1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016年北京市东城区高三查缺补漏数学试卷一、选择题1已知向量=（3，4），向量与方向相反，且=，|=1，则实数的值为（）ABCD2若双曲线=1的离心率是椭圆+=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x3点P（tan2015，cos2016）位于的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4已知函数f（x）=sin（x+）是偶函数，其图象与直线y=1的交点间的最小距离是，则（）A=2，=B=2，=C=，=D=，=5函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）6已知O是A
2、BC内一点， +2=，则AOB的面积与ABC的面积之比为（）A1：4B2：3C1：3D1：27已知函数y=sinx（0）在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin（x+）的图象，则需将函数y=sinx的图象（）A向右平移B向左平移C向右平移D向左平移8已知命题（其中l，m表示直线，表示平面）（1）若lm，l，m，则；（2）若lm，l，m，则；（3）若，则；（4）若lm，l，m，则；上述命题正确的序号是（）A（1）（2）（3）B（2）（3）（4）C（1）（3）（4）D（1）（2）（4）二.填空题9已知圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，且圆C与直线x+y3=0相切，则圆C的方程为10
3、如图，PT是O的切线，切点为T，直线PA与O交于A、B两点，TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，则PA=， =11如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、G分别为BC、DC中点，点F为EC中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC为轴旋转一周所得的几何体的体积是12设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是13一个大风车的半径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P离地面的距离为h（m），P的初始位置在最低点风车转动的时间为t（min），当t=8（min）时，h=
4、（m）； h与t的函数关系为三.解答题14已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=（）求出a的值；（）若g（x）=asinx+cosx，求出函数g（x）在区间，上的最大值和最小值15如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是EC的中点（）求证：DMEB；（）求二面角MBDA的余弦值16某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销
5、一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E17已知函数f（x）=ax2lnx（）当a=1时，函数y=xf（x）有几个极值点？（）若f（x）0对于x（，e）的解集非空，求实数a的取值范围18已知椭圆D与y轴交于上A、下B两点，椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线（）求椭圆D的方程；（）设以原点为顶点，A为焦点的抛物线为C，若过点F1的直线与C相交于不同M、N的两点，求线段MN的中点Q的轨迹方程19设有穷数列a0，a1，a2，am的各项均为整数，若对每一个k1，2，3，m，均有|akak
6、1|=k2，则称数列an为“m阶优数列”（1）判断数列1，2，2，7，9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；（3）对任意两个整数s，t，是否存在一个“r阶优数列”，其首项为s且末项为t20如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（0y1y2yn）是曲线C：y2=3x（y0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）（1）写出a1，a2，a3；（2）求出点An（an，0）（nN*）的横坐标a
7、n关于n的表达式；（3）设，若对任意的正整数n，当m1，1时，不等式恒成立，求实数t的取值范围2016年北京市东城区高三查缺补漏数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1已知向量=（3，4），向量与方向相反，且=，|=1，则实数的值为（）ABCD【考点】相等向量与相反向量【分析】求出，利用|=1，求解即可【解答】解：向量=（3，4），向量与方向相反，且=（3，4），0，|=1，可得： =1，解得故选：B2若双曲线=1的离心率是椭圆+=1的二倍，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】求出椭圆和双曲线的离心率关系，结合双曲线渐近线的方
8、程 进行转化求解即可【解答】解：由椭圆的方程+=1得a2=16，b2=7，则c2=167=9，即a=4，c=3，则离心率e=，双曲线=1的离心率是椭圆+=1的二倍，双曲线的离心率e=2=，即=，则=，则双曲线的渐近线方程为y=x，故选：A3点P（tan2015，cos2016）位于的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】三角函数值的符号【分析】利用诱导公式可得：tan2015=tan35，cos2016=cos216，即可判断出结论【解答】解：tan2015=tan（11180+35）=tan350，cos2016=cos=cos2160，点P（tan2015，cos201
