北京师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 WORD版含解析.doc

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1、北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.若集合A=，B=，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为，所以选C.考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.2.已知，那么用含，的代数式表示为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由换底公式可得：.故选B.3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于A,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C,

2、是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.4.设函数，则的值为（）.A. 0B. 1C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】推导出f（）=0，从而=f（0），由此能求出结果【详解】函数，f（）=0，=f（0）=1故选：B【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等中间值区分各个数值的大小。【详解】，故，所以。故选A。【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数单调性进行比较。6.若a,bR，则ab0是a2b2的（）A. 充分不

3、必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】根据不等式的性质，由ab0可推出a2b2；但，由a2b2无法推出ab0，如a=-2,b=1，即ab0是a2b2的充分不必要条件，故选A.7.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.【此处有视频，请去附件查看】8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+

4、1.5M已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出【详解】，的值所在的区间为，故选B【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）9.函数f（x）=的定义域为_【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可【详解】解：由题意得：2x40，解得：x2，故函数的定义域是2，+），故答案为：2，+）【点睛】本题考查了函数的定义域问题

5、，考查二次根式的性质，是一道基础题10.已知函数则_；若f(x)=1，则x=_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】由题，则若若可得解得舍去）；若可得解得综上可得即答案为(1). 4 (2). 11.函数（x1）的最小值是_；取到最小值时，x=_【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】【分析】由已知可知x-10，由y=x+=x-1+1，结合基本不等式即可求解【详解】x1，x-10，由基本不等式可得y=x+=x-1+1+1=2，当且仅当x-1=即x=1时，函数取得最小值2故答案为：；【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题12.设a为常数，函数f（x）=x2

6、-6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a=_【答案】3【解析】【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2-6x+3=（x-3）2-6，分析可得二次函数且其对称轴为x=3，由函数图象的平移变化规律分析可得答案【详解】根据题意，函数f（x）=x2-6x+3=（x-3）2-6，为二次函数且其对称轴为x=3，f（x+a）=（x+a-3）2-6，为偶函数，必有a=3；故答案为：3【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及判断，涉及二次函数的奇偶性，属于基础题13.定义在上的函数是奇函数,且在是增函数,则不等式的解集为_.【答案】【解析】在上是奇函数，且在是增函数在上也是增函数等价于，或或或则不等式

7、的解集为14.能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为_.【答案】【解析】试题分析：，矛盾，所以1，2，3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一15.已知非空集合满足以下两个条件：（）；（）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.那么用列举法表示集合为_ .【答案】或【解析】根据题意可以分情况讨论，当集合A中有一个元素时，若，则，不符合集合的元素个数不是中的元素，这一条件；若A 符合条件。，此时不符合条件。当集合A中有两个元素时，2这个数字不能属于A集合，也不能属

8、于B集合。不满足条件。当集合A中有3个元素时，符合条件。故结果为集合为：或。16.对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若ff（x0）=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A=x|f（x）=x，B=x|ff（x）=x，那么：（1）函数g（x）=x2-2的“不动点”为_；（2）集合A与集合B的关系是_【答案】 (1). x0=2或x0=-1 (2). 【解析】【分析】（1）根据新定义，用待定系数法求出函数g（x）=x2-2的“不动点”（2）分和两种情况，根据“不动点”和“稳定点”的定义来证明两者的关系

9、.【详解】（1）若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，即A=x|f（x）=x，设函数g（x）=x2-2的“不动点”为x0，x02-2=x0，求得x0=2，或x0=-1，故A=2，-1故答案为：x0=2，或x0=-1（2）若，则显然若，设，则，故，故.综上所述，集合A与集合B的关系是.故答案为：(1)x0=2或x0=-1 (2) .【点睛】本题主要考查新定义，函数与方程的综合应用，属于中档题17.若x、yR+，且，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由已知可得，y=，结合x，y都为正数可进一步确定x的范围，然后代入后，结合二次函数的性质可求【详解】x、yR+，且，y=，x0，y=

10、0，0，则=，结合二次函数的性质可知，当=2即x=时，取得最大值故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的最值的求解，解题的关键是确定x的范围18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，其中 _；若的值域是，则的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；由的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与轴的交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到答案.【详解】由题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，则；若函数的值域为R，由函数的图象关于原点对称，可得当时，函数的图象与轴有交点，则，解得或，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，

