1、江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2021届高三数学上学期期中联考试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡指定的位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M1，3)，N(2，5，则MN( )A1，5B(2，3)C1，2)D(3，52已知i是虚数单位，设复数abi，其中a，bR，则ab的值为( )A
2、BCD3从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有( )A20种B50种C80种D100种4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”你的计算结果是( )A80里B86里C90里D96里5若正数a是一个不等于1的常数，则函数ylogax与函数yxa(x0)在同一个坐标系中的图象可能是( )BDyxyyyOOxOxxOAP(0,m)C6设a0.32.1，b2.10.3，clog0.32.1，dlog2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为( )Aab
3、cdBdcbaCbacdDbadc7在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y29及圆C内的一点P(1，2)，圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则()的值为( )A8B16C4D48设f(x)是定义在R上的函数，g(x)f(x1)若函数g(x)满足下列条件：g(x)是偶函数；g(x)在区间0，)上是增函数；g(x)有一个零点为2，则不等式(x1)f(x)0的解集是( )A(3，)B(1，)C(，1)(1，)D(，1)(3，)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得
4、3分9在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2my220表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是( )A(1，)B(，0)C(，)D(0，)10若将函数yAsin(x)的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，最后得到函数ysin(x)的图象，则实数的值可能是( )ABCD11设a0，b0，且a2b4，则下列结论正确的是( )A的最小值为B的最小值为2C的最小值为D112设常数aR，nN*，对于二项式(1a)n的展开式，下列结论中，正确的是( )A若a，则各项系数随着项数增加而减小 B若各项系数随着项数增加而增大，则anC若a2，n1
5、0，则第7项的系数最大 D若a，n7，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分把答案填在答题卡中相应的横线上13在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点若弦AB的长为6，则实数m的值为_14今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是_元(四舍五入，精确到整数)BAC(第15题)3015数学家研究发现，对于任意的xR，sinxx(1)n1(nN*)，称为正弦
6、函数的泰勒展开式在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sinx的近似值ABCDEFGH(第16题）如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角BAC30o，气球的视角2o，则该气球的高BC约为_米（精确到1米）16如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，ABDC，HGDE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为_四、解答题：本题共6小题；共70分将解答写在答题卡中相应的空白处解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设函数f(x)4cos2x4sinxcosx1(
7、1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c若f(A)1，a1，求ABC周长的取值范围18(本小题满分12分)阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系an1an1，an1an2，Sn2an1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的处，使问题完整，并解答你构造的问题（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列an的前n项和为Sn，a11，对任意的nN*，都有；等比数列bn中，对任意的nN*，都有bn0，2bn2bn13bn，且b11，问：是否存在kN*，使得：对任意的nN*，都有anbkakbn？若存在，试
8、求出k的值；若不存在，试说明理由PBCDAM（第19题）19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是侧棱PC的中点，AM平面PBD(1)求PA的长；(2)求棱PC与平面AMD所成角的正弦值20（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示未感冒感冒使用血清173未使用血清146(1)从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；(2)是否有把握得出“使用该种血
