的取值范围(请从集合、集合两个条件中任选一个补充在横线处，并完成解答).【答案】（1）或，；（2）条件选择见解析，.【解析】【分析】（1）由不等式，利用分式不等式的求得集合A，
13、由不等式，利用指数函数的单调性求得集合B.（2）若选择，则，即由求解；若选择，则，即由求解.【详解】（1）不等式，即为，解得或，所以或，不等式，即为，解得，所以；（2）若选择，即，即，. ，又，的取值范围是.若选择，即，即，因为，又，的取值范围是.19. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）图象见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）先分析时，即可求解出的解析式，然后由奇函数的性质运算即可得解；（2）作出图象，数形结合即可得函数的单调递减区间；
14、（3）根据函数的单调性，数形结合即可得关于的不等式，由此可求解出的取值范围.【详解】（1）是定义在R上的奇函数，又当时，当时， 满足，； （2）作出函数的图象如图所示： 由图象可知，函数的单调递减区间为；（3）在区间上单调递增由函数的图象可得，解得的取值范围为.【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：（1）先设，则，根据的解析式求解出；（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.20. 已知函数其中（）求函数的定义域;（）判断函数的奇偶性，并给予证明；（）利用复合函数的单调性，指出函数的单调性（不必
15、证明）【答案】（）；（）奇函数，证明见解析；（）是上的减函数【解析】【分析】（）利用对数函数的性质求解定义域即可（）利用函数的奇偶性定义进行求解即可（）利用复合函数的单调性定义进行求解即可【详解】解：（）要使原式有意义，需，即，函数的定义域为 （），定义域关于原点对称函数是奇函数 （）易知是上的增函数又，是上的减函数【点睛】关键点睛：解题关键在于理解函数的定义域和奇偶性、单调性定义，属于基础题21. 已知某零件在周内周销售价格（元）与时间（周）的函数关系近似如图所示（图象由两条线段组成），且周销售量近似满足函数（件）.（1）根据图象求该零件在周内周销售价格（元）与时间（周）的函数关系式；（2）
16、试问这周内哪周的周销售额最大？并求出最大值. （注：周销售额=周销售价格周销售量）【答案】（1），；（2）第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元.【解析】【分析】（1）根据图象，可得销售价格（元）与时间（周）的函数关系；（2）结合周销售量与时间之间的关系，可得周销售额函数，分段求最值，即可得到结论【详解】解：（1）根据图象，销售价格（元）与时间（周）的函数关系为：，；（2）设周内周销售额函数为，则，若，时，当时，；若，时，当时，因此，这种产品在第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22.
17、已知函数（）判断函数在定义域上的单调性，并利用定义加以证明；（）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（）是R上的增函数，证明见解析；（）【解析】【分析】（）分离常数得，利用函数单调性的定义即可证明；（）由函数的单调性可转化条件为，求得的最小值即可得解.【详解】（），其定义域R，是R上的增函数，证明如下：任取且， 则 ， ，即， 故是R上的增函数； (）因为函数是R上的增函数，所以不等式恒成立对任意恒成立，而当时，取最小值为，故.附加题：23. 已知函数与，其中是偶函数（）求实数的值；（）求函数的定义域；（）若函数只有一个零点，求实数的取值范围【答案】（）；（）分类讨论，答案见解析
18、；（）【解析】【分析】（）由偶函数的性质，运算即可得解；（）转化条件为，按照、分类，即可得解；（）由对数的运算性质转化条件得方程有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.【详解】（）是偶函数，即对一切恒成立，； （）要使函数有意义，需，当时，解得，当时，解得，综上可知，当时，的定义域为；当时，的定义域为； （）只有一个零点，方程有且只有一个实根， 即方程有且只有一个实根，亦即方程有且只有一个实根，令（），则方程有且只有一个正根， 当时，不合题意；当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由可得，解得或若，则不合题意，舍去；若，则满足条件；若方程有两根异号，则
19、，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.24. 已知函数，.（1）若集合为单元素集，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，对任意，存在，使成立，试求实数b的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）转化为一元二次方程只有一个实数解，利用求解；（2）使即可，然后通过参变分离法求解.【详解】解：（1）由题意知，有唯一实数解即有两个相等的实数根，所以，.（2），当时，为递增函数；当任意，存在使成立存在，使成立，即.函数在上单调递增，b的取值范围为.【点睛】本题考查根据函数零点的个数求参，考查函数与双变量问题的综合，难度一般.解答时注意函数与方程思想的运用，注意将双变量问题转化为函数最值问题求解.
