1、12024 年新高考新结构题型数学选填压轴好题汇编 03一、单选题1(2024广东一模)已知函数 h x的定义域为 R，且满足 h x+1+h x-1=2,h 2-x是偶函数，h 2=0，若 n Z，则103n=-103h(n)=()A.202B.204C.206D.208【答案】C【解析】因为 h x+1+h x-1=2，所以 h x+2+h x=2，即有 h x+4+h x+2=2，由得到 h x+4=h x，所以函数 h x的周期为 4，又 h 2-x是偶函数，所以 h 2+x=h(2-x)，得到 h(x)=h(4-x)=h(-x)，即函数 h x为偶函数，又由 h x+2+h x=2，
2、得到 h 1+h 3=2，h 2+h 4=2，h 0+h 2=2，又 h 2=0，所以 h 0=2，故103n=-103h(n)=2103n=1h(n)+h(0)=2 25 4+h(0)+2(h(1)+h(2)+h(3)=206，故选：C.2(2024高三湖南阶段练习)设方程 2x log2x=1 的两根为 x1，x2 x1 x2，则()A.0 x1 2B.x1 1x2C.0 x1x2 3【答案】C【解析】由题意得，0 x1 0，则 f 1=-12 0，f12=1-12 0，由 f12 f 1 0，f 1 f 2 0 得 x112,1，x2 1,2，故 A 错；由 log2x2-12x2=lo
3、g2x1-12x1=0，得 log2x2-log2x1=12x2-12x1，由 x112,1，x2 1,2，得 log2x2+log2x1=12x2-12x1 0，即 log2x1x2 0，所以 0 x1x2 1，故 C 对，B 错，由 x112,1，x2 1,2，所以 x1+x2 b 0)与双曲线 x2m2-y2n2=1(m 0,n 0)有共同的2焦点 F1，F2，且在第一象限内相交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2若 F1PF2=3，则 e1 e2的最小值是A.12B.22C.32D.32【答案】C【解析】设共同的焦点为(-c,0)，(c,0)，设 PF1=s，PF2=t，运
4、用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值设共同的焦点为(-c,0)，(c,0)，设 PF1=s，PF2=t，由椭圆和双曲线的定义可得 s+t=2a，s-t=2m，解得 s=a+m，t=a-m，在 PF1F2中，F1PF2=3，可得 F1F22=PF12+PF22-2 PF1 PF2 cosF1PF2，即为 4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2，即有 a2c2+3m2c2=4，即为 1e21+3e22=4，由 1e21+3e22 23e21e22，可得 e1 e232，当且仅当 e2=3e1时，取得最小值32，故选 C4(202
5、4高三湖南长沙阶段练习)求值：2cos40+cos80sin80=()A.3B.33C.-3D.-33【答案】A【解析】2cos40+cos80sin80=2cos 120-80+cos80sin80=2 cos120cos80+sin120sin80+cos80sin80=3sin80sin80=3.故选：A.5(2024陕西安康二模)宋代理学家周敦颐的太极图和太极图说是象数和义理结合的表达朱子语类卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致定义：对于函数 f x，若存在圆 C，使得 f x的图象能将圆 C 的周长和面积
6、同时平分，则称 f x是圆 C 的太极函数下列说法正确的是()对于任意一个圆，其太极函数有无数个3 f x=log 12 2x+1+12 x 是 x2+y+12=1 的太极函数太极函数的图象必是中心对称图形存在一个圆 C，f x=sinx+cosx 是它的太极函数A.B.C.D.【答案】A【解析】对于：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故正确对于：f-x=log 12 2-x+1-12 x=log 121+2x2x-12 x，f x-f-x=log 122x+12x+12x+x=-x+x=0，所以 f x关于 y 轴对称，不是太极函数，故错误；对于：
7、中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故错误；对于：曲线 f x=sinx+cosx=2sin x+4存在对称中心，所以必是某圆的太极函数，故正确故选：A6 已知定义在 0,1 上的函数 f(x)满足：f(0)=f(1)=0；对所有 x,y 0,1，且 x y，有 f(x)-f(y)12 x-y.若对所有 x,y 0,1，f(x)-f(y)k，则 k 的最小值为A.12B.14C.12D.18【答案】B【解析】不妨令 0 x y 1，则 f x-f y 12 x-y法一：2 f x-f y=f x-f 0+f x-f y-f y-f
8、1 f x-f 0+f x-f y+f y-f 1 12 x-0+12 x-y+12 y-1=12 x+12 y-x+12 y-1=12，即得 f x-f y 14，另一方面，当 u 0,12时，f x=ux,0 x 12-u 1-x,12 x 1，符合题意，当 u 12 时，f12-f 0=u2 14，故 k 14法二：当 x-y 12 时，f x-f y 12 时，f x-f y=f x-f 0-f y-f 1 f x-f 1+f y-f 0 12 x-1+12 y-0=12 1-x+12 y=12+12 y-x 0，且 tan 4=1=2tan 81-tan2 8，所以有 x2+2x-1
9、=0，解得 x=-1+2 或 x=-1-2(舍去)，即 x=tan 8=-1+2，由两角和的正切公式有 tan +8=tan+x1-x tan=3+-1+21-3-1+2=2+2 4+3 24-3 2 4+3 2=-7+5 2，所以 tan +8-1tan +8=-7+5 2+17+5 2=-7+5 2+7-5 27+5 2 7-5 2=-7-5 2+5 2-7=-14.故选：B.10(2024高三江苏镇江开学考试)已知过坐标原点 O 且异于坐标轴的直线交椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)于 P,M 两点，Q 为 OP 中点，过 Q 作 x 轴垂线，垂足为 B，直线 MB 交椭圆于另一
10、点 N，直线 PM,PN的斜率分别为 k1,k2，若 k1k2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.63【答案】D【解析】如图所示：设 P m,n，则 M-m,-n,Q m2,n2,B m2,0，而 kMN kPN=yN+nxN+m yN-nxN-m=y2N-n2x2N-m2=b2a2 a2-x2N-b2a2 a2-m2x2N-m2=-b2a2，又因为 kPM kPN=-12，所以 kPMkMN=nmnm2+m=32=a22b2，解得 b2a2=13，所以椭圆离心率为 e=ca=1-b2a2=63.故选：D.11(2024高三江苏南京开学考试)斜率为 12 的直线 l 经过双
11、曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左焦点 F1，与双曲线左，右两支分别交于 A，B 两点，以双曲线右焦点 F2为圆心的圆经过 A，B，则该双曲线的离心率为()6A.2B.3C.5D.153【答案】D【解析】取 AB 的中点 M，连接 MF2，由题意可知：AF2=BF2，则 MF2 AB，设 AF1=m 0，则 AF2-AF1=2a，即 BF2=AF2=m+2a，因为 BF1-BF2=2a，则 BF1=BF2+2a=m+4a，可得 AM=12 AB=2a，MF1=AF2=m+2a，又因为直线 AB 的斜率为 12，即 tanAF1F2=12，且 AF2F1为锐角，则sinAF1F2
