1、四 直角三角形的射影定理知识能力 目标引航1.掌握正射影即射影的概念,会画出点和线段的射影.2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.1.射影从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.【做一做 1】线段 MN 在直线 l 上的射影不可能是()A.点B.线段C.与 MN 等长的线段D.直线解析:当 MNl 时,射影是一个点;当 MN 与 l 不垂直时,射影是一条线段;特别地,当 MNl 或 MN 在 l 上时,射影与 MN 等长,线段 MN的射影不可能是直线.答案
2、:D2.射影定理 文字语言直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项;两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项符号语言在 Rt ABC 中,ACCB,CDAB 于 D,则CD2=BDAD;AC2=ADAB;BC2=BDBA图形语言作用确定成比例的线段(1)勾股定理:AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.(2)面积关系:ACBC=ABCD=2SABC,SACDSCBD=ADBD=AC2BC2.【做一做 2-1】如图所示,在 RtABC 中,ACCB,CDAB 于 D,且 CD=4,则 ADDB 等于()A.16B.4C.2D.不确定解析:AC
3、CB,CDAB,ADDB=CD2.又 CD=4,ADDB=42=16.答案:A【做一做 2-2】如图所示,RtABC 中,ACBC,点 C 在 AB 上的正射影为 D,且 AC=3,AD=2,则 AB=.解析:ACCB,又 D 是 C 在 AB 上的正射影,CDAB,AC2=ADAB.又 AC=3,AD=2,AB=AC2AD=92.答案:92用射影定理证明勾股定理剖析:如图所示,在 RtABC 中,ACCB,CDAB 于 D,则由射影定理可得 AC2=ADAB,BC2=BDBA,则 AC2+BC2=ADAB+BDBA=(AD+BD)AB=AB2,即AC2+BC2=AB2.由此可见,利用射影定理
4、可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简捷明快,比面积法要方便得多.题型一与射影定理有关的计算问题【例题 1】若 CD 是 RtACB 斜边 AB 上的高,AB=25,AC=20,试确定DB 和 CD 的长.分析:用射影定理求出 AD,从而求出 DB,再用射影定理求出 CD.解:ACCB,CDAB,AC2=ADAB,CD2=ADDB.AD=AC2AB=20225=16.DB=AB-AD=25-16=9.CD=ADDB=16 9=12.(1)本题可先用勾股定理求出 BC,再用射影定理求出 BD,最后用勾股定理求出 CD;此外还
5、有其他方法.(2)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算,有时需要与直角三角形的其他性质相结合来综合求解.如本题中,直角三角形中的六条线段 AC,BC,CD,AD,DB,AB,若已知其中任意两条线段的长,就可以计算出其余线段的长.题型二与射影定理有关的证明问题【例题 2】如图,在 RtABC 中,BAC=90,ADBC 于点 D,BE 平分ABC 交 AC 于点 E,EFBC 于 F.求证:EFDF=BCAC.分析:先由射影定理得 AC2=CDBC,即ACCD=BCAC,又由 EFAD 得AEDF=ACDC,通过中间变量即可求得.证明:BAC=90,ADBC,由射影定理,知 AC2=CDBC,
6、即ACCD=BCAC.BE 平分ABC,EAAB,EFBC,AE=EF.EFBC,ADBC,EFAD.AEDF=ACDC,EFDF=ACDC.EFDF=BCAC,即 EFDF=BCAC.利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见,在解题过程中,应弄清射影定理中成比例的线段,再结合比例的基本性质加以灵活运用.1.在 RtMNP 中,MNMP,MQPN 于点 Q,如图所示,NQ=3,则 MN 等于()A.3PNB.13PNC.3PND.9PN解析:MNMP,MQPN,MN2=NQPN,又 NQ=3,MN=NQPN=3PN.答案:C2.在 RtABC 中,BAC=90,ADBC 于点 D
7、,若ACAB=34,则BDCD等于()A.34B.43C.169D.916解析:如图,由射影定理,得 AC2=CDBC,AB2=BDBC,AC2AB2=CDBD=34 2,即CDBD=916,BDCD=169.答案:C3.已知 PA 是O 的切线,切点为 A,PA=2 cm,AC 是O 的直径,PC 交O 于点 B,AB=3cm,则ABC 的面积为 cm2.解析:如图所示,由于 PA 是O 的切线,AC 是O 的直径,则 PAAC,ABBC,则 PB=PA2-AB2=1 cm.又 AB2=PBBC,所以(3)2=1BC,所以 BC=3 cm.所以ABC 的面积为12ABBC=12 33=3 3
8、2(cm2).答案:3 324.如图,已知 AD 是ABC 的高,DPAB,DQAC,垂足分别为 P,Q.求证:APAB=AQAC.分析:转化为证明 APAB=AD2,AQAC=AD2.证明:DPAB,DQAC,ADBC,在 RtADB 中,有 AD2=APAB.在 RtADC 中,有 AD2=AQAC.APAB=AQAC.5.如图所示,已知 RtABC 中,ACB=90,CDAB 于点 D,DEAC 于点 E,DFBC 于点 F.求证:AEBFAB=CD3.分析:分别在 RtABC,RtADC,RtBDC 中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明.证明:因为在 RtABC 中
9、,ACB=90,CDAB,所以 CD2=ADBD,所以 CD4=AD2BD2.又因为在 RtADC 中,DEAC,在 RtBDC 中,DFBC,所以 AD2=AEAC,BD2=BFBC,所以 CD4=AEBFACBC.又因为A=A,ACD=ABC,所以ABCACD.所以BCCD=ABAC,即 ACBC=ABCD,所以 CD4=AEBFABCD.所以 AEBFAB=CD3.1.如图所示,CAB=90,ADBC,ACE,ABF 是正三角形.求证:DEDF.分析:由于图中所给的等角比较多,则转化为证明FDE=90,即只需证FDA+ADE=90,又 ADBD,则只需证明ADE=FDB,从而转化为证明F
10、BDEAD.证明:CAB=90,ADBC,AB2=BDBC,即ABBD=BCAB.又ABC=ABD,ABCDBA.ACAB=ADBD.又 AC=AE,AB=BF,AEBF=ADBD.又ABD=CAD,FBD=60+ABD,EAD=60+CAD,FBD=EAD.EADFBD.BDF=ADE.FDE=FDA+ADE=FDA+BDF,又ADBD,FDA+BDF=90.FDE=90.DEDF.2.如图,在ABC 中,D,F 两点分别在 AC,BC 上,且ABAC,AFBC,BD=DC=FC=1,求 AC.解:在ABC 中,设 AC=x,ABAC,AFBC,又 FC=1,根据射影定理,得 AC2=FCBC,即 BC=x2.再由射影定理,得 AF2=BFFC=(BC-FC)FC,即 AF2=x2-1.AF=x2-1.在BDC 中,过点 D 作 DEBC 于点 E,又BD=DC=1,BE=EC,又AFBC,DEAF,DEAF=DCAC.DE=DCAFAC=x2-1x.在 RtDEC 中,DE2+EC2=DC2,即 x2-1x 2+x22 2=12,x2-1x2+x44=1.整理得 x6=4.x=23.AC=23.本课结束 谢谢观看
