1、1专题动点综合问题(32 题)1(2023四川遂宁统考中考真题)如图，在 ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，点 P 为线段 AB 上的动点，以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 移动，到达点 B 时停止过点 P 作 PM AC 于点 M、作PN BC 于点 N，连接 MN，线段 MN 的长度 y 与点 P 的运动时间 t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点 E 的坐标为()A.5，5B.6,245C.325,245D.325,5【答案】C【分析】如图所示，过点 C 作 CD AB 于 D，连接 CP，先利用勾股定理的逆定理证明 ABC 是直角三角形，即 C=90，进而
2、利用等面积法求出 CD=245，则可利用勾股定理求出 AD=325；再证明四边形CMPN 是矩形，得到 MN=CP，故当点 P 与点 D 重合时，CP 最小，即 MN 最小，此时 MN 最小值为 245，AP=325，则点 E 的坐标为325,245【详解】解：如图所示，过点 C 作 CD AB 于 D，连接 CP，在 ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，AC2+BC2=62+82=100=102=AB2，ABC 是直角三角形，即 C=90，SABC=12 AC BC=12 AB CD，CD=AC BCAB=245，AD=AC2-CD2=325；PM AC，PN BC，C=90，四边形
3、 CMPN 是矩形，MN=CP，当 MN 最小时，即 CP 最小，当点 P 与点 D 重合时，CP 最小，即 MN 最小，此时 MN 最小值为 245，AP=AD=325，点 E 的坐标为325,245，故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键2(2023广东深圳统考中考真题)如图 1，在 RtABC 中，动点 P 从 A 点运动到 B 点再到 C 点后停止，速度为 2 单位/s，其中 BP 长与运动时间 t(单位：s)的关系如图 2，则 AC 的长为()2 A.15 52B.427C.17D.5 3【答
4、案】C【分析】根据图象可知 t=0 时，点 P 与点 A 重合，得到 AB=15，进而求出点 P 从点 A 运动到点 B 所需的时间，进而得到点 P 从点 B 运动到点 C 的时间，求出 BC 的长，再利用勾股定理求出 AC 即可【详解】解：由图象可知：t=0 时，点 P 与点 A 重合，AB=15，点 P 从点 A 运动到点 B 所需的时间为 15 2=7.5s；点 P 从点 B 运动到点 C 的时间为 11.5-7.5=4s，BC=2 4=8；在 RtABC 中：AC=AB2+BC2=17；故选：C【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理从函数图象中有效的获取信息，求出 AB,BC 的长，
5、是解题的关键3(2023黑龙江绥化统考中考真题)如图，在菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，动点 M，N 同时从 A点出发，点 M 以每秒 2 个单位长度沿折线 A-B-C 向终点 C 运动；点 N 以每秒 1 个单位长度沿线段 AD向终点 D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为 x 秒，AMN 的面积为 y个平方单位，则下列正确表示 y 与 x 函数关系的图象是()A.B.3C.D.【答案】A【分析】连接 BD，过点 B 作 BE AD 于点 E，根据已知条件得出 ABD 是等边三角形，进而证明 AMN ABE 得出 ANM=AEB=90，当 0 t 4 时，M
6、 在 AB 上，当 4 t 8 时，M 在 BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接 BD，过点 B 作 BE AD 于点 E，当 0 t 4 时，M 在 AB 上，菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，AB=AD，则 ABD 是等边三角形，AE=ED=12 AD=2，BE=3AE=2 3 AM=2x,AN=x，AMAN=ABAE=2，又 A=A AMN ABE ANM=AEB=90 MN=AM 2-AN 2=3x，y=12 x 3x=32 x2当 4 t 8 时，M 在 BC 上，y=12 AN BE=12 x 2 3=3x，综上所述，0 t 4 时的函数图