9、清能预防感冒”的结论？请说明理由附：对于两个研究对象（有两类取值：类A，类B）和（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个22列联表：类1类2类Aab类Bcd有 2，其中nabcd临界值表（部分）为P(2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821（本小题满分12分）设M是定义在R上且满足下列条件的函数f(x)构成的集合：方程f(x)x0有实数解；函数f(x)的导数f (x)满足0f (x)1(1)试判断函数f(x)是否集合M的元素，并说明理
10、由；(2)若集合M中的元素f(x)具有下面的性质：对于任意的区间m，n，都存在x0m，n，使得等式f(n)f(m)(nm)f (x0)成立，证明：方程f(x)x0有唯一实数解(3)设x1是方程f(x)x0的实数解，求证：对于函数f(x)任意的x2，x3R，当|x2x1|1，|x3x1|1时，有|f(x3)f(x2)|222（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4(1)求椭圆E的方程；(2)若过点P(0，m)存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围南京市三校2020-2021学年度第
11、一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名考生号等填写在答题卡指定的位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M1，3)，N(2，5，则MN(B)A1，5B(2，3)C1，2)D(3，52已知i是虚数单位，设复数abi，其中a，bR，则ab的值为(D)ABCD3从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂
12、做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有(B)A20种B50种C80种D100种4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”你的计算结果是(D)A80里B86里C90里D96里5若正数a是一个不等于1的常数，则函数ylogax与函数yxa(x0)在同一个坐标系中的图象可能是(C)BDyxyyyOOxOxxOAP(0,m)C6设a0.32.1，b2.10.3，clog0.32.1，dlog2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为(C)AabcdBdcbaCbacdDbadc7在平面直角
13、坐标系xOy中，已知圆C：x2y29及圆C内的一点P(1，2)，圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则()的值为(B)A8B16C4D48设f(x)是定义在R上的函数，g(x)f(x1)若函数g(x)满足下列条件：g(x)是偶函数；g(x)在区间0，)上是增函数；g(x)有一个零点为2，则不等式(x1)f(x)0的解集是(A)A(3，)B(1，)C(，1)(1，)D(，1)(3，)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2
14、my220表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是(AB)A(1，)B(，0)C(，)D(0，)10若将函数yAsin(x)的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，最后得到函数ysin(x)的图象，则实数的值可能是(AC)ABCD11设a0，b0，且a2b4，则下列结论正确的是(CD)A的最小值为B的最小值为2C的最小值为D112设常数aR，nN*，对于二项式(1a)n的展开式，下列结论中，正确的是(BCD)A若a，则各项系数随着项数增加而减小B若各项系数随着项数增加而增大，则anC若a2，n10，则第7项的系数最大D若a，n7，则
15、所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分把答案填在答题卡中相应的横线上13在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点若弦AB的长为6，则实数m的值为14今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元(四舍五入，精确到整数)BAC(第15题)3015数学家研究发现，对于任意的xR，sinxx(1)n1(nN*)，称为正弦函数的泰勒展开式在精度要求不高的情况下，对于
16、给定的实数x，可以用这个展开式来求sinx的近似值如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角BAC30o，气球的视角2o，则该气球的高BC约为米（精确到1米）ABCDEFGH(第16题）16如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，ABDC，HGDE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为四、解答题：本题共6小题；共70分将解答写在答题卡中相应的空白处解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设函数f(x)4cos2x4sinxcosx1(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角A
17、BC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c若f(A)1，a1，求ABC周长的取值范围解：(1)因为 f(x)42sin2x12cos2x2sin2x214cos(2x)21 2分所以f(x)的最小正周期为T 3分因为1cos(2x)1，所以324cos(2x)2152所以，函数f(x)的值域为区间32，52 4分(2)由f(A)1，得cos(2A)因为A为锐角，所以2A，所以2A，即A5分因为ABC，所以CB由正弦定理，得bsinB，csinCsin sin(B)，所以 abc1sinBsin(B)1(sinBcosBsinB)1(sinBcosB)12sin(B) 7分因为ABC为锐角三