9、6）位于第四象限故选：D4已知函数f（x）=sin（x+）是偶函数，其图象与直线y=1的交点间的最小距离是，则（）A=2，=B=2，=C=，=D=，=【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】由题意函数y=sin（x+）为偶函数，求出，通过图象与直线y=1的交点间的最小距离是，求出函数的周期，然后求出即可【解答】解：函数y=sin（x+）为偶函数，所以=+k（kZ），因为函数图象与直线y=1的交点间的最小距离是，所以函数的周期为：，所以=，所以=2，故选：A5函数f（x）=ln（x+1）的零点所在的大致区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数的零点与方程
10、根的关系【分析】函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反【解答】解：f（1）=ln（1+1）2=ln220，而f（2）=ln31lne1=0，函数f（x）=ln（x+1）的零点所在区间是 （1，2），故选B6已知O是ABC内一点， +2=，则AOB的面积与ABC的面积之比为（）A1：4B2：3C1：3D1：2【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量加法的几何意义可得O为三角形AB边的中线CD的中点，即可得出三角形的面积关系【解答】解：以OA，OB为邻边作平行四边形OAEB，OE，AB交于点D，则D为OE，AB的中点=2+2=，O为CD的中点SAO
11、B=SABC=故选：D7已知函数y=sinx（0）在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y=sin（x+）的图象，则需将函数y=sinx的图象（）A向右平移B向左平移C向右平移D向左平移【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】先根据图象可知函数y=sinx的周期，进而求得再根据进行图象的伸缩即可【解答】解：由图可知函数的周期为4，=要得到函数y=sin（x+）的图象只需将y=sinx的图象向左平移故选D8已知命题（其中l，m表示直线，表示平面）（1）若lm，l，m，则；（2）若lm，l，m，则；（3）若，则；（4）若lm，l，m，则；上述命题正确的序号是（）A（1）（2）（3）B（2
12、）（3）（4）C（1）（3）（4）D（1）（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据面面垂直的判定定理以及线面平行，直线垂直的性质分别进行判断即可【解答】解：（1）若lm，l，则m或m平面，若lm，m，则l或l平面，lm，成立；故（1）正确，（2）若lm，l，m，则不一定成立；故（2）错误，（3）若，则成立，故（3）正确，；（4）若lm，l，则m，m，成立；故（4）正确，故选：C二.填空题9已知圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，且圆C与直线x+y3=0相切，则圆C的方程为x2+（y1）2=2【考点】圆的标准方程；参数方程化成普通方程【分析】求出直线（t为参数）与y轴的交点即为
13、圆心C坐标，求出点C到直线x+y3=0的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可【解答】解：圆C的圆心是直线（t为参数）与y轴的交点，得到圆心C（0，1），圆心C（0，1）到直线x+y3=0的距离d=，圆C半径r=，则圆C方程为x2+（y1）2=2故答案为：x2+（y1）2=210如图，PT是O的切线，切点为T，直线PA与O交于A、B两点，TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，已知PT=2，则PA=， =【考点】与圆有关的比例线段【分析】由图形知，线段PA的长度可以用切割线定理建立方程来求，由PT2=PBPA即可求解；观察发现TE与AD分别在两个三角形PTE与三角形PDA中，而此两个三
14、角形可以证出是相似的，由此可求得【解答】解：由题意，如图可得PT2=PBPA又由已知PT=2，故可得PA=又TPA的平分线分别交直线TA、TB于D、E两点，可得TPE=APD又由弦切角定理知PTE=PAD故有PETPDA故有TE：AD=PT：PA=：2故答案为，11如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、G分别为BC、DC中点，点F为EC中点，则矩形去掉阴影部分后，以BC为轴旋转一周所得的几何体的体积是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】几何体为圆柱减去一个半球和一个小圆柱后剩余部分，使用作差法求出几何体体积【解答】解：几何体为大圆柱减去一个半球和一个小圆
15、柱后剩余部分AB=2，BC=4，CF=，CG=，大圆柱的底面半径为2，高为4，半球的半径为2，小圆柱的底面半径和高均为1故答案为：12设函数f（x）=，若a=1，则f（x）的最小值为1；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a1或a2【考点】函数的零点；分段函数的应用【分析】分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：当a=1时，f（x）=，当x1时，f（x）=2x1为增函数，f（x）1，当x1时，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，当1x时，函数单调递减
16、，当x时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=1，设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a213一个大风车的半