7、象是开口向上的抛物线的一部分，当 4 t DM 当 DC=DM 时，DC 最短，DC=GH=12 AB=2 CD=PC+2PC CDE 周长的最小值为 2+2+2=6，故 C 选项正确；NPD HPC 四边形 ABCD 面积等于 SADE+SEBC+SDEC=SADE+S平行四边 NEBH12 当 BGD 的面积为 0 时，取得最小值，此时，D,G 重合，C，H 重合 四边形 ABCD 面积的最小值为 3 34 22=3 3，故 D 选项正确，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当 E 点与 F 重合时得出最小值是解题的关键二、填空
8、题13(2023四川达州统考中考真题)在 ABC 中，AB=4 3，C=60，在边 BC 上有一点 P，且 BP=12 AC，连接 AP，则 AP 的最小值为【答案】2 13-2【分析】如图，作 ABC 的外接圆，圆心为 M，连接 AM、BM、CM，过 M 作 MD AB 于 D，过 B 作 BN AB，交 BP 的垂直平分线于 N，连接 AN、BN、PN，以 N 为圆心，BN PN为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得 AM=BM=CM=4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得 AMC=PNB，从而易证 AMC PNB 可得 CMPN=ACPB=21 即 PN=1
9、2 CM=2 勾股定理即可求得 AN=2 13 在 APN 中由三角形三边关系 AP AN-PN 即可求解【详解】解：如图，作 ABC 的外接圆，圆心为 M，连接 AM、BM、CM，过 M 作 MD AB 于 D，过 B 作 BN AB，交 BP 的垂直平分线于 N，连接 AN、BN、PN，以 N 为圆心，BN PN为半径作圆；C=60，M 为 ABC 的外接圆的圆心，AMB=120，AM=BM，MAB=MBA=30，MD=12 AM，MD AB，AD=12 AB=2 3，在 RtADM 中，AM 2=MD2+AD2，AM 2=12 AM2+2 32，AM=4，即 AM=BM=CM=4，由作图
10、可知 BN AB，N 在 BP 的垂直平分线上，PBN=BPN=90-ABC，PNB=180-PBN+BPN=2ABC，13又 M 为 ABC 的外接圆的圆心，AMC=2ABC，AMC=PNB，CMPN=AMBN，AMC PNB，CMPN=ACPB，BP=12 AC，CMPN=ACPB=21，即 PN=12 CM=2，PN=BN=2，在 RtABN 中，AN=AB2+BN 2=4 32+22=2 13，在 APN 中，AP AN-PN=2 13-2，即 AP 最小值为 2 13-2，故答案为：2 13-2【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直
11、平分线的性质，30 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合 ABC 的外接圆构造相似三角形14(2023浙江宁波统考中考真题)如图，在 RtABC 中，C=90，E 为 AB 边上一点，以 AE 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 D，连接 AD，BE=3,BD=3 5 P 是 AB 边上的动点，当 ADP 为等腰三角形时，AP 的长为 【答案】2 30 或 6【分析】连接 OD，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出 CD 的长，勾股定理求出 AC 和 AD 的长，分 AP=AD 和 AP=PD 两种情况进行求解即可【详解】解：连接 OD，以 AE 为直径
12、的半圆 O 与 BC 相切于点 D，OD BC，OA=OE=OD，ODB=90设 OA=OE=OD=r，则 OB=OE+BE=3+r，在 RtODB 中：OD2+BD2=OB2，即：r2+3 52=3+r2，解得：r=6，OA=OE=OD=6，14 OB=9，AB=15，AE=12，C=ODB=90，OD AC，OBOA=DBDC=96=32，DB=3 5，CD=2 5，BC=DB+CD=5 5，AC=AB2-BC2=10，AD=AC2+CD2=2 30；ADP 为等腰三角形，当 AD=AP 时，AP=2 30，当 PA=PD 时，OA=OD，点 P 与点 O 重合，AP=OA=6，不存在 P
13、D=AD 的情况；综上：AP 的长为 2 30 或 6故答案为：2 30 或 6【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点 P 的位置，是解题的关键15(2023四川凉山统考中考真题)如图，边长为 2 的等边 ABC 的两个顶点 A、B 分别在两条射线OM、ON 上滑动，若 OM ON，则 OC 的最大值是 【答案】1+3【分析】如图所示，取 AB 的中点 D，连接 OD，CD，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出 CD=3，再根据直角三角形的性质得到 OD=12 AB=1，再由 OC OD+CD可得当 O、C、D 三