18、角形，所以0B，0C，即解得B 8分所以B，所以 sin(B)1，即112sin(B)3所以ABC周长的取值范围为区间(1，310分18(本小题满分12分)阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系an1an1，an1an2，Sn2an1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的处，使问题完整，并解答你构造的问题（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列an的前n项和为Sn，a11，对任意的nN*，都有；等比数列bn中，对任意的nN*，都有bn0，2bn2bn13bn，且b11，问：是否存在kN*，使得：对任意的nN*，都有anbkakbn？若存在，试求出
19、k的值；若不存在，试说明理由解 设等比数列bn的公比为q因为对任意的nN*，都有2bn2bn13bn，所以2q2q3，解得q1或 2分因为对任意的nN*，都有bn0，所以q0，从而q又b11，所以bn 5分显然，对任意的nN*，bn0所以，存在kN*，使得：对任意的nN*，都有anbkakbn，即记cn，nN*下面分别就选择作为条件进行研究因为对任意的nN*，都有an1an1，即an12(an2)又a11，即a1210，所以an20，从而，所以数列an2是等比数列，公比为，得an2，即an28分所以cn，从而由12n2 n1，得：c1c2，当n1时，cn1cn，10分所以，当n1或2时，cn取
20、得最大值，即取得最大值所以对任意的nN*，都有，即anb1a1bn，anb2a2bn，所以存在k1，2，使得：对任意的nN*，都有anbkakbn12分因为对任意的nN*，都有an1an2，即an1an2，所以数列an是等差数列，公差为2又a11，所以an12(n1)2n1 8分所以cn(2n1)0，从而由12n5 n，得：当n2时，cn1cn；当n3时，cn1cn，10分所以，当n3时，cn取得最大值，即取得最大值所以对任意的nN*，都有，即anb3a3bn所以存在k3，使得：对任意的nN*，都有anbkakbn12分因为对任意的nN*，都有Sn2an1，所以Sn12an11，从而an1Sn
21、1Sn2an11（2an1）2an12an，即an12an又a110，所以an0，且2，从而数列an是等比数列，公比为2，得an2n18分所以cn0，从而1，所以cn1cn，10分所以，当n1时，cn取得最大值，即取得最大值所以对任意的nN*，都有，即anb1a1bn所以存在k1，使得：对任意的nN*，都有anbkakbn12分PBCDAM（第19题）19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是侧棱PC的中点，AM平面PBD(1)求PA的长；(2)求棱PC与平面AMD所成角的正弦值解 方法一：设PAa在四棱锥PABCD中，因为
22、底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，2分则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a) PBCDAMxyz因为M是侧棱PC的中点，所以M的坐标为(，)，所以(，)，(1，1，0)，(1，0，a)(1)因为AM平面PBD，即平面PBD，所以 0 所以 0，解得a1所以 PA1 6分(2)设平面AMD的法向量为n（x，y，z）因为(0，1，0)，(，)，由得即取z1，得x1，从而得到平面AMD的一个法向量n(1，0，1)8分又(1，1，1)，所以cosn，1
23、0分设PC与平面AMD所成角的为，则sin| cosn，|因此，PC与平面AMD所成角的正弦值为12分方法二：(1)设PAa连结AC，交BD于点O连结PO，与AM交于点G在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以ACBD，O是AC的中点，所以AOPBMAGDOCN因为PA底面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC所以PC，PO因为M是侧棱PC的中点，所以AMPC因为AM平面PBD，PO平面PBD，所以AMPO，即AGOG又AM，PO分别是PAC的两条中线，所以G是PAC的重心所以 AGAM，OGPO在AOG中，由AG2OG2AO2，得(a22)(a2)，解得 a1即 PA
24、1 6分(2)取侧棱PB的中点N，连结MN，AN由(1)知，PAAB，所以ANPB由M是侧棱PC的中点，得MNBC因为BCAD，所以MNAD，即M，N，A，D四点共面 8分因为PA底面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD又在正方形ABCD中，有ADAB，而AB平面PAB，PA平面PAB，且ABPAA，所以AD平面PAB又PB平面PAB，所以AD平面PB 因为AN平面AMD，AD平面AMD，且ANADA，所以PB平面AMD，即PN平面AMD所以PMN就是PB与平面AMD所成的角 10分因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB因为PAAB1，所以PB，即PN由(1)知PMPC所以s
25、inPMN因此，PC与平面AMD所成角的正弦值为 12分20（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示未感冒感冒使用血清173未使用血清146(1)从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；(2)有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由附：对于两个研究对象（有两类取值：类A，类B）和（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个22列联表：类1类2类Aab类Bcd有 2，其中nabcd临界