13、1，2）（3）答案不唯一，见解析；【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式，求得（x-1）（x-2）0的解集（2）解绝对值不等式，求得|2x-1|3的解集（3）不等式即x-（2a）x-（a+1）0，分类讨论2a和a +1的大小关系，求出x的范围【详解】（1）由（x-1）（x-2）0，可得1x2，故原不等式的解集为x|1x2（2）由|2x-1|3，可得-32x-13，求得-1x2，故原不等式的解集为（-1，2）（3）由x2-（3a+1）x+2a（a+1）0，可得x-（2a）x-（a+1）0，当2aa+1时，即a1时，不等式解集为（-，a+1）（2a，+）；当2a=a+1时，即a=1时，不等式

14、的解集为x|x2；当2aa+1时，即a1时，不等式的解集为（-，2a）（a+1，+）【点睛】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于中档题21.已知函数（1）求ff（1）的值；（2）若f（x）1，求x的取值范围；（3）判断函数在（-2，+）上的单调性，并用定义加以证明【答案】（1）（2）（-，-2）（3）增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）可以求出，然后代入x=即可求出ff（1）的值；（2）根据f（x）1即可得出，化简然后解分式不等式即可；（3）分离常数得出，从而可看出f（x）在（-2，+）上是增函数，根据增函数的定义证明：设任意的x1x2-2，然后作差，通分，得出，然后说

15、明f（x1）f（x2）即可得出f（x）在（-2，+）上是增函数【详解】（1）ff（1）=；（2）由f（x）1得，化简得，x-2，x的取值范围为（-，-2）；（3），f（x）在（-2，+）上是增函数，证明如下：设x1x2-2，则：=，x1x2-2，x1-x20，x1+20，x2+20，f（x1）f（x2），f（x）在（-2，+）上是增函数【点睛】本题考查了已知函数求值的方法，分式不等式的解法，分离常数法的运用，增函数的定义，考查了计算能力和推理能力，属于基础题22.已知函数f（x）=x2-2ax+1，x0，2上（1）若a=-1，则f（x）的最小值；（2）若，求f（x）的最大值；（3）求f（x）的

16、最小值【答案】（1）f（x）min=1 （2）f（x）max=3 （3）【解析】【分析】（1）（2）根据二次函数的性质可以求得f（x）的最值；（3）轴动区间定，分类讨论求最小值即可【详解】（1）当a=-1时，f（x）=x2+2x+1，因为x0，2，f（x）min=1；（2）当，f（x）=x2-x+1，因为x0，2，f（x）max=3；（3）当a0时，f（x）min=1，当0a2时，f（x）min=1-a2，当a2时，f（x）min=5-4a，综上：【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，属于基础题23.如果定义在0，1上的函数f（x）同时满足：f（x）0；f（1）=1若x10，x20且x1+

17、x21，则f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立那么就称函数f（x）为“梦幻函数”（1）分别判断函数f（x）=x与g（x）=2x，x0，1是否为“梦幻函数”，并说明理由；（2）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；【答案】（1）f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；理由见解析；（2）最小值是0，最大值是1【解析】【分析】（1）根据f（x）的解析式，依次判断对于三个条件是否成立，只要一个不满足就不是“梦幻函数”，进而求解；（2）根据“梦幻函数”的定义，利用条件可以证明f（x）的单调性，进而求解；【详解】（1）显然，在0，1上满足f（x）=x0，

18、g（x）=2x0；f（1）=1，g（1）=2；若x10，x20且x1+x21，则f（x1+x2）-f（x1）+f（x2）=x1+x2-x1+x2=0，即f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立；f（x）=x是“梦幻函数”，g（x）=2x不是“梦幻函数”；（2）设x1，x20，1，x1x2，则x2-x1（0，1，f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x2-x1+x1）f（x1）-f（x1）+f（x2-x1）=-f（x2-x1）0，f（x1）f（x2），f（x）在0，1单调递增，令x1=x2=0，x10，x20且x1+x21，则f（x1+x2）f（x1）+f（x2）成立，02f（0），又f（x

19、）0，f（0）=0，当x=0时，f（x）取最小值f（0）=0，当x=1时，f（x）取最大值f（1）=1【点睛】属于信息题，考查接受新知识、理解新知识、运用新知识的能力，函数的单调性、最值，属于中档题；24.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）（1）若a=1，b=2写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的

20、值；若不存在，说明理由【答案】（1）g（x）=x （2）存在，a=c=，b=【解析】【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在【详解】（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），可得a-b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数一个承托函数即有xax2+bx+cx2+恒成立，令x=1可得1a+b+c1，即为a+b+c=1，即1-b=a+c，又ax2+（b-1）x+c0恒成立，可得a0，且（b-1）2-4ac0，即为（a+c）2-4ac0，即有a=c；又（a-）x2+bx+c-0恒成立，可得a，且b2-4（a-）（c-）0，即有（1-2a）2-4（a-）20恒成立故存在常数a，b，c，且0a=c，b=1-2a，可取a=c=，b=满足题意【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题

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