12、cosAF1F2=12sin2AF1F2+cos2AF1F2=1，可得sinAF1F2=55cosAF1F2=2 55或sinAF1F2=-55cosAF1F2=-2 55(舍去)，则 MF2=F1F2sinAF1F2=2 5c5,MF1=F1F2cosAF1F2=4 5c5，且 MF22+AM2=AF22，即 4a2+2 5c52=4 5c52，整理得 c2=53 a2，所以双曲线的离心率 e=c2a2=153.故选：D.1.焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来12(2024高三湖南长沙阶段练习)双曲线 C:x29-y216=
13、1 的右支上一点 P 在第一象限，F1，F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，I 为 PF1F2的内心，若内切圆 I 的半径为 1，则 PF1F2的面积等于()A.24B.12C.323D.163【答案】C【解析】由双曲线 C:x29-y216=1 的 a=3，b=4，c=5，设圆与三角形三边相切于点 M,N,Q,则 PF1-PF2=PM+MF1-QF2-PQ=MF1-QF2=NF1-NF2=2a，又 NF1+NF2=2c，所以 NF1=a+c=8,NF2=c-a=2，因此 IN x 轴，因此 NF1=a+c=8,NF2=c-a=2,IN=1,I(3,1)，tanIF1N=INNF1=18,ta
14、nIF2N=INNF2=12,所以 tan 12 F2PF1=tan 2-IF1N-IF2N=sin 2-IF1N-IF2Ncos 2-IF1N-IF2N=1tan IF1N+IF2N=1-12 1812+18=32=IMPMPM=23,PF1=23+8=263,因此 PF2=PF1-2a=83,故三角形的面积为 12PF1+PF2+F1F2 1=323 故选：C713(2024高三江苏无锡开学考试)已知函数 f x=x-1,x 22 x-32-1,x 2，若方程 f f x=12 的实根个数为()A.4B.8C.10D.12【答案】C【解析】因为 f x=x-1,x 22 x-32-1,x
15、2，则 f12=12，f32=12，f 2=1，f 4=1，令 2 x-32-1=12x 2，解得 x=3-32 或 x=3+32，又在同一平面直角坐标系中画出 y=f x与 y=12 的图象，由图象观察可知 y=f x与 y=12 有 4 个交点，不妨设为 x1,x2,x3,x4且 x1 x2 x3 x4，则 0 x1=12 1 x2=32 2 x3 3 x4 4，当 f f x=12 时，由 f x=x1，0 x1=12 1，则存在 4 个不同实根，由 f x=x2，1 x2=32 2，则存在 2 个不同实根，由 f x=x3，2 x3 3，则存在 2 个不同实根，由 f x=x4，3 x
16、4 4，则存在 2 个不同实根，综上 f f x=12 的实根个数为 10故选：C14(2024陕西咸阳模拟预测)已知圆 C1:x-32+y2=r2(0 r 4)与圆 C2:x+32+y2=4-r2交点的轨迹为 M，过平面内的点 P 作轨迹 M 的两条互相垂直的切线，则点 P 的轨迹方程为()A.x2+y2=5B.x2+y2=4C.x2+y2=3D.x2+y2=52【答案】A【解析】圆 C1:x-32+y2=r2(0 r b cB.c a bC.a c bD.b c a【答案】B【解析】构建 f x=xlnx,x e，则 f x=lnx-1lnx2 0 在 e,+内恒成立，可知 f x在 e,
17、+内单调递增，因为 a=2ln =ln,c=2ln2=4ln4，可知 f 4 f f e=e，即 c a e；构建 g x=x-sinx,x 0，则 g x=1-cosx 0 在 0,+内恒成立，可知 g x在 0,+内单调递增，则 g x g 0=0，即 x sinx,x 0，可得 1e sin 1e，且 e 0，则 e e2 sin 1e，即 e b；综上所述：c a b.故选：B.20(2024高三重庆阶段练习)将分别标有数字 1，2，3，4，5 的五个小球放入 A，B，C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字 1 和 2 的小球放入同一个盒子，且 A
18、盒子中只放一个小球，则不同的放法数为()A.28B.24C.18D.1211【答案】C【解析】第一种情况，将五个小球按 1，1，3 分为三组，则安排的方法有 C13C12A22=12 种；第二种情况，将五个小球按 1，2，2 分为三组，则安排的方法有 C13C12=6 种.不同的放法数为 18.故选：C.二、多选题21(2024高三广东阶段练习)已知 O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点，点 P 4,4，直线 l：x=my+1 交抛物线 C 于 A，B 两点(不与 P 点重合)，则以下说法正确的是()A.FA 1B.存在实数 m，使得 AOB 1，即 A 错误；联立直线 x
19、=my+1 和抛物线 C:y2=4x 方程得 y2-4my-4=0；所以 y1y2=-4，x1x2=y124 y224=1，此时 OA OB=OAOBcosAOB=x1x2+y1y2=-3 0，所以 cosAOB 2，所以不存在实数 m，使得 AOB 2，故 B 错误；若 AF=2FB，由几何关系可得 y1=-2y2，结合 y1y2=-4，可得 y2=2 或 y2=-2，即 B 12,2或B 12,-2，将 B 点坐标代入直线方程可得 m=24，所以 C 正确；若直线 PA 与 PB 的倾斜角互补，则 kPA+kPB=0，即 y1-4x1-4+y2-4x2-4=0，整理得 2my1y2-(4m
20、+3)(y1+y2)+24=0，代入 y1y2=-4，y1+y2=4m 解得 m=-2 或 m=34，12当 m=34 时，直线过点 P 4,4，A 与 P 点重合，不符合题意，所以 m=-2；即 D 正确.故选：CD22(2024广东一模)将圆柱 O1O2的下底面圆 O1置于球 O 的一个水平截面内，恰好使得 O1与水平截面圆的圆心重合，圆柱 O1O2的上底面圆 O2的圆周始终与球 O 的内壁相接(球心 O 在圆柱 O1O2内部)已知球 O 的半径为 3，OO1=32 若 R 为上底面圆 O2的圆周上任意一点，设 RO 与圆柱 O1O2的下底面所成的角为，圆柱 O1O2的体积为 V，则()A
21、.可以取到 0,2中的任意一个值B.V=272 cos2 1+2sinC.V 的值可以是任意小的正数D.Vmax=814【答案】BD【解析】过 R 作圆柱 O1O2的轴截面 PQRS，过 O 作 MN O1O2交圆柱轴截面的边于 M，N，由 RO 与圆柱的下底面所成的角为，则 OM=3cos,MR=3sin，所以 V=OM 2 QR=(3cos)2OO1+3sin=272 cos2(1+2sin)，即 V=272 cos2(1+2sin)=2721-sin2(1+2sin)，故 B 正确；当点 P，Q 均在球面上时，角 取得最小值，此时 OO1=OO2=32，所以 =6，所以 a 6,2，故
22、A 错误；令 sina=t 12,1，所以 V=2721-t2(1+2t)=272-2t3-t2+2t+1，所以 V=272-6t2-2t+2，另-6t2-2t+2=0，解得两根 t1=-1-132,t2=-1+132，所以 V=272-6t2-2t+2)272-6 122-2 12+2=-274 0 时，令 u x=ex-x-1，求导得 u x=ex-1 0，函数 u x在 0,+上递增，当 x 2时，u x e2-3 1，而 y=x+1 在 0,+上递增，值域为 1,+，因此当 x 2 时，f x x+1，则 f x无最大值，B 正确；对于 C，f x=x+2ex-2x-2，令 g x=x
