1、 河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试数学试卷（文史类）第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D考点：复数的运算及复数对应点对应的点所在的象限.2.已知变量满足约束条件 则的最大值为（ ）A 3B 0C1D3【答案】C【解析】试题分析：作出如图所示不等式组的的可行域， 即得几何意义是直线在上的截距的一半的相反数，平移直线，由图象可知当直线过点A（1，0）时，直线的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x-
2、2y，得z=1目标函数z=x-2y的最大值是1故答案为C考点：线性规划的基本应用.3.某程序框图如图1所示，则输出的结果S=（ ）A26B57C120D247【答案】B【解析】试题分析：s=1,k=1第一步，k=2,s=21+2=4,24不成立，第二步，k=3,s=24+3=11,34不成立第三步，k=4,s=211+4=26,44不成立；第四步，k=5,s=226+5=57,54成立输出54.考点：程序框图.4.函数在定义域内的零点的个数为（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】试题分析：函数在定义域为由题意， 由函数零点的定义，f（x）在内的零点即是方程|x-2|-lnx=0的根令y1=|
3、x-2|，y2=lnx（x0），在一个坐标系中作出两个函数的图象：由图象可得得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点考点：函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系.5.下列说法正确的是个数为（ ） 是直线与直线互相垂直的充要条件 直线是函数的图象的一条对称轴 已知直线：与圆：，则圆心到直线的距离是 若命题P：“存在R，”，则命题P的否定：“任意，”A1B2C3D4【答案】A考点：命题真假的判断.6.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ） ABCD1考点：求椭圆的离心率.7.在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围
4、是（ ）ABC D【答案】C【解析】试题分析：由题意，即，即，对任意，不等式都成立，所以，令，则小于或等于当时的最小值，当且仅当x=4时取最小值故选C考点：新定义下对函数恒成立问题.8.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】试题分析：解：设P（x，y） 令x0，则点P关于原点的对称点为P（-x，-y），于是即，令,，画出,的图像可得有两个交点，所
5、以有两个解也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个所以选B考点：由题目信息求“姊妹点对”.第卷（共110分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.一支田径队有男运动员 56人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为 人【答案】12【解析】试题分析：分层抽样的抽样比相等，所以女运动员的人数为，所以答案为12.考点：分层抽样.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】108+3【解析】试题分析：由三视图得几何体是由1个圆柱体和2个长方体组成的其中，圆柱体是底面半径为1，高为3的圆柱与2个长方体的长
6、，宽，高分别为1.5，6，6，所以几何体的体积为123+21.566=108+3所以答案为：108+3考点：三视图与几何体的关系11.如右图3，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，于D，若AD=1，则圆O的面积是 .图3【答案】4【解析】试题分析：因为 CE是圆O的切线，所以 ，在直角三角形ACD中，AD=1，AC=2，在直角三角形ABC中，AC=2，AB=4，圆的半径是2，从而圆的面积是4所以答案为4考点：直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及面积公式12.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 【答案】4【解析】试题分析：函数的图象恒过定点（1,1），因为点在直线上，所以
7、即=（），当且仅当时取等号考点：基本不等式的应用。13.已知是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：对于函数，当时，它在上是增函数， 是定义在上的奇函数所以函数f（x） 是定义在R 上的增函数所以解得实数a 的取值范围是考点：奇偶性与单调性的综合 14.在中，是边上一点，则 .【答案】【解析】试题分析：由题意,，.考点：向量的加减及数量积的运算.三、解答题：（本大题6个题，共80分15. （本小题满分13分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小
8、于4的概率；（2）现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合试题解析：(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两
9、张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为. 考点：古典概型问题 .16. （本小题满分13分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）设，求的值域和单调递减区间【答案】（1）（2）值域为，递减区间为【解析】试题分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期.（2）利用正弦函数的单调区间，求在的单调性.(3)求三角函数的最小正周期一般化成，
10、形式，利用周期公式即可.(4)求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方.试题解析：（1） 的最小正周期为 （2）， ， 的值域为 的递减区间为 考点：（1）三角函数的周期性；（2）三角函数的单调性.17.（本小题满分13分）如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点.（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC 1/平面CDB1；（3）求二面角B-CD-B1 正切值的大小。【答案】(1)(2)证明见解析（3）【解析】试题分析：.(1)要证线线垂直，一般证明线面垂直，
11、证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化. （2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；(3)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；再利用解三角形的知识求出正切值.试题解析：（1）由勾股定理逆定理得，因为直三棱柱中， ，；（2）假设，连结OD，由中位线得OD，
12、所以平面；（3）作BECD延长线于E连结，易知即为二面角平面角，在直角三角形中，=4，BE=，所以。考点：线线垂直及线面平行与二面角. 18.已知各项均为正数的数列an的前n项的和为Sn，且对任意的nN*，都有2Sn=+an（1）求数列an的通项公式；（2）数列bn满足b1=1，2bn+1-bn=0，（nN*）.若cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【答案】（1）an =n（2）Tn=4-（n+2）【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；(2)一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前
13、项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解.试题解析：（1）当n=1时，由2a1=2S1=，a10，得a1=1 当n2时，由2an=2Sn-2Sn-1=(+an)-() 得（an+an-1）(an-an-1-1)=0因为an+an-10，所以an-an-1=1故an=1+(n-1)1=n(2)由b1=1，得bn=，则cn=n因为 Tn=，所以 得 =2-（n+2）所以 Tn=4-（n+2）考点：求数列的通项公式及求和.19.（本小题满分14分）已知函数（1）当（2）当时，讨论的单调性【答案】（1）x-y+ln2=0;（2）当时，函数在（，）上单调递减；函数
14、在（，）上单调递增；(2)当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减，【解析】试题分析：(1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点. (2)利用函数的单调性与导数的关系；当但不恒为0函数单调递增（减）试题解析：（1） 当所以 因此，即 曲线又 所以曲线 （2）因为 ，所以 ，令 （1）当所以，当，函数单调递减；当时，此时单调递 （2）当即，解得当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由于时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增。综上所述：当时，
15、函数在（，）上单调递减；函数在（，）上单调递增；当时，函数在（0，+）上单调递减；当时，函数在（0，1）上单调递减；函数在上单调递增；函数上单调递减.考点：利用导数求切线方程及求函数的单调性.20.（本小题满分14分）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，满足，的周长为12（1）求椭圆的方程；（2）求的最大值和最小值；（3）已知点，是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（1）;（2）最大值为12，最小值为8；(3) 不存在直线 【解析】试题分析：(1)利用椭圆的定义解题求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据
16、题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）由题意得：，所以，所以椭圆方程为：；（2）因为，设P（x，y）则=，因为，所以，所以最大值为12，最小值为8；（3）当直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点；所以假设直线斜率为k，则，联立得，由0得，；设交点中点，因为，所以，因为，所以，因为，所以，方程无解，所以不存在直线使结论成立。考点：(1)椭圆的方程； （2）求最值；（3）直线与椭圆的综合问题.
