1、6.7 不等式的综合问题知识梳理1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.点击双基1.（2004年湖北，5）若0，则下列不等式中，正确的不等式有a+bab |a|b| ab +2A.1个B.2个C.3个D.4个解析：0，ba0.故正确，错误.a、b同号且ab，、均为正.+2=2.故正确.正确的不等式有2个.答案：B2.（2004年福建，11）（理）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，5时，f（x）=2|x4|，则A.f（sin）f（cos）B.f（sin1）f（co
2、s1）C.f（cos）f（sin）D.f（cos2）f（sin2）解析：由f（x）=f（x+2），知T=2，又x3，5时，f（x）=2|x4|，可知当3x4时，f（x）=2+x.当4x5时，f（x）=6x.其图象如下图.故在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|sin2|，f（cos2）f（sin2）.答案：D（文）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x3，4时，f（x）=x2，则A.f（sin）f（cos）B.f（sin）f（cos）C.f（sin1）f（cos1）D.f（sin）f（cos）解析：仿理科分析.答案：C3.设M=a+（2a3），N=
3、log（x2+）（xR），那么M、N的大小关系是A.MNB.M=NC.MND.不能确定解析：由2a3，M=a+=（a2）+22+2=4（注意a1，a3），N=log（x2+）log=4M.答案：A4.对于0m4的m，不等式x2+mx4x+m3恒成立，则x的取值范围是_.解析：转化为m（x1）+x24x+30在0m4时恒成立.令f（m）=m（x1）+x24x+3.则x1或x3.答案：x3或x1典例剖析【例1】 已知f（x）=loga（a0，a1）.（1）判断f（x）在（1，+）上的单调性，并加以证明；（2）当x（r，a2）时，f（x）的值域为（1，+），求a与r的值；（3）若f（x）loga2x
4、，求x的取值范围.剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a1与0a1求解，同时要注意定义域.解：（1）任取1x1x2，则f（x2）f（x1）=logaloga=loga=loga.又x2x11，x1x2x2x1.0x1x2x2+x11x1x2x1+x21.01.当a1时，f（x2）f（x1）0，f（x）在（1，+）上是减函数；当0a1时，f（x2）f（x1）0，f（x）在（1，+）上是增函数.（2）由0得x（，1）（1，+）.=1+1，f（x）0.当a1时，x1f（x）0，x1f（x）（0，1）
5、，要使f（x）的值域是（1，+），只有x1.又f（x）在（1，+）上是减函数，f1（x）在（1，+）上也是减函数.f（x）11xf1（1）=.当0a1时，x1f（x）0，x1f（x）0，要使值域是（1，+），只有x1.又f（x）在（，1）上是增函数，f（x）11xf1（1）=.无解.综上，得a=2+，r=1.（3）由f（x）loga2x得当a1时，x且x1.1x.当0a1时，x.【例2】 已知抛物线y=ax21上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ
6、的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2x（1+b）=0.判别式=1+4a（1+b）0.由得x0=，y0=x0+b=+b.Ml，0=x0+y0=+b，即b=，代入解得a.解法二：设同解法一，由题意得将代入，并注意到a0，x1x20，得由二元均值不等式易得2（x12+x22）（x1+x2）2（x1x2）.将代入上式得2（+）（）2，解得a.解法三：同解法二，由，得y1y2=a（x1+x2）（x1x2）.x1x20，a（x1+x2）=1.x0=.M（x0，y0）l，y0+x0=0，即y0=x0=，从而PQ的中点M的坐标为（，）.M在抛物线内部，a（）2（
7、）10.解得a.（舍去a0，为什么?）思考讨论解法三中为何舍去a0?这是因为a0，中点M（x0，y0），x0=0，y0=0.又a0，y=ax210，矛盾.a0舍去.闯关训练夯实基础1.已知y=loga（2ax）在 0，1上是x的减函数，则a的取值范围是A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.2，+）解析：y=loga（2ax）在0，1上是关于x的减函数，1a2.答案：B2.如果对任意实数x，不等式|x+1|kx恒成立，则实数k的范围是_.解析：画出y1=|x+1|，y2=kx的图象，由图可看出0k1.答案：0k13.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数
8、的和最小，1=.解析：设+=1，a、bN*，则a=.a+b=+b+1，b9时，a+b=+b9+1016.=b9，即b=12取等号，此时a=4.b9无解.a=4，b=12.答案：4 124.已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足x1时，f（x）0；（2）f（）=1；（3）对任意的x、y（0，+），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5x）2的解集.解：需先研究y=f（x）的单调性，任取x1、x2（0，+）且x1x2，则1.f（x1）=f（x2）=f（）+f（x2），f（x1）f（x2）=f（）0.f（x）在（0，+）上为减函数.又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=
9、0.又f（1）=f（2）+f（）=f（2）+1=0.f（2）=1.f（4）=2f（2）=2.原不等式等价于解得x|0x1或4x5.5.设p=（log2x）2+（t2）log2xt+1，若t在区间2，2上变动时，p恒为正值，试求x的取值范围.解：p=（log2x1）t+（log2x）22log2x+1，t2，2时p恒为正值，解得1log2x3.2x8.培养能力6.（2004年江西九校联考三月）已知函数f（x）=+（x0）.（1）判断f（x）在（0，+）上的单调性，并证明；（2）解关于x的不等式f（x）0；（3）若f（x）+2x0在（0，+）上恒成立，求a的取值范围.解：（1）f（x）在（0，+）
