1、等差数列前n项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题每一级的差额是多少？提示设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a1，a2，a10，易知其为等差数列，且a86，由解得a1，d.故每一级的差额是两.1.前n
2、项和公式：Snna1dn2n.2.等差数列前n项和的最值d的符号决定Sn有最大值还是最小值(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0，则an的前n项和一定有最小值.()3.设等差数列an的前n项和为Sn，且SpSq(p，qN*)，则Sn在n(pq)处取得最大值或最小值.()提示当(pq)是正整数，即pq是偶数时结论才成立.微训练1.等差数列an的前n项和Snn23n，则其最小值为_.解析由Snn23n，
3、可知当n1或2时，Sn的最小值为2.答案22.设an143n，则数列an的前n项和Sn有最_(填“大”或“小”)值为_.解析由于a1110，d30，公差d0，前n项和为Sn(nN*)，则下列命题正确的是()A.若S3S11，则必有S140B.若S3S11，则S7是Sn中的最大项C.若S7S8，则必有S8S9D.若S7S8，则必有S6S9解析根据等差数列的性质，若S3S11，则S11S34(a7a8)0，则a7a80，S147(a7a8)0；根据Sn的图象，当S3S11时，对称轴是 7，且dS8，则a80，且d0，所以a90，所以S9S8S9；S9S6a7a8a93a8S9，所以ABCD都正确.
4、答案ABCD规律方法一般地，在等差数列an中，若a10，且SpSq(pq)，则若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大.【训练1】设等差数列an的前n项和为Sn，若S150，S160，S168(a8a9)0，a90，公差d0，0，0，0，0，S7S10，a1a2a80，所以0，所以最大的项是，即第8项.答案B题型二等差数列前n项和最值的计算【例2】设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知a2a51，S1575，Tn为数列的前n项和.(1)求Sn；(2)求Tn及Tn的最小值.解(1)设数列an的公差为d.依题意有解得Snna1d2n.(2)法一由(1)知Sn
5、，.设bn，则bn1bn，数列bn是公差为的等差数列，首项b1a12.又Tn为数列的前n项和，Tn2n.当n4或n5时，(Tn)min5.法二易知bn，由解得4n5.故Tn的最小值为T4T55.规律方法求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an0(an0)成立时最大的n即可.【训练2】已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.
6、(2)法一a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值.法二由(1)知a19，d20，n6时，an200，当1n13时，由Sn200，得12n13，当14n31时，日销售量连续下降，由an0，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求an还是求Sn？要特别注意弄清项数是多少.二、素养训练1.设an2n9，则当数列an的前n项和取得最小值时，n的值为()A.4 B.5 C.4或5 D.5或6解析由解得n，故n4.答案A2.设等差数列an的前n项和为
7、Sn，且S7S12，则()A.S9最大 B.S10最大C.S9与S10相等且最大 D.以上都不对解析由于不能明确公差的符号，所以S9与S10相等可能是最大值也可能是最小值.答案D3.若在数列an中，an433n，则当Sn取最大值时，n()A.13 B.14 C.15 D.14或15解析数列an中，an433n，a140，Sn是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n14.故选B.答案B4.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.
8、在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1()A.35 B.32 C.23 D.38解析由题意可知，九个儿子的年龄成公差d3的等差数列，且九项之和为207.故S99a1d9a1108207，解得a135.答案A5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.
9、从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a124，公差d.25辆翻斗车完成的工作量为a1a2a2525242512500，而需要完成的工作量为2420480.500480，在24小时内能构筑成第二道防线.基础达标一、选择题1.已知数列an满足an262n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()A.11或12 B.12C.13 D.12或13解析an262n，anan12，数列an为等差数
10、列.又a124，d2，Sn24n(2)n225n.nN*，当n12或13时，Sn最大.答案D2.若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和最大时，n的值为()A.6 B.7 C.8 D.9解析因为an1an3，所以数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，所以an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有所以即k.因为kN*，所以k7.故满足条件的n的值为7.答案B3.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问
11、：几日相逢？()A.4日 B.3日 C.5日 D.6日解析由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列an是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n日行程记为bn，则数列bn是首项为92，公差为1的等差数列，则an9715(n1)15n82，bn92(n1)93n.因为数列an的前n项和为，数列bn的前n项和为，840，整理得14n2364n1 6800，即n226n1200，解得n4(n30舍去)，即4日相逢.答案A4.设等差数列an的前n项和为Sn，nN*.若S120，S130，S130，a70，a6|a7|，且公差dS7S5，有下列四个命题：d0；S12S7，a7S5，a6a70，a60
12、，d0，正确.S12(a1a12)6(a6a7)0，不正确.Sn中最大项为S6，不正确.故正确的是.答案B二、填空题6.已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_.解析由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a90，2a112d0，a16d0，即a70，故S6S7且最小.答案6或77.若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a90，a90的n的最大值为15C.若S150，S160，则Sn中S8最大D.若S7S8，则S80，则a80，a90，S160，故使Sn0的n的最大值为15，B正确；对于C，若S150，S160，S168(a8a9)0，a90，故Sn中S8最大，故C正确；对于D，若S70，而S9S8a9，不能确定其符号，D错误.答案BC14.(多空题)已知an是等差数列，首项为a1，其公差d0，前n项和为Sn，设数列的前n项和为Tn.(1)若a14d，则当n_时，Tn有最大值；(2)若当且仅当n6时，Tn有最大值，则的取值范围是_.解析易知n，若a14d，则nd，由解得8n9.即n8或9时，Tn有最大值；若当且仅当n6时，Tn有最大值，则解得3.答案8或9