26、值表（部分）为P(2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 （1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X，则随机变量X的可能值为0，1，2，3因为 P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，4分6分所以随机变量X的分布列为X0123P（2）将题中所给的22列联表进行整理，得未感冒感冒总数使用血清17320未使用血清14620总数31940提出假设H0：是
27、否使用该种血清与感冒没有关系 8分根据2公式，求得21.29039分因为当H0成立时，“20.708”的概率约为0.40，“21.323”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75% 10分由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒 12分注：（1）概率错一个扣1分，没有写成分布列（或表）扣1分；（2）结论分两个方面，少一个扣1分21（本小题满分12分）设M是定义在R上且满足下列条件的函数f(x)构成的集合：方程f(x)x0
28、有实数解；函数f(x)的导数f (x)满足0f (x)1(1)试判断函数f(x)是否集合M的元素，并说明理由；(2)若集合M中的元素f(x)具有下面的性质：对于任意的区间m，n，都存在x0m，n，使得等式f(n)f(m)(nm)f (x0)成立，证明：方程f(x)x0有唯一实数解(3)设x1是方程f(x)x0的实数解，求证：对于函数f(x)任意的x2，x3R，当|x2x1|1，|x3x1|1时，有|f(x3)f(x2)|2解：(1)函数f(x)是集合M中的元素理由如下：方程f(x)x0，即0显然x0是方程0的实数解，因此，方程f(x)x0有实数解 2分由于f (x)，又1cosx1，即，所以0
29、f (x)1综上，函数f(x)是集合M中的元素 4分(2)（反证法）由条件知方程f(x)x0有实数解 5分假设方程f(x)x0有两个不相等的实数解，不妨设，则f()，f()由函数f(x)的性质知，存在x0，使得f()f()()f (x0)，即()f (x0)又由条件知0f (x0)1，所以0，即，这与矛盾因此，方程f(x)x0有唯一实数解 8分(3)对任意的x2，x3R，当|x2x1|1，且|x3x1|1时，不妨设x2x3，则x11x2x3x11因为0f (x)1，所以f(x)在R上是增函数，所以f(x2)f(x3) 10分令g(x)f(x)x，则g(x)f (x)10，所以g(x)f(x)x
30、是R上的减函数，所以g(x2)g(x3)，即f(x2)x2f(x3)x3，所以0f(x3)f(x2)x3x2(x11)(x11)2 11分因此，对任意的x2，x3R，当|x2x1|1，且|x3x1|1时，有|f(x3)f(x2)|212分22（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4(1)求椭圆E的方程；(2)若过点P(0，m)存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围(1)解：因为椭圆E与双曲线C：1有共同的中心和准线，所以设椭圆E的方程为1(ab0)令c，由题知，得a23c，b23
31、cc2 2分由双曲线C的方程1得双曲线C的渐近线的方程为yx根据对称性，不妨设椭圆E与渐近线yx的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，整理得x2所以 |x1x2|2，所以 AB|x1x2|4由 44， 得 c211c80，解得 c或，所以椭圆E的方程为1或1 4分(2)方法一：对于椭圆E：1(ab0)，设过点P(0，m)的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k，方程为ykxmxyOP(0，m)由消去y，整理得()x210由 ()24()(1)4()0，得 k2 6分当k0时，同理得()2，即7分当0，即|m|a时，满足的k存在，所以|m|a满足条件 8分当0，即|m|a时，满足的k存
32、在01，即a|m|9分当k0时，0，即|m|a，满足条件 10分综上，|m|，即m的取值范围是区间， 11分若椭圆C的方程为1，则实数m的取值范围是区间，；若椭圆C的方程为1，则实数m的取值范围是区间， 12分方法二：对于椭圆E：1(ab0)，设过点P(0，m)的两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x轴；反之亦然由平面几何知识知道：ma，a满足条件 7分当|m|a时，设其中一条的斜率k，显然k0不满足条件，所以k0，那么另一条的斜率为xyOP(0，m)设其中一条直线的方程为ykxm由消去y，整理得()x210由 ()24()(1)4()0，得 k2
33、 8分同理，得()2，即 9分因为0，所以，满足的k存在01，即a|m|10分综上，|m|，即m的取值范围是区间， 11分若椭圆C的方程为1，则实数m的取值范围是区间，；若椭圆C的方程为1，则实数m的取值范围是区间， 12分方法三 对于椭圆E：1(ab0)，由于点P(0，m)在椭圆E的长轴所在的y轴上，所以，当点P在椭圆E的长轴上，即|m|a时，显然满足条件 7分当点P不在椭圆E的长轴上，即|m|a时，根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E的过点P(0，m)的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点 8分当椭圆存在过点P的两条互相垂直的切线时，PQ与y轴的夹角为45，从而与x轴的夹角也为45 9分设一条切线的方程为yxmxyOP(0，m)由消去y，整理得()x210由 ()24()(1)0，得 0，解得 m 10分由椭圆的平面几何性质知道，当a|m|时，满足条件综上，m的取值范围是区间， 11分若椭圆C的方程为1，则实数m的取值范围是区间，；若椭圆C的方程为1，则实数m的取值范围是区间，12分注：第（2）题没有分类讨论，酌情给分，但得分不能超过3分