23、+2ex-2x-2，求导得 g x=x+3ex-2，当 x 0 时，令 h x=x+3ex-2，则 h x=x+4ex 0，即 g x=h x在 0,+上递增，g x g 0=1 0，则 f x=g x在 0,+上递增，f x f 0=0，因此 f x在 0,+上递增，即 f x在 1,+上单调递增，C 正确；对于 D，当-1 x 0 时，x=ex-2x+2x+2，求导得 x=ex-2(x+2)2，显然函数 x在-1,0上递增，而 -1=1e-2 0，则存在 x0-1,0，使得 x0=0，当 x x0,0时，x 0，函数 x在 x0,0上单调递增，则 x 0=0，即当 x x0,0时，ex 2
24、x+2x+2，则 f x=x+2ex-2x-2 0，又 f 0=0，因此 x=0 为 f x的一个极小值点，D 正确.故选：BCD25(2024高三山东济南期末)已知函数 f x的定义域为 R，且 f x+y=f x+f y+1，f 1=0，则()A.f 0=-1B.f x有最小值C.f 2024=2023D.f x+1 是奇函数【答案】ACD【解析】对于 A 中，令 x=y=0，可得 f 0=-1，所以 A 正确；对于 B 中，令 x=x1,y=x2-x1，且 x1 0 时，f x-1 时，f x2-f x1 0，此时函数 f x为单调递增函数；若 x 0 时，f x-1 时，f x2-f
25、x13作双曲线的切线交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，则()A.平面上点 B 4,1,AF2+AB的最小值为37-2 3B.直线 MN 的方程为 xx0-3yy0=3C.过点 F1作 F1H AM，垂足为 H，则 OH=2(O 为坐标原点)D.四边形 AF1NF2面积的最小值为 4【答案】ABD【解析】对于 A，由双曲线定义得 AF1-AF2=2a=2 3，且 F1-2,0，则 AF2+AB=AF1+AB-2 3 BF1-2 3=4-22+1-2 3=37-2 3，所以 AF2+AB的最小值为37-2 3.故 A 正确；对于 B，设直线 MN 的方程为 y-y0=k x-x0，k 33，
26、联立方程组 y-y0=k x-x0 x2-3y2=3，消去 y 整理得，1-3k2x2+6k2x0-6ky0 x-3k2x20+6kx0y0-3y20-3=0，=0，化简整理得 9y20k2-6x0y0k+x20=0，解得 k=x03y0，可得直线 MN 的方程为 y-y0=x03y0 x-x0，即 x0 x-3y0y=3，故 B 正确；对于 C，由双曲线的光学性质可知，AM 平分 F1AF2，延长 F1H 与 AF2的延长线交于点 E，则 AH 垂直平分 F1E，即 AF1=AE，H 为 F1E 的中点，又 O 是 F1F2中点，所以 OH=12 F2E=12AE-AF2=12AF1-AF2
27、=a=3，故 C 错误；对于 D，由直线 MN 的方程为 x0 x-3y0y=3，令 x=0，得 y=-1y0，则 N 0,-1y0，SAF1NF2=SAF1F2+SNF1F2=12 F1F2y0+1y0 12 4 2y01y0=4，当且仅当 y0=1y0，即 y0=1 时等号成立，所以四边形 AF1NF2面积的最小值为 4，故 D 项正确.故选：ABD.27(2024高三浙江杭州专题练习)数列 an满足 an+1=14 an-63+6(n=1,2,3)，则()A.当 a1=3 时，an为递减数列，且存在 M R，使 an M 恒成立B.当 a1=5 时，an为递增数列，且存在 M 6，使 a
28、n M 恒成立D.当 a1=9 时，an递增数列，且存在 M R，使 an M 恒成立【答案】BC【解析】由题意可知 an+1-6=14 an-63，16 a2-6=14 a1-63,a3-6=14 a2-63=1414 a1-633=14 143 a1-632，归纳猜想：an-6=141+3+32+3n-2 a1-63n-1=141-3n-11-3a1-63n-1=223n-1 a1-63n-1，A：当 a1=3 时，an-6=-2 323n-1，则 an为递减数列，无边界，故 A 错误；B：当 a1=5 时，an-6=-2 123n-1，则 an为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，
29、当 n 时，an 6，故存在 M 6，使 an M 恒成立，故 C 正确；D：当 a1=9 时，an-6=2 323n-1，则 an为递增数列，无边界，故 D 错误；故选：BC.28(2024高三吉林阶段练习)在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵 ABC-A1B1C1中，P 是 BB1的中点，AA1=AC=BC=2，若平面 过点 P，且与 AC1平行，则()A.异面直线 AC1与 CP 所成角的余弦值为1010B.三棱锥 C1-ACP 的体积是该“堑堵”体积的 13C.当平面 截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于 3 32D.当平面 截棱柱的截面图形为
30、直角梯形时，该图形的面积等于 2 2【答案】ABC【解析】对于 A，由题可知 AC,CB,CC1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A 2,0,0,C1 0,0,2,C 0,0,0,P 0,2,1，所以 AC1=-2,0,2,CP=0,2,1，17所以 cos AC1,CP=AC1 CPAC1 CP=28 5=1010，所以异面直线 AC1与 CP 所成角的余弦值为1010，故 A 正确；对于 B，VC1-ACP=VP-C1CA=13 SC1CA 2=43，VABC-A1B1C1=12 2 2 2=4，所以 B 正确；对于 C，如图，E，F，G 分别为 AA1,A1C1,C1B1的中点，则 E
31、F AC1，FG A1B1,FG=12 A1B1，A1B1 PE,A1B1=PE，EF=FG=GP=2，PE=2 2，所以 FG PE,FG=12 PE，P,E,F,G 共面，又 EF AC1，AC1 平面 PEFG，EF 平面 PEFG，所以 AC1 平面 PEFG，则四边形 PEFG 为平面 截棱柱的截面图形，所以四边形 PEFG 是等腰梯形，且高为62，当 E 不是 AA1中点时，PE 不平行平面 A1B1C1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，SPEFG=12 2+2 262=3 32，所以 C 正确；对于 D，如图，Q,R,S 分别为 AB,AC,CC1的中点，则 RS AC1
32、，QR BC,QR=12 BC，BC PS,BC=PS，QR=1,RS=2,PS=2，所以 QR PS,QR=12 PS，同理可得四边形 PQRS 为平面 截棱柱的截面图形，由题可知 CB AC,CB CC1,AC CC1=C,AC 平面 ACC1A1，CC1 平面 ACC1A1，所以 BC 平面 ACC1A1，所以 PS 平面 ACC1A1，又 RS 平面 ACC1A1，所以 PS RS，故四边形 PQRS 是直角梯形，当 S 不是 CC1中点时，PS 不平行平面 ABC，则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为 S=12 1+22=322，故 D 错误.18故选：ABC.29(20