17、径为8米，按逆时针方向12分钟旋转一周，它的最低点离地面高2米，如图所示，设风车翼片的一个端点P离地面的距离为h（m），P的初始位置在最低点风车转动的时间为t（min），当t=8（min）时，h=14（m）； h与t的函数关系为【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Acos（t+）+B（A0，0，0，2），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出，通过初始位置求出，从而得解【解答】解：由题意，T=12，=，设h（t）=Acos（t+）+B，（A0，0，0，2），则，A=8，B=10，可得：h
18、（t）=8cos（t+）+10，P的初始位置在最低点，t=0时，有：h（t）=2，即：8cos+10=2，解得：=2k+，kZ，=，h与t的函数关系为：h（t）=8cos（t+）+10=108cost，（t0），当t=8时，h（8）=108cos（8）=14，故答案为：14，（t0）三.解答题14已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=（）求出a的值；（）若g（x）=asinx+cosx，求出函数g（x）在区间，上的最大值和最小值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的最值【分析】（）由已知函数f（x）的一条对称轴是，可得，利用特殊角的三角函数值即可计算得解a的值（）利用
19、三角函数恒等变换的应用化简可得，由，可求，利用正弦函数的单调性即可得解【解答】解：（）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是，所以，所以，所以（），因为，所以g（x）的最大值为，g（x）的最小值为015如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是EC的中点（）求证：DMEB；（）求二面角MBDA的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系【分析】（） 建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，借助于数量积为0，从而可证DMEB；（） 先求平面的法向量，利用法向量的夹角，求面面角【解答】解：建立如图
20、所示的空间直角坐标系，并设EA=DA=AB=2CB=2，则（），所以，从而得DMEB；（）设是平面BDM的法向量，则由，及，得可以取显然，为平面ABD的法向量设二面角MBDA的平面角为，则此二面角的余弦值16某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润（）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（）求的分布列及期望E【考点】离散型随机变量及其分布列；互
21、斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果（2）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望【解答】解：（）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，（）根据顾客采用的付款期数的分布列对应于的可能
22、取值为200元，250元，300元得到变量对应的事件的概率P（=200）=P（=1）=0.4，P（=250）=P（=2）+P（=3）=0.2+0.2=0.4，P（=300）=1P（=200）P（=250）=10.40.4=0.2的分布列为200250300P0.40.40.2E=2000.4+2500.4+3000.2=240（元）17已知函数f（x）=ax2lnx（）当a=1时，函数y=xf（x）有几个极值点？（）若f（x）0对于x（，e）的解集非空，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（）当a=1时，设F（x）=xf（x）=x22xlnx，利用导数法分析函数的单调性，进
23、而可得答案；（）若f（x）0对于x（，e）的解集非空，则存在使成立进而得到实数a的取值范围【解答】解：（）当a=1时，f（x）=x2lnx，设F（x）=xf（x）=x22xlnx，则F（x）=2x2lnx2=2（x1）lnx（x0）令h（x）=x1lnx，则，所以当0x1时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减；当x1时，h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增；所以当x=1时h（x）min=h（1）=0，所以当x0时F（x）0恒成立，所以函数y=xf（x）在（0，+）上单调递增，无极值点（）因为f（x）0，即ax2lnx0问题等价于存在使成立令，则因为，所以1lnx1，所以g（x）0
24、在上恒成立，所以g（x）在上单调递增，所以，即，所以18已知椭圆D与y轴交于上A、下B两点，椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线（）求椭圆D的方程；（）设以原点为顶点，A为焦点的抛物线为C，若过点F1的直线与C相交于不同M、N的两点，求线段MN的中点Q的轨迹方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）利用椭圆的两个焦点，椭圆的一条准线方程求出椭圆的几何量，然后求解椭圆的方程；（）由，化简，设出A（x1，y1），B（x2，y2），推出x1+x2=8k，y1+，y2，得到中点坐标，设中点Q为（x，y），消去参数k，即可求轨迹方程【解答】解：（
