1、 几何证明选讲高考试题考点一 相似三角形的判定与性质1.(2013年陕西卷,文15B)(几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知A=C,PD=2DA=2,则PE=.解析:由BCPE,得C=PED,又A=C,得PED=A,P为DPE与EPA的公共角,所以PEDPAE, =,PE2=PDPA.由PD=2,DA=1,得PA=3,PE=.答案:2.(2011年陕西卷,文15B)如图,B=D,AEBC,ACD=90,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=.解析:由B=D,AEBC,ACD=90知ABEADC,则=,AE=2.答案:23.(2012年辽
2、宁卷,文22)如图,O和O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连结DB并延长交O于点E.证明:(1)ACBD=ADAB;(2)AC=AE.证明:(1)由AC与O相切于A,得CAB=ADB,同理ACB=DAB,所以ACBDAB,从而=,即ACBD=ADAB.(2)由AD与O相切于A,得AED=BAD,又ADE=BDA,得EADABD.从而=,即AEBD=ADAB,结合(1)的结论,AC=AE.考点二 直线和圆的位置关系1.(2013年天津卷,文13)如图,在圆内接梯形ABCD中,ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.解
3、析:因为AE是圆的切线,ABDC,所以BC=AD=AB=5,又BE=4,则EA2=EBEC=49=36,EA=6.由CDB=CAB=ACB=BAE,即CDB=BAE,DCB=ABE,得DCBABE,则=,则BD=.答案:2.(2012年陕西卷,文15B)如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DFDB=.解析:RtDEFRtDBE,=,即DE2=DFDB,又由相交弦定理得DE2=AEEB=15=5,DFDB=5.答案:53.(2012年天津卷,文13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平
4、行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为.解析:由相交弦定理知AFFB=EFFC,又AF=3,FB=1,EF=,FC=2,又FCBD,=,BD=,又=,AD=4CD.又由切割线定理知DB2=DCDA,=4CD2,CD=.答案:4.(2010年陕西卷,文15B)如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD= cm.解析:法一RtABC中,AC=3,BC=4,AB=5.如图,连接CD,则CDAB.由射影定理得BC2=BDAB,即42=5BD,BD=(cm).法二ACB=90,AC=3,BC=
5、4,AC为O的直径,AB=5,BC为O的切线,AB为O的割线,BC2=BDAB,42=5BD,BD=(cm).答案:5.(2013年新课标全国卷,文22)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求BCF外接圆的半径.(1)证明:连接DE,交BC于点G.由弦切角定理得,ABE=BCE.而ABE=CBE,故CBE=BCE,BE=CE.又DBBE,所以DE为直径,则DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,CDE=BDE,DB=DC,故DG是
6、BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则BOG=60.从而ABE=BCE=CBE=30,所以CFBF,故RtBCF外接圆的半径等于.6.(2013年辽宁卷,文22)如图所示,AB为O直径,直线CD与O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:(1)FEB=CEB;(2)EF2=ADBC.证明:(1)由直线CD与O相切,得CEB=EAB.由AB为O的直径,得AEEB,从而EAB+EBF=;又EFAB,得FEB+EBF=,从而FEB=EAB.故FEB=CEB.(2)由BCCE,EFAB,FEB=CEB,BE是公共边,得RtBCERtBFE
7、,所以BC=BF.类似可证:RtADERtAFE,得AD=AF.又在RtAEB中,EFAB,故EF2=AFBF,所以EF2=ADBC.7.(2013年新课标全国卷,文22)(选修41:几何证明选讲)如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.(1)证明:因为CD为ABC外接圆的切线,所以DCB=A,由题设知=,故CDBAEF,所以DBC=EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以
8、CFE=DBC,故EFA=CFE=90.所以CBA=90,因此CA是ABC外接圆的直径.(2)解:连接CE,因为CBE=90,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.由DB=BE,有CE=DC.又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而CE2=DC2=DBDA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.8.(2011年新课标全国卷,文22)如图所示,D,E分别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共
9、圆;(2)若A=90,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:连接DE,根据题意在ADE和ACB中,ADAB=mn=AEAC,即=.又DAE=CAB,从而ADEACB,因此ADE=ACB,ACB+EDB=180,C、B、D、E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C、B、D、E四点共圆,C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于A=90,故GHAB,HFAC,从而HF=AG=5,DF=(12-