33、24高三湖南株洲期末)已知点 A(-2,0),B(2,0),N(0,-2)动点 M 满足直线 AM 和 BM 的斜率之积为-12，记点 M 的轨迹为曲线 C，过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点，点 P 在第一象限，PE x轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G，则()A.曲线 C 的方程为：x24+y22=1B.PQG 为直角三角形C.PAN 面积最大值为 2D.PQG 面积最大值为 169【答案】BD【解析】对 A：设 M(x,y)，则yx+2 yx-2=-12，化简得：x24+y22=1(x 2)，故 A 错误；对 B：设 P x0,y0，G x1,y1，Q-x0,-y0
34、,E x0,0，则 kPQ=y0 x0=k 0，kQE=y02x0=k2，kQGkGP=y1+y0 x1+x0y1-y0 x1-x0=y21-y20 x21-x20，x214+y212=1，x204+y202=1，kQGkGP=2-x212-2-x202x21-x20=-12=k2 kGP，则 kGP=-1k，则 kGP kPQ=-1,QPG=90，故 B 正确；对 C：与直线 AN 平行且与曲线 C 相切且切点在第一象限的切线方程为 y=-22 x+m m 0，联立y=-22 x+mx24+y22=1得 x2-2mx+m2-2=0，由 =2m2-4 m2-2=0 得 m=2，切线为 y=-2
35、2 x+2，两平行直线的距离为 d=2 2+422+22=(2+2)63，此时 PAN 面积最大，最大值为 12 6 (2+2)63=2+2，故 C 错误；对 D：设直线 PQ 得方程为 y=kx(k 0)，y=kxx2+2y2=4，解得x0=22k2+1y0=2k2k2+1，则直线 PG：y=-1k x-x0+y0=-1k x+k2+1kx0，联立直线 PG 与曲线 C 的方程可得 2+k2x2-4x0 k2+1x+2x20 k2+12-4=0，则 x0+xG=4x0 k2+1k2+2，SPQG=12 y0 x0+xG=8 k2+1kk2+22k2+1=8 k+1kk+2k2k+1k=8 k
36、+1k2 k+1k2+1，令 t=k+1k 2，则 SPQG=8t2t2+1=82t+22t，y=2t+22t 在 2t 2,+，即 t 22,+上单调递增，故 y=2t+22t 4+24=92，即 SPQG=82t+22t 169，当且仅当 k=1 时等号成立，故 D 正确，故选：BD30(2024高三江苏镇江开学考试)正方体 A1B1C1D1-ABCD 的 8 个顶点中的 4 个不共面顶点可以确定一个四面体，所有这些四面体构成集合 V，则()19A.V 中元素的个数为 58B.V 中每个四面体的体积值构成集合 S，则 S 中的元素个数为 2C.V 中每个四面体的外接球构成集合 O，则 O
37、中只有 1 个元素D.V 中不存在四个表面都是直角三角形的四面体【答案】ABC【解析】正方体 A1B1C1D1-ABCD 的 8 个顶点中任取 4 个，共有 C48=70 种情况，其中四点共面的有六个表面和六个对角面共 12 种情况，不构成四面体，所以 V 中元素的个数为 58，A 选项正确；四面体的体积有以下两种情况：第一种情况如下图所示，四面体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体 D1-B1AC，若正方体棱长为 a，则四面体体积为 a3-4 13 12 a a a=13 a3，第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，如四面体 B1-ABC，若正方
38、体棱长为 a，则四面体体积为 13 12 a a a=16 a3，所以 V 中每个四面体的体积值构成集合 S，则 S 中的元素个数为 2，B 选项正确；每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，O 中只有 1 个元素，C 选项正确；如下图，四面体 B1-ABD 的每个面都是直角三角形，D 选项错误.故选：ABC31(2024高三江苏镇江开学考试)已知函数 f x=sinx+cos2x，则下列说法正确的是()20A.2 是 f x的一个周期B.f x的最小值是-2C.存在唯一实数 a 0,2，使得 f x+a是偶函数D.f x在 0,上有 3 个极大值点【答案】ACD【解析】对于 A，f x+2=
39、sin x+2+cos2 x+2=sinx+cos2x=f x，所以 2 是 f x的一个周期；对于 B，f x=sinx+cos2x sinx-1-2，故 B 错误；对于 C，若 f a+x=f a-x，则 f a+2=f a-2，即 cosa+cos2a=-cosa+cos2a，所以 cosa=0，又 a 0,2，所以 a=2，经检验符合题意，故 C 正确；对于 D，设 p x=sinx+cos2x,q x=sinx-cos2x，则 p x=cosx-2sin2x,q x=cosx+2sin2x，令 m x=p x,n x=q x，则 m x=-sinx-4cos2x 在 0,4,34,上
40、的函数值小于 0，n x=-sinx+4cos2x 在4,34上的函数值小于 0，故所有上面的极值点都是极大值点，同时，p 0=1 0 22-2=p 4,q 4=2+22 0-22-2=q 34，p 34=-22+2 0-1=p，所以 f x在 0,4,4,34,34,上各有一个极大值点，从而有三个极大值点，故 D 正确.故选：ACD.32(2024高三江苏南京开学考试)如图，该几何体是由正方形 ABCD 沿直线 AB 旋转 90 得到的，已知点 G 是圆弧 CE的中点，点 H 是圆弧 DF上的动点(含端点)，则下列结论正确的是()A.不存在点 H，使得 CH 平面 BDGB.存在点 H，使得
41、平面 AHE 平面 BDGC.存在点 H，使得直线 EH 与平面 BDG 的所成角的余弦值为73D.不存在点 H，使得平面 BDG 与平面 CEH 的夹角的余弦值为 13【答案】BCD【解析】由题意，可将几何体补全为一个正方体 ADMF-BCNE，建立空间直角坐标系，如图所示，21设正方体棱长为 2，则 A(0,0,0),B 0,0,2,C 2,0,2,D 2,0,0，G2,2,2,E 0,2,2,F 0,2,0，设 H 2cos,2sin,00 2.对于 A 选项，假设存在点 H，使得 CH 平面 BDG，因为 CH=2cos-2,2sin,-2，DB=-2,0,2，BG=2,2,0，则 C
42、H DB=4-4cos-4=0CH BG=2 2 cos-1+2 2sin=0，可得 sin=1cos=0，因为 0 2，则 =2，即当点 H 与点 F 重合时，CH 平面 BDG，故 A 选项错误；对于 B 选项，由 A 选项可知，平面 BDG 的一个法向量为 FC=2,-2,2，假设存在点 H，使得平面 AHE 平面 BDG，则 FC AH,FC AE，AH=2cos,2sin,0，AE=0,2,2，则 FC AH=4cos-4sin=0FC AE=-4+4=0，可得 tan=1，又因为 0 2，解得 =4，即当点 H 为 DF的中点时，平面 AHE 平面 BDG，故 B 选项正确；对于
43、C 选项，若存在点 H，使得直线 EH 与平面 BDG 所成角的余弦值为73，则直线 EH 与平面 BDG 所成角的正弦值为1-732=23，EH=2cos,2sin-2,-2，所以 cosEH,FC=EH FCEH FC=4cos-4sin2 3 4cos2+4 sin-12+4=cos-sin3 3-2sin=23，整理可得 3sin2-4sin+3=0，因为函数 f=3sin2-4sin+3 在 0,2时的图象是连续的，且 f 0=3 0，f2=-4+3=-1 0，所以存在 0 0,2，使得 f=0，所以，存在点 H，使得直线 EH 与平面 BDG 所成角的余弦值为73，C 选项正确；对