25、）椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线可得c=1，解得a=2，则b=，椭圆的焦点坐标在y轴上椭圆的方程；（）由得x28kx8=0，（这里0恒成立），A（x1，y1），B（x2，y2）由韦达定理，得x1+x2=8k，所以中点坐标为（4k，4k2+1），设中点Q为（x，y），令，消去参数k，得到x2=4（y1）为所求轨迹方程19设有穷数列a0，a1，a2，am的各项均为整数，若对每一个k1，2，3，m，均有|akak1|=k2，则称数列an为“m阶优数列”（1）判断数列1，2，2，7，9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶
26、优数列”的个数；（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；（3）对任意两个整数s，t，是否存在一个“r阶优数列”，其首项为s且末项为t【考点】数列的应用【分析】（1）根据题目中的定义，判断数列1，2，2，7，9是“4阶优数列”，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；再求出以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；（2）根据新定义，写出满足条件的一个“8阶优数列”；（3）根据新定义，说明对任意两个整数s，t，都存在以s为首项，t为末项的“r阶优数列”【解答】解：（1）因为|21|=12，|22|=22，|7（2）|=32，|97|=42，所以，数列：1，2，2，7，9是“4阶优
27、数列”；因为10632，所以，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；对a0=1，满足条件的a1都有两种取法，对每一个a1，满足条件的a2都有两种取法，对每一个a2，满足条件的a3都有两种取法，对每一个a3，满足条件的a4都有两种取法，所以，以1为首项的所有“4阶优数列”的个数为16；（2）因为，所以，k1，2，3，m；所以a8a0=（a1a0）+（a2a1）+（a3a2）+（a8a7）=1222327282取20152015=122232+4252+62+7282即a1a0=1，a2a1=4，a3a2=9，a4a3=16，a5a4=25，a6a5=36，a7a6=49，a8a7=64，
28、所以a0=2015，a1=2016，a2=2012，a3=2003，a4=2019，a5=1994，a6=2030，a7=2079，a7=2015；或取20152015=12+22+3242+526272+82即a1a0=1，a2a1=4，a3a2=9，a4a3=16，a5a4=25，a6a5=36，a7a6=49，a8a7=64，所以a0=2015，a1=2014，a2=2018a3=2027，a4=2011，a5=2036，a6=2000，a7=1951，a7=2015；（3）因为，所以，k1，2，3，m；ama0=（a1a0）+（a2a1）+（a3a2）+（amam1）=122232（m
29、1）2m2因为n2（n+1）2（n+2）2+（n+3）2=4，n2+（n+1）2+（n+2）2（n+3）2=4，所以，当ts=4p（pZ）时，取r=|ts|+8，使前8项和取122232+4252+62+7282=44=0，后面的|ts|项的和为4p，存在“r阶优数列”；当ts=4p+1（pZ），即ts1=4p（pZ）时，取r=1+|ts1|，第一项取12，使后面的|ts1|项的和为4p，存在“r阶优数列”；当ts=4p+2（pZ），即ts2=4p（pZ）时，取r=4+|ts2|，使前4项和取122232+42=2，使后面的|ts2|项的和为4p，存在“r阶优数列”；当ts=4p+3（pZ），
30、即ts+1=4（p+1）（pZ）时，取r=1+|ts+1|，第一项取12，使后面的|ts+1|项的和为4（p+1），存在“r阶优数列”；综上，对任意两个整数s，t，都存在以s为首项，t为末项的“r阶优数列”20如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、Pn（xn，yn）（0y1y2yn）是曲线C：y2=3x（y0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）（1）写出a1，a2，a3；（2）求出点An（an，0）（nN*）的横坐标an关于n的表达式；（3）设，若对任意的正整数n，当m1，1时，不等式恒成立，求实数t的取值
31、范围【考点】数列递推式；数学归纳法【分析】（1）由题意可知直线A0P1为y=x，然后与y2=3x联立可得到P1的坐标，再由A0A1P1是正三角形可得到A1的坐标得到a1的值，同理可得到a2、a3（2）先根据题意可得到关系，然后根据yn2=3xn得（anan1）2=2（an1+an），从而可猜想数列通项公式an=n（n+1），再由数学归纳法证明即可（3）先根据（2）中an的表达式可得到bn的关系式bn=，再由函数的单调性可判断当n=1是bn的最大值，故为使得不等式恒成立只要即可，即只要t22mt0对于m1，1恒成立即可，再由二次函数的性质即可得到t的范围【解答】解（1）a1=2，a2=6，a3=
32、12；（2）依题意，得，由此及yn2=3xn得，即（anan1）2=2（an1+an）由（1）可猜想：an=n（n+1）nN*下面用数学归纳法予以证明：（1）当n=1时，命题显然成立；（2）假定当n=k时命题成立，即有an=k（k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（ak+1ak）2=2（ak+ak+1）得ak+1k（k+1）2=2k（k+1）+ak+1，即（ak+1）22（k2+k+1）ak+1+k（k1）（k+1）（k+2）=0，解之得ak+1=（k+1）（k+2）（ak+1=k（k1）ak不合题意，舍去），即当n=k+1时，命题成立由（1）、（2）知：命题成立（3）=令（x1），则，所以f（x）在1，+）上是增函数，故当x=1时，f（x）取得最小值3，即当n=1时，（nN，m1，1），即t22mt0（m1，1）解之得，实数t的取值范围为（，2）（2，+）2016年8月3日高考资源网版权所有，侵权必究！
