1、广东省湛江二中2011-2012学年高二上学期第一学段考试试题（数学）第一部分(选择题,共50分)一选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,那么右图中阴影部分表示的集合为( )A. B.C. D.2.某校高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法从高中生中抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A.45,75,15 B.45,45,45 C.30,90,15 D.45,60,30 3.给定空间中的直线及平面,条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂
2、直”的( )A.充要条件 B.充分非必要条件0.0350.0200.0100.005频率/组距身高100110120130150140C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件4.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右图).由图中数据可知身高在120,130内的学生人数为( )A.20 B.25 C.30 D.35主视图侧视图俯视图5.如图,一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,该几何体的全面积为( )A. B. C. D.6.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4
3、次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数: 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.757.命题,函数,则( )A.是假命题；,B.是假命题；,C.是
4、真命题；,D.是真命题；, 8.若直线始终平分圆的周长,则的最小值为( )A.2 B.6 C. D.9.的外接圆的圆心为,半径为,且,则向量在向量方向上的投影为( )A. B. C. D.10.已知函数()满足且时,函数,则函数在区间内零点的个数为( )A. B. C. D. 第二部分(非选择题,共100分)二填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分.11.命题“”的否命题是_.12.一个样本容量为的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列,若,且成等比数列,则此样本的中位数是_.开始输出结束是否13.阅读右侧的程序框图,输出的结果的值为_.14.已知,若向区域内随机投一点P,则点P落入
5、区域E的概率为_.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分12分)的三个内角、所对的边分别为、,向量,且.(1)求的大小;(2)若,求的面积.16.(本小题满分13分)有这样一则公益广告:“人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气”,汽车已是城市中碳排放量比较大的行业之一.某市为响应国家节能减排,更好地保护环境,决定将于年起取消排放量超过的型新车挂牌.检测单位对目前该市保有量最大的甲类型品牌车随机抽取辆进行了排放量检测,记录如下(单位:).序号123456排放量 (1)已知,求的值及样本标准差;(计算结果可保留根号
6、)(2)从被检测的甲类品牌车中任取2辆,则至少有一辆不符合排放量的概率是多少?17.(本小题满分13分)已知且,设命题:函数在内单调递减,命题:曲线与轴交于不同的两点,若命题为假命题,为真命题,试求实数的取值范围. 18.(本小题满分14分)如图,四边形为矩形,且, ,为的中点.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积;(3)(文科考生做)探究在上是否存在点,使得,并说明理由.(3)(理科考生做)在线段上存在点N,使得二面角的平面角大小为.试确定点N的位置.19.(本小题满分14分)已知数列中,.(1)写出的值;(2)求数列的通项公式;(3)设,求的最大值.20.(本小题满分14分)已知曲线与直线交
7、于两点和,且.记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为.设点是上的任一点,且点与点和点均不重合.(1)若点是线段的中点,试求线段的中点的轨迹方程;(2)若曲线与有公共点,试求的最小值.湛江市第二中学2012届高二级第一学期第一阶段考试数学试题 参考答案及评分标准整理得: 10分所以 12分16（本小题满分13分）解: (1)因为,所以 3分因为所以样本标准差为 6分(2)从被检测的辆甲类品牌车中任取辆,共有种不同的排放量结果:、 、 9分若不正确,正确, 即函数在上不是单调递减,曲线与轴交于两点因此,所以. 11分 综上所述,的取值范围为:. 13分18（本小题满分14分）解:(1)证明:连结,为的中点,为等腰直角三角形,则,同理可得, 2分又,且, , 3分又,又,.5分(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,而是三棱锥的高,.8分(3)(文科考生做)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结.9分是的中点, ,且, 10分19（本小题满分14分）解:(1) 2分 (2)当时, 5分当时,也满足上式， 6分数列的通项公式为. 7分(3) , 10分其圆心坐标为,半径,由图可知:当时,曲线与区域有公共点;当时，要使曲线与区域有公共点，只需圆心到直线的距离,得.的最小值为. 14分