44、于 D 选项，设平面 CEH 的法向量为 n=x,y,z，CE=-2,2,0,CH=2cos-2,2sin,-2，则 n CE=-2x+2y=0n CH=2x cos-1+2ysin-2z=0，取 x=1，则 y=1,z=sin+cos-1，可得 n=1,1,sin+cos-1，假设存在点 H，使得平面 BDG 与平面 CEH 的夹角的余弦值为 13，则 cosn,FC=n FCn FC=2 sin+cos-12+(sin+cos-1)2 2 3=13，可得 sin+cos-12=1，即 sin+cos-1=1 可得 sin+cos=0 或 sin+cos=2，因为 0,2，则 4 +4 34
45、 则22 sin +4 1，所以 sin+cos=2sin +41,2，故当 0,2时，方程 sin+cos=0 和 sin+cos=2 均无解，综上所述，不存在点 H，使得平面 BDG 与平面 CEH 的夹角的余弦值为 13，故 D 选项正确.故选：BCD2233(2024高三江苏无锡开学考试)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 BC 上的动点，F 为棱 B1B 的中点，则下列选项正确的是()A.直线 A1D1与直线 EF 相交B.当 E 为棱 BC 上的中点时，则点 E 在平面 AD1F 的射影是点 FC.不存在点 E，使得直线 AD1与直线 EF 所成角为 30D.三
46、棱锥 E-ADF 的体积为定值【答案】CD【解析】A：由题意知，A1D1 B1C1，B1C1 平面 B1C1CB，A1D1 平面 B1C1CB所以 A1D1 平面 B1C1CB，又 EF 平面 B1C1CB，所以 A1D1与 EF 不相交，故 A 错误；B：连接 AD1、D1F、AF、AE、CB1，如图，当点 E 为 BC 的中点时，EF CB1，又 AD1 CB1，所以 EF AD1，若点 E 在平面 AD1F 的射影为 F，则 EF 平面 AD1F，垂足为 F，所以 EF AF，设正方体的棱长为 2，则 AE=AF=5，EF=2，在 AEF 中，AF 2+EF 2 AE 2，所以 AFE
47、90，即 EF AF 不成立，故 B 错误；C：建立如图空间直角坐标系 D-xyz，连接 BC1，则 AD1 BC1，所以异面直线 EF 与 AD1所成角为直线 EF 与 BC1所成角，设正方体的棱长为 2，若存在点 E(a,2,0)(0 a 2)使得 EF 与 BC1所成角为 30，则 B(2,2,0)，F(2,2,1)，C1(0,2,2)，所以 EF=(2-a,0,1)，BC1=(-2,0,2)，23所以 EF BC1=2a-2，又 EF BC1=EFBC1cos30，得 2a-2=2 2(2-a)2+1 32，解得 a=4 3，不符合题意，故不存在点 E 使得 EF 与 AD1所成角为
48、30，故 C 正确；D：如图，由等体积法可知 VE-ADF=VF-ADE，又 VF-ADE=13 SADE BF=13 12 AD AB BF，AD、AB、BF 为定值，所以 VF-ADE为定值，所以三棱锥 E-ADF 的体积为定值，故 D 正确.故选：CD.34(2024全国一模)设 a 为常数，f(0)=12,f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)，则()A.f(a)=12B.f(x)=12 成立C.f(x+y)=2f(x)f(y)D.满足条件的 f(x)不止一个【答案】ABC【解析】f(0)=12,f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)对 A：对原式令
49、 x=y=0，则 12=12 f a+12 f a=f a，即 f a=12，故 A 正确；对 B：对原式令 y=0，则 f x=f xf a+f 0f a-x=12 f x+12 f a-x，故 f x=f a-x，对原式令 x=y，则 f 2x=f xf y+f yf x=2f xf y=2f2 x 0，故 f x非负；对原式令 y=a-x，则 f a=f2 x+f2 a-x=2f2 x=12，解得 f x=12，又 f x非负，故可得 f x=12，故 B 正确；对 C：由 B 分析可得：f x+y=2f xf y，故 C 正确；对 D：由 B 分析可得：满足条件的 f x只有一个，故
50、D 错误.故选：ABC.35(2024高三河北保定开学考试)如图，在三棱锥 P-ABC 中，ACD=60,2AC=BC=PB=PC，平面 PBC 平面 ABC,D 是 BC 的中点，PD=4 3，则()A.三棱锥 P-ABC 的体积为 32 33B.PA 与底面 ABC 所成的角为 4C.PA=8D.三棱锥 P-ACD 的外接球的表面积为 2083【答案】CD【解析】因为 BC=PB=PC，则三角形 PBC 为等边三角形，又 D 是 BC 的中点，PD=4 3，所以 BC=PB=PC=8，所以 AC=4，在 ACD 中，AC=CD=4，ACD=60，24则三角形 ACD 为等边三角形，对于 A
51、：因为平面 PBC 平面 ABC，且 PD BC，平面 PBC 平面 ABC=BC，PD 面 PBC，所以 PD 平面 ABC，则 VP-ABC=13 4 3 12 4 4 32 2=32，A 错误；对于 B：因为 PD 平面 ABC，所以 PAD 为 PA 与底面 ABC 所成的角，则 tanPAD=PDAD=4 34=3，所以 PAD=3，B 错误；对于 C：PA=PD2+DA2=4 32+42=8，C 正确；对于 D：设三棱锥 P-ACD 的外接球半径为 R，ACD 的外接圆半径为 r，则 2r=4sin60=432=83，所以 r=43，则 R2=r2+PD22=432+2 32=52
52、3，则外接球表面积为 4R2=2083，D 正确.故选：CD.36(2024高三河北保定开学考试)已知 f x+1是奇函数，f x的图象关于直线 x=-1 对称，则下列结论正确的为()A.f x是周期为 4 的周期函数B.f x-5为偶函数C.f x的图象关于点-3,0对称D.f 5=0【答案】BCD【解析】由题知 f x+1为奇函数，所以有 f x+1+f-x+1=0，所以 f x关于 1,0对称，即有 f-x+f 2+x=0，因为 f x的图象关于直线 x=-1 对称，所以 f-x=f-2+x，将带入可得 f-2+x+f 2+x=0，将 x 换为 2+x 带入上式有：f x+f x+4=0
53、，再将 x 换为 x+4 带入上式有：f x+4+f x+8=0，可得：f x=f x+8，所以 f x是周期为 8 的函数，同时，由知 f x+4=-f x，故选项 A 错误；关于选项 B，由 A 知 f x关于 x=-1 对称且周期为 8，所以 f x-5=f-x+3=f-x-5，所以 f x-5为偶函数，故选项 B 正确；关于 C，f x-3=f-x+1=-f x+1=-f-x-3，所以 f x的图象关于点-3,0对称，故选项 C 正确；因为 f x+1+f-x+1=0，取 x=0 可得 f 1=0，所以 f 5=f-3=f 1=0，故选项 D 正确.故选：BCD.37(2024高三山西
54、晋城开学考试)设函数 f x的定义域为 R，且满足 f x+2+f x=0，f-x+f x=0，当 x 0,1时，f x=xlnx，则()25A.f x是周期为 4 的函数B.f 2024=0C.f x的取值范围为-2e,2eD.ef x=1 在区间 0,20232内恰有 1011 个实数解【答案】ABD【解析】因为 f x+2+f x=0，所以 f x+4+f x+2=0，所以 f x+4=f x，故 f x是周期为 4 的函数，故 A 正确.故 f 2024=f 4 506=f(0)，而 f-x+f x=0，故 f x为 R 上的奇函数，故 f 0=0，故 f 2024=0，故 B 正确.