10、2)=5,故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.模拟试题考点一 相似三角形的判定与性质1.(2012广东东莞高级中学二模)如图所示,AB是半径等于3的O的直径,CD是O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则CBD=.解析:连接AC,DO,OC,可得PACPDB,=.PD=8,CD=3.又OC=OD=3,OCD为等边三角形.COD=60,CBD=COD=30.答案:302.(2012衡水中学期末)如图所示,已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,ACB的平分线CD交AE于点F,交AB于点D.(1)求ADF的度数;(2)若AB=AC,求ACBC.解:(1)AC为圆O
11、的切线,B=EAC,又CD是ACB的平分线,ACD=DCB,B+DCB=EAC+ACD,即ADF=AFD.又BE为圆O的直径,DAE=90,ADF=(180-DAE)=45.(2)B=EAC,ACB=ACB,ACEBCA,=.又AB=AC,B=ACB=30,在RtABE中, =tan B=tan 30=,=.3.(2012河北省高三模拟统考)如图所示,AB是O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BDBE=BABF,求证:(1)EFFB;(2)DFB+DBC=90.证明:(1)连接AD.在ADB和EFB中,BDBE=BABF,=.又DBA=FBE,ADBEFB,又AB
12、为O直径,EFB=ADB=90,即EFFB.(2)由(1)知ADB=ADE=90,EFB=90,E、F、A、D四点共圆,DFB=AEB.又AB是O的直径,则ACB=90,DFB+DBC=AEB+DBC=90.考点二 直线和圆的位置关系1.(2013北京市海淀区斯末)如图所示,PC与圆O相切于点C,直线PO交圆O于A,B两点,弦CD垂直AB于E,则下面结论中,错误的结论是()(A)BECDEA(B)ACE=ACP(C)DE2=OEEP(D)PC2=PAAB解析:由切割线定理可知PC2=PAPB,所以选项D错误,故选D.答案:D2.(2013东阿一中调研)如图所示,AB是O的直径,P是AB延长线上
13、的一点,过P作O的切线,切点为C,PC=2,若CAP=30,则PB=.解析:连接OC,因为PC=2,CAP=30,所以OC=2tan 30=2,则AB=2OC=4,由切割线定理得PC2=PBPA=PB(PB+BA),解得PB=2.答案:23.(2013云南师大附中检测)如图所示,在正ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC, AE= AB,BD,CE相交于点F.(1)求证:A,E,F,D四点共圆;(2)若正ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.(1)证明:AE=AB,BE=AB.又AD=AC,AB=AC,AD=BE.又AB=BC,BAD=CBE,BADCBE,ADB=B
14、EC,ADF+AEF=,A,E,F,D四点共圆. (2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.AE=AB,AG=GE=AB=.AD=AC=,DAE=60,AGD为正三角形,GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.综合检测1.(2013北京市通州区期末)如图所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,则圆O的半径OC的长为.解析:取BD的中点M,连接OM,OB,则OMBD,因为BD=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,所以OM2=AO2-AM2=90-81=9
15、,所以半径OB=5,即OC=5.答案:52.(2012天津质检)如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为.解析:如图所示,连接OE,OC.直线l与圆O相切于点C,OCl.又ADl,OCAD,DAB=COB.又圆O的直径AB=8,BC=4,COB为等边三角形,COB=60,DAB=60,AEO也为等边三角形,AE=OA=4.答案:43.(2013云南师大附中检测)如图所示,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于
16、点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.(1)求证:APMABP;(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.证明:(1)PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,MN2=PN2=NANB, =,又PNA=BNP, PNABNP,APN=PBN, 即APM=PBA.MC=BC, MAC=BAC,MAP=PAB,APMABP.(2)ACD=PBN,ACD=PBN=APN,即PCD=CPM,PMCD,APMABP,PMA=BPA,PM是圆O的切线,PMA=MCP,PMA=BPA=MCP,即MCP=DPC,MCPD,四边形PMCD是平行四边形.4.(2012东北师大附中质检)如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.(1)求证A,I,H,E四点共圆;(2)若C=50,求IEH的度数.解:(1)由圆I与AC相切于点E得IEAC,结合HIAH,得AEI=AHI=90,所以A,I,H,E四点共圆.(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以IEH=HAI.由题意知HIA=ABI+BAI=ABC+BAC=(ABC+BAC)= (180-C)=90-C,结合IHAH,得HAI=90-HIA=90-(90-C)=C,所以IEH=C.由C=50得IEH=25.