10、上为减函数，（x）=0，f（x）在（0，+）上为减函数.（2）由f（x）0得+0，即0.当a0时，不等式解集为x|0x2a.当a0时，原不等式为0.解集为x|x0.（3）若f（x）+2x0在（0，+）上恒成立，即+2x0.+2x.+2x4，4.解得a0或a.7.已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、cR），不论、为何实数，恒有f（sin）0，f（2+cos）0.（1）求证：b+c=1；（2）求证：c3；（3）若函数f（sin）的最大值为8，求b、c的值.（1）证明：|sin|1且f（sin）0恒成立，可得f（1）0.又12+cos3且f（2+cos）0恒成立，可得f（1）0，f（1）=01
11、+b+c=0b+c=1.（2）证明：b+c=1b=1c，f（x）=x2（1+c）x+c=（x1）（xc）.xc0，即cx恒成立.c3.（3）解：f（sin）=sin2（1+c）sin+c=（sin）2+c（）2，当sin=1时，f（sin）的最大值为1b+c.由1b+c=8与bc=1联立可得b=4，c=3.8.设f（x）=x2bx+c，不等式f（x）0的解集是（1，3），若f（7+|t|）f（1+t2），求实数t的取值范围.解：f（x）0的解集是（1，3），a0，f（x）的对称轴是x=1，且ab=2.f（x）在1，+）上单调递增.又7+|t|7，1+t21，由f（7+|t|）f（1+t2），得
12、7+|t|1+t2.|t|2|t|60，解得3t3.探究创新9.有点难度哟！已知函数f（x）满足2axf（x）=2f（x）1，f（1）=1，设无穷数列an满足an+1=f（an）.（1）求函数f（x）的表达式；（2）若a1=3，从第几项起，数列an中的项满足anan+1；（3）若1+a1（m为常数且mN，m1），求最小自然数N，使得当nN时，总有0an1成立.解：（1）令x=1得2a=1，a=.f（x）=.（2）若a1=3，由a2=1，a3=，a4=，假设当n3时，0an1，则0an+1=12an0.从而an+1an=an=0an+1an.从第2项起，数列an满足anan+1.（3）当1+a1
13、时，a2=，得a2.同理，a3.假设an1.由an=与归纳假设知an对nN*都成立.当n=m时，am，即am2.am+1=0.0am+2=1.由（2）证明知若0an1，则0an+1=1.N=m+2，使得nN时总有0an1成立.思悟小结1.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程（组）解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等等有着密切的关系.2.不等式应用大致可分为两类：一类是
14、建立不等式参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.3.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.4.不等式应用的特点是：（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售、市场、信息”等，题目往往篇幅较长；（2）建立函数模型常见的有“正（反）比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，以及y=ax+（a0，b0）、y=ax2+、y=k（a+b）x（cax）（dbx）”的形式.5.解答不等式的实际应用问题，一般可分三个步骤：（1）阅读理解材料.应用题所用语言
15、多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方向.（2）建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.教师下载中心教学点睛1.在解不等式时，要注意函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用.2.加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习，在求最大（小）值时，有三个问题必须注意：第一，注意不等式成立的充分条件，即x0，y0（x+y2）；第二，注
16、意一定要出现积为定值或和为定值；第三，要注意等号成立的条件，若等号不成立，利用均值不等式x+y2不能求出最大（小）值.拓展题例【例1】 设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=，问是否存在a、b、cR，使得不等式x2+f（x）2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.解：由f（1）=，得a+b+c=.令x2+=2x2+2x+x=1.由f（x）2x2+2x+推得f（1），由f（x）x2+推得f（1），f（1）=.ab+c=.故a+c=且b=1.f（x）=ax2+x+a.依题意ax2+x+ax2+对一切xR都成立，a1且=14（a1）（2a）0.由a10得a=.f（x）=x2+x+1.证明
17、如下：x2+x+12x22x=x2x=（x+1）20.x2+x+12x2+2x+对xR都成立.存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式x2+f（x）2x2+2x+对一切xR都成立.【例2】 已知二次函数y=ax2+2bx+c，其中abc且a+b+c=0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：l2.证明：（1）由a+b+c=0得b=（a+c）.=（2b）24ac=4（a+c）24ac=4（a2+ac+c2）=4（a+）2+c20.故此函数图象与x轴交于相异的两点.（2）a+b+c=0且abc，a0，c0.由ab得a（a+c），2.由bc得（a+c）c，.2.l=|x1x2|=.由二次函数的性质知l（，2）.