55、当 x 0,1时，f x=xlnx，则 f x=1+lnx，当 x 0,1e时，f x 0，故 f x在 0,1e上为减函数，在1e,1上为增函数，而 x 0 时，f x 0，f1e=-1e，f 1=0，故 f x在 0,1上的值域为-1e,0，而 f x+2+f x=0，即 f x+2=f-x，故 f x的图象关于 x=1 对称，故 f x在 1,2的值域为-1e,0，而 f 2+f 0=0，故 f 2=0，故 f x在 0,2的值域为-1e,0，根据 f x为奇函数可得 f x在-2,2的值域为-1e,1e，故 f x在 R 上的值域为-1e,1e，故 C 错误.令 g x=f x，故 g
56、 x+2=f x+2=-f x=f x，故 f x为周期函数且周期为 2.当 x 0,1时，f x=xlnx=-xlnx，此时 0-xlnx 1e，当且仅当 x=1e 时，-xlnx=1e 即 f x=1e，故当 x 1,2时，x-1 0,1，故 f x=f 2-x=(2-x)ln(2-x)=-(2-x)ln(2-x)，此时 0-2-xln 2-x 1e，当且仅当 x=2-1e 时，-2-xln 2-x=1e 即 f x=1e，因 f 0=f 2=0，故在 0,2上，f x=1e 有且只有 2 个不同的实数解 1e,2-1e，且这两个实数解在 0,2内，故在 0,1010上共有 1010 个不
57、同的实数解，且它们在 0,1010内，考虑 0,32上 f x=1e 的解的个数，因为 1e 0,32，2-1e 0,32，结合 f x的周期可得 f x=1e 在 1010,20232上有且只有两个不同的实数解，26故 ef x=1 在 0,20232上共有 1011 个不同的实数解，故 D 正确.故选：ABD.38(2024高三山西晋城开学考试)已知函数 f x=x-1ex+kx，其导函数为 f x，且 f 1=1，记g x=xf x，则下列说法正确的是()A.f x 0 恒成立B.函数 g x的极小值为 0C.若函数 y=g x-m 在其定义域内有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是
58、 0,1D.对任意的 x1,x2 2,+，都有 f x1+x22 f x1+f x22【答案】CD【解析】由函数 f x=x-1ex+kx，因为 f 1=1，可得 k=1，所以 f x=x-1ex+1x，对于 A 中，由 f x=x2-x+1ex-1x2，因为 f-2=7e-2-14 0 不恒成立，所以 A 不正确；对于 B 中，由 g x=xf x=x-1ex+1,x 0，可得 g x=xex,x 0，其中 g 0无意义，所以 g x的极小值一定不为 0，所以 B 错误；对于 C 中，由 g x=xex,x 0，当 x 0 时，可得 g x 0 时，可得 g x 0，所以函数 g x在(-,
59、0)上单调递减，在在(0,+)上单调递增，且当 x-时，g x 1，当 x 0 时，g x 0，当 x 时，g x+，函数 g x的图象，如图所示，结合图象得，当 0 m 0,x 2，设 h x=f x=x2-x+1ex-1x2,x 2，可得 h x=ex(x-1)x+2+2x3 0，所以 h x 0，h x单调递增，即 f x单调递增，所以 f x为单调递增函数，且 f x单调递增函数，且 f 2=e2+12，所以函数 f x的图像，如图所示，函数图象为凸函数，所以 f x1+x22 f x1+f x22，当且仅当 x1=x2时，等号成立，所以 D 正确.故选：CD39(2024高三山西阶段
60、练习)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB=60，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD 平面 ABCD，则()27A.AD PBB.在棱 PB 上存在点 M，使得 AM 平面 PBCC.平面 PAD 与平面 PBC 的交线平行于平面 ABCDD.C 到平面 PBD 的距离为155【答案】AC【解析】对 A，如图所示，取 AD 中点 H，连接 PH,BH，因为底面 ABCD 是菱形，DAB=60，则 ABD 为三角形，又因为侧面 PAD 为正三角形，则 BA=BD,PA=PD，则 AD PH,AD BH，又 PH BH=H,PH,BH 平面 PBH，
61、所以 AD 平面 PBH，因为 PB 平面 PBH，所以 AD PB，故 A 正确;对 B，假设在棱 PB 上存在点 M，使得 AM 平面 PBC，因为 PB 平面 PBC，则 AM PB，因为 PA=AB，所以 M 为 PB 的中点，连接 HM，因为 AD 平面 PBH，HM 平面 PBH，则 HM AD，所以 HAM 为锐角，AM 与 AD 不垂直，因为 AD BC，则 AM 与 BC 不垂直，因为 BC 平面 PBC，这与 AM 平面 PBC 矛盾，所以不存在这样的点 M，使得 AM 平面 PBC，故 B 错误；对 C，因为底面 ABCD 为菱形，所以 AD BC，又 BC 平面 PBC
62、,AD 平面 PBC，所以 AD 平面 PBC.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l，因为 AD 平面 PAD，AD 平面 PBC，平面 PAD 平面 PBC=l，所以 AD l.又因为 l 平面 ABCD,AD 平面 ABCD，所以 l 平面 ABCD，故 C 正确；因为平面 PAD 平面 ABCD，PH AD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，PH 平面 ABCD，所以 PH 平面 ABCD，所以 PH 为三棱锥 P-BCD 的高，因为 ABD 和 PAD 为等边三角形，则 BD=2，BH=PH=3，因为 PH 平面 ABCD，BH 平面 ABCD，则 PH BH，则 PB=6，
63、所以 SPBD=12 6 22-622=152，设 C 到平面 PBD 的距离为 d，则由 VP-BCD=VC-PBD得 13 12 2 3 3=13 152 d，解得 d=2 155，故 D 错误.故选：AC.2840(2024高三山西阶段练习)已知定义域为 R 的函数 f x的导函数为 f x，若函数 f 4x+1和 fx+2均为偶函数，且 f 2=-1,f 1=1，则()A.2023i=1f i=-1B.2024i=1f i=0C.2023i=1f i=2023D.2024i=1f i=0【答案】AB【解析】因为 f 4x+1为偶函数，则 f 4x+1=f-4x+1，即 f x+1=f-
64、x+1，可知 f x关于 x=1 对称，又因为 f x+2为偶函数，则 f x+2=f-x+2，可知 f x关于 x=2 对称，且 f x+1=f-x+1，则 f x+1=-f-x+1，即 f x=-f-x+2，可得 f x关于点 1,0对称，且 f x=-f x+2，则 f x=-f x+2=-f x+4=f x+4，可知 4 为 f x的周期，由 f x=-f-x+2，可得 f 1=-f 1，即 f 1=0，则 f 1=-f 3=0,f 2=-f 4=-1，即 f 1+f 2+f 3+f 4=0，所以2023i=1f i=f 1+f 2+f 3=-1，2024i=1f i=0，故 AB 正
65、确；因为 f x=f x+4，则 f x+c=f x+4+c，即 f x=f x+4，可知 4 为 f x的周期，又因为 f x+2=f-x+2，则 f x+2=-f-x+2+2c，即 f x+2+f-x+2=2c，可知 f x关于点 2,c对称，但没有充分条件求 f 2，故无法求 CD 选项的值，故 CD 错误；故选：AB.41(2024高三重庆阶段练习)如图，已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点分别为 F1-3,0,F2 3,0，点 A 在 C 上，点 B 在 y 轴上，A,F2,B 三点共线，若直线 BF1的斜率为3，直线 AF1的斜率为-5 311，则()
66、29A.C 的渐近线方程为 y=2xB.C 的离心率为 32C.AB=16D.ABF1的面积为 16 3【答案】BC【解析】依题意，直线 BF1的斜率为3,所以 BF1F2=3，又 BF1=BF2，所以 BF1F2为等边三角形，故BF1=BF2=F1F2=2c=6,BF2F1=3.在 AF1F2中，tanF2F1A=5 311 0,F2F1A 为锐角，sinF2F1A=5 314,cosF2F1A=1114所以 sinA=sin 23+F2F1A=3 314，根据正弦定理可得F1F2sinA=AF1sinF1F2A=AF2sinF2F1A，解得 AF1=14,AF2=10，所以 2a=4，即
67、a=2,b=c2-a2=5，所以 C 的渐近线方程为 y=52 x,C 的离心率为 ca=32,AB=BF2+AF2=16,ABF1的面积为 12 F1F2BF2sin 3+12 F1F2AF2sin 3=12 F1F2BAsin 3=12 6 16 sin 3=24 3故选：BC.三、填空题42(2024浙江模拟预测)已知平面向量 a、b、c、e，满足 a b，a=2 b，c=a+b，e=1，若 a2-6a e+8=0，则 c e-13 c2的最大值是.【答案】3 10-76【解析】因为 a2-6a e+8=0，即 a2-6a e+9e2=1，可得 a-3e=1，设 e=1,0，a=x,y，
68、则 a-3e=x-3,y，则 x-32+y2=1，设 x=3+cosy=sin，则 a=3+cos,sin，因为 a b，a=2 b，则 b=-sin2,3+cos2或 b=sin2,-3+cos2，因为 c=a+b，则 c=3+cos-sin2,32+sin+cos2或 c=3+cos+sin2,-32+sin-cos2，令 c=m,n，则 m-32+n-322=54 或 m-32+n+322=54，根据对称性，可只考虑 m-32+n-322=54，由 c e-13 c2=m-13 m2+n2=-13m-322+n2+34，记点 A 3,32、B 32,0、P m,n，则 AB=3-322+
69、322=3 22，PA=1，所以，PB=PA+AB PA-AB=3 2-52，当且仅当点 M 为线段 AB 与圆 x-32+y-322=54 的交点时，等号成立，所以，c e-13 c2=-13m-322+n2+34=-13 PB2+34-13 3 2-522+3430=3 10-76.故答案为：3 10-76.43(2024高三山东菏泽开学考试)已知 cos +=-13，cos+cos=1，则 cos -2cos +2=，sin +sin+sin=.【答案】12/0.523【解析】由 cos +=-13 得 2cos2 +2-1=-13，则 cos2 +2=13，因为 cos x+y=cos
70、xcosy-sinxsiny,cos x-y=cosxcosy+sinxsiny，所以 cos x+y+cos x-y=2cosxcosy，令 x+y=,x-y=,则 x=+2,y=-2，所以 cos+cos=2cos -2cos +2=1，则 cos -2cos +2=12，所以 cos -2=32 cos +2，因为 sin x+y=sinxcosy+cosxsiny,sin x-y=sinxcosy-cosxsiny,，所以 sin x+y+sin x-y=2sinxcosy，令 x+y=,x-y=,则 x=+2,y=-2，所以 sin+sin=2sin +2cos -2，又因为 sin
71、 +=2sin +2cos +2，sin +sin+sin=2sin +2cos +22sin +2cos -2=cos +2cos -2=23.故答案为:12;23.44 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角 ABC 外接圆的半径为 2，且三条圆弧沿 ABC 三边翻折后交于点 P.若 AB=3，则 sinPAC=；若 AC:AB:BC=6:5:4，则 PA+PB+PC 的值为.31【答案】74234/5
72、.75【解析】设外接圆半径为 R，则 R=2，由正弦定理，可知ABsinACB=3sinACB=2R=4，即 sinACB=34，由于 ACB 是锐角，故 cosACB=74，又由题意可知 P 为三角形 ABC 的垂心，即 AP BC,故 PAC=2-ACB，所以 sinPAC=cosACB=74；设 CAB=,CBA=,ACB=，则 PAC=2-,PBA=2-,PAB=2-，由于 AC:AB:BC=6:5:4，不妨假设 AC=6,AB=5,BC=4，由余弦定理知 cos=62+52-422 6 5=34,cos=42+52-622 4 5=18,cos=42+62-522 4 6=916，设
73、 AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于 ECB+EBC=2,PCD+CPD=2 ,故 EBC=CPD,则得 APC=-CPD=-EBC=-ABC，所以PCsin 2-=PAsin 2-=ACsinAPC=ACsinABC=2R=4，同理可得PBsin 2-=ABsinAPB=ABsinACB=2R=4，所以 PA+PB+PC=4 cos+cos+cos=4 34+18+916=234,故答案为：74；23445(2024高三上海宝山期中)如图，画一个正三角形，不画第三边；接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；，这样无限画下去，形成
74、一条无穷伸展的等边折线设第 n 条线段与第 n+1 条线段所夹的角为 n n N*,n 0,，则 2022=【答案】174.46【解析】第一条线段与第二条线段所夹的角 1=60，由此类推，2=90，3=90，4=108，5=108，6=108，7=120，8=120，9=120，9=120，观察规律，三角形会有 1 个相等的角，并且角的度数恰好是其内角的度数，正方形有 2 个 90，正五边形有 3 个 108，正六边形有 4 个 120，n 多边形有 n-2 个 180 n-2n又观察图形得：正三角形画 2 条线段，正方形画 2 条线段，正五边形画 3 条线段，正六边形画 4 条线段，32，正
75、 n 边形画 n-2 条线段；画到正 n 多边形时，画线段的条数为 m=2+2+3+4+n-2=2+n n-32，当 n=65 时，m=2017；当 n=66 时，m=2081 第 2022 条线段应在正 65 边形中，2022=180 6365 174.46故答案为：174.46.46(2024全国模拟预测)已知圆锥 SO 的母线 SA=5，侧面积为 15，则圆锥 SO 的内切球半径为；若正四面体 A1-B1C1D1能在圆锥 SO 内任意转动，则正四面体 A1-B1C1D1的最大棱长为【答案】326【解析】如图，在圆锥 SO 中，设圆锥母线长为 l，底面圆半径为 r，因为侧面积为 15，所以
76、 rl=15，即 rl=15因为 l=SA=5，所以 r=3，所以 SO=52-32=4棱长为 a 的正四面体 A1-B1C1D1如图所示，则正方体的棱长为22 a，体对角线长为62 a，所以棱长为 a 的正四面体 A1-B1C1D1的外接球半径为64 a取轴截面 SAB，设 SAB 内切圆的半径为 r，则 12 4 6=12 6+5+5r，解得 r=32，即圆锥 SO 的内切球半径为 32 因为正四面体 A1-B1C1D1能在圆锥 SO 内任意转动，所以64 a 32，即 a 6，所以正四面体 A1-B1C1D1的最大棱长为6故答案为：32；647(2024四川资阳模拟预测)若函数 f x=
77、ex+cosx+a-1x 存在最小值，则 a 的取值范围是【答案】-,1【解析】注意到，当 a=1 时，f x=ex+cosx，由于 ex 0，-1 cosx 1，显然 f xmin-1，没有最小值；当 a 1 时，ex+cosx-1 且无限接近-1，y=a-1x 为增函数，则 x-，ex+cosx+a-1x-，x+，ex+cosx+a-1x+，此时没有最小值；当 a 1 时，y=a-1x 为减函数，则 x-，ex+cosx+a-1x+，x+，由于 y=ex增长变化速度远大于 y=a-1x 减少速度，33此时 ex+cosx+a-1x+，由于函数定义域为 R,函数连续不断，所以 f x=ex+
78、cosx+a-1x 存在最小值故答案为：-,148(2024高三山东青岛期中)已知四边形 ABCD，Fn n N*为边 BC 边上一点，连接 AFn交 BD 于En n N*，点 En满足 2 1+anEnFn-EnC=an+1-2EnB，其中 an是首项为 1 的正项数列，BC=nBFn，则 n的前 n 项 Tn=.【答案】2n+3-4n-8【解析】因为 2 1+anEnFn-EnC=an+1-2EnB，所以 EnC=2 1+anEnFn+2-an+1EnB，因为 B,Fn,C 三点共线，所以 2(1+an)+(2-an+1)=1，所以 an+1+3=2(an+3)，因为 a1+3=4，所以
79、 an+3是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an+3=4 2n-1=2n+1，所以 an=2n+1-3，因为 BC=n BFn，所以 EnC-EnB=n(EnFn-EnB)，所以 EnC=n EnFn+(1-n)EnB，因为 EnC=2 1+anEnFn+2-an+1EnB，所以 n=2(1+an)1-n=2-an+1因为 an=2n+1-3，所以 n=2(1+2n+1-3)=2n+2-4，所以 Tn=23+24+2n+2-4n=8(1-2n)1-2-4n=2n+3-4n-8，故答案为：2n+3-4n-849(2024高三江苏苏州阶段练习)过抛物线 y2=6x 的焦点 F 的直线交
80、抛物线于 A,B 两点，C 在抛物线的准线上，则 ACB 的最大值为；若 ACB 为等边三角形，则其边长为.【答案】9018【解析】抛物线 y2=6x 的准线为：x=-32，令点 A,B 到直线 x=-32 的距离分别为 dA,dB，弦 AB 中点 M 到直线 x=-32 的距离为 d，由抛物线定义知，d=dA+dB2=|AF|+|BF|2=12|AB|，因此，以 AB 为直径的圆与准线相切于点 N，即直线 x=-32 上除点 N 外，其余各点都在以 AB 为直径的圆外，由圆的性质知，当点 C 与点 N 重合时，ACB 是直角，当点 C 与点 N 不重合时，ACB 是锐角，所以 ACB 的最大
81、值是 90；若 ABC 为正三角形，F32,0，设直线 AB：x=ky+32，34点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，弦 AB 中点 M(x0,y0)，由 x=ky+32y2=6x消去 x 并整理得：y2-6ky-9=0，则 y1+y2=6k，y1y2=-9，x1+x2=k y1+y2+3=6k2+3，其中 y0=y1+y22=3k，x0=x1+x22=3k2+32，AB=x1+x2+p=6k2+6，显然，k 0，直线 CM：y-3k=-k x-3k2-32，且准线为 x=-32，得点 C-32,6k+3k3，由 CM=32AB，得 3k2+32+3k+3k32=34 6k2+62，解得
82、k2=2，则 AB=18，所以正三角形边长为 18.故答案为：90；18.50(2024高三江苏镇江开学考试)如果函数 f x在区间 a,b上为增函数，则记为 f(x)a,b，函数f x在区间 a,b上为减函数，则记为 f(x)a,b已知 x+4xm,3，则实数 m 的最小值为；函数f x=2x3-3ax2+12x+1，且 f(x)1,2,f(x)2,3，则实数 a=【答案】23【解析】对于第一空：由题意 g x=x+4x 在 m,3上单调递增，首先有 0 m 0 时，g x=x+4x 的单调递增区间为 2,+，所以 2 m x2 2，则 h x1-h x2=1x1+x1-1x2-x2=x1-
83、x2x1x2-1x1x2，因为 x1 x2 2，所以 h x1-h x2 0，所以 h x在 2,+上单调递增，所以 x 2,+时，t 52,+，设 g t=t2-mt+2m2-8，所以 t 52,+时 g t=t2-mt+2m2-8=0 有解，当 m2 52 即 m 5 时，g t=t2-mt+2m2-8 在 t 52,+上单调递增，所以 g 52=522-52 m+2m2-8 0，解得-12 m 74；当 m2 52 即 m 5 时，g t=t2-mt+2m2-8 在 t 52,m2上单调递减，在 t m2,+上单调递增，所以 g m2=m22-12 m2+2m2-8 0，解得-4 147
84、 m 5，所以不存在符合条件的 m.综上可得-12 m 74，所以实数 m 的最大值与最小值之差为 74-12=94.故答案为：9455(2024高三河北保定开学考试)已知平面向量 a,b 是非零向量，2a-b 2a+b，向量 b 在向量 a 方向上的投影向量为-a，则 a b|a|2=；向量 a,b 的夹角为.【答案】-123【解析】因为 2a-b 2a+b，所以 2a-b 2a+b=4a2-b2=0，即 b=2 a，又向量 b 在向量 a 方向上的投影向量为 a ba aa=a 2 acos a,ba aa=2cos a,b a=-a，所以 cos a,b=-12，又 a,b 0,，所以
85、a,b=23，所以 a ba2=a 2 acos a,ba2=2 -12=-1.故答案为：-1；23.56(2024全国高考真题)如图在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是37【答案】(6-2，6+2)【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在 BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得BCsinE=BEsinC，即2sin30o=BEsin75o，解得 BE=6+2，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB 交于 F，在 BCF 中，B=BFC=75，
86、FCB=30，由正弦定理知，BFsinFCB=BCsinBFC，即BFsin30o=2sin75o，解得 BF=6-2，所以 AB 的取值范围为(6-2，6+2).考点：正余弦定理；数形结合思想57(2024高三山西阶段练习)锐角 ABC 的内角 A 的对边为 a，若 ABC 的面积是 a2，则sinAcosBcosC 的最小值是【答案】8【解析】作 AD BC 于 D，则 12 a AD=a2，所以 AD=2a.设 BD=xa，则 DC=a-xa，因为 ABC 是锐角三角形，所以 0 xa a0 a-xa a，解得 0 x 0，又 tanB=2axa=2x,tanC=2aa-xa=21-x，
87、所以sinAcosBcosC=sin(B+C)cosBcosC=sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=tanB+tanC=2x+21-x=2 1x+11-xx+(1-x)=4+2 1-xx+x1-x 4+41-xxx1-x=8，等号仅当 1-xx=x1-x，即 x=12 时成立，所以sinAcosBcosC 的最小值为 8.38故答案为：8.58(2024高三山西阶段练习)已知抛物线 E:x2=4y 与圆 C:x2+y-12=16 的公共点为 A,B，则AB=；若 P 为圆 C 的劣弧 AB 上不同于 A,B 的一个动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线 l 交抛物线E 于点 N
88、,l 不经过原点，则 CPN 周长的取值范围是【答案】4 38,10【解析】联立方程 x2=4yx2+y-12=16，解得 x=2 3y=3或 x=-2 3y=3，不妨令 A 2 3,3,B-2 3,3，可得 AB=4 3；由题意可知：圆 C:x2+y-12=16 的圆心为 C 0,1，半径圆 r=4，抛物线 E:x2=4y 的焦点为 C 0,1，准线为 y=-1；因为 l 不经过原点，设 P xP,yP，N xP,yN，则 yP 3,5，所以 CPN 周长 PC+PN+NC=4+yP-yN+yN+1=5+yP 8,10；故答案为：4 3；8,10.59(2024高三重庆阶段练习)已知函数 f
89、 x=2x,x 02lnxx,x 0，g x=x2+2x+1-2,R，若关于x 的方程 f g x=有 6 个解，则 的取值范围为.【答案】12,2e【解析】由题可得，令 g x=t，则方程 f t=的解有 3 个，当 t 0 时，f t=2x，所以 f t在-,0上单调递增，当 t 0 时，f t=2 1-lntt2，则 f t在 0,e上单调递增，在 e,+上单调递减，f e=2e，f 1=0，当 x 1 时，lnx 0，所以 f x 0，画 y=f t的图象如下：39由图象可得 0 2e，且方程 f t=的三个解分别为 t1,t2,t3，不妨设 t1 t2 t3，则有 2t1=，即 t1=log2，又 g x=x2+2x+1-2=x+12-2所以 g x在-,-1上单调递减，在-1,+上单调递增，且 g xmin=-2，又因为 g x=t，所以-2 t1 t2-2，即 2+log2 0，令 h=2+log2,0，所以 h=2+1ln2 0，所以 h 在 0,+上单调递增，又 h 12=0，所以 2+log2 0 的解集为12,+，综上，的取值范围为12,2e。故答案为：12,2e