14、点共线时，OC 有最大值，最大值为 1+3【详解】解：如图所示，取 AB 的中点 D，连接 OD，CD，ABC 是边长为 2 的等边三角形，CD AB，BC=AB=2，BD=AD=1，CD=BC2-BD2=3，OM ON，即 AOB=90，15 OD=12 AB=1，OC OD+CD，当 O、C、D 三点共线时，OC 有最大值，最大值为 1+3，故答案为：1+3【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当 O、C、D 三点共线时，OC 有最大值是解题的关键16(2023四川泸州统考中考真题)如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AB
15、 的三等分点，P 是对角线 AC上的动点，当 PE+PF 取得最小值时，APPC 的值是 【答案】27【分析】作点 F 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AC 于点 P，此时 PE+PF 取得最小值，过点 F 作 AD 的垂线段，交 AC 于点 K，根据题意可知点 F 落在 AD 上，设正方形的边长为 a，求得 AK 的边长，证明 AEP KFP，可得 KPAP=2，即可解答【详解】解：作点 F 关于 AC 的对称点 F，连接 EF 交 AC 于点 P，过点 F 作 AD 的垂线段，交 AC 于点 K，由题意得：此时 F 落在 AD 上，且根据对称的性质，当 P 点与 P 重合时 PE
16、+PF 取得最小值，设正方形 ABCD 的边长为 a，则 AF=AF=23 a，四边形 ABCD 是正方形，FAK=45，PAE=45，AC=2a FK AF，FAK=FKA=45，AK=2 23a，FPK=EPA，EKP EAP，FKAE=KPAP=2，16 AP=13 AK=292a，CP=AC-AP=792a，APCP=27，当 PE+PF 取得最小值时，APPC 的值是为 27，故答案为：27【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键17(2023河南统考中考真题)矩形 ABCD 中，M 为对角线 BD 的中点，点
17、 N 在边 AD 上，且 AN=AB=1当以点 D，M，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为【答案】2 或2+1【分析】分两种情况：当 MND=90 时和当 NMD=90 时，分别进行讨论求解即可【详解】解：当 MND=90 时，四边形 ABCD 矩形，A=90，则 MN AB，由平行线分线段成比例可得：ANND=BMMD，又 M 为对角线 BD 的中点，BM=MD，ANND=BMMD=1，即：ND=AN=1，AD=AN+ND=2，当 NMD=90 时，M 为对角线 BD 的中点，NMD=90 MN 为 BD 的垂直平分线，BN=ND，四边形 ABCD 矩形，AN=AB=117 A=
18、90，则 BN=AB2+AN 2=2，BN=ND=2 AD=AN+ND=2+1，综上，AD 的长为 2 或2+1，故答案为：2 或2+1【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键18(2023湖南统考中考真题)如图，在矩形 ABCD 中，AB=2,AD=7，动点 P 在矩形的边上沿 B C D A 运动当点 P 不与点 A、B 重合时，将 ABP 沿 AP 对折，得到 ABP，连接 CB，则在点 P 的运动过程中，线段 CB 的最小值为 【答案】11-2【分析】根据折叠的性质得出 B 在 A 为圆心，2 为半径的弧上运动，进而
19、分类讨论当点 P 在 BC 上时，当点P 在 DC 上时，当 P 在 AD 上时，即可求解【详解】解：在矩形 ABCD 中，AB=2,AD=7，BC=AD=7，AC=BC2+AB2=7+4=11，如图所示，当点 P 在 BC 上时，AB=AB=2 B 在 A 为圆心，2 为半径的弧上运动，当 A,B,C 三点共线时，CB 最短，此时 CB=AC-AB=11-2，当点 P 在 DC 上时，如图所示，此时 CB11-218当 P 在 AD 上时，如图所示，此时 CB11-2 综上所述，CB 的最小值为11-2，故答案为：11-2【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练
20、掌握折叠的性质是解题的关键19(2023广西统考中考真题)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 上的动点，M，N 分别是 EF，AF 的中点，则 MN 的最大值为 【答案】2【分析】首先证明出 MN 是 AEF 的中位线，得到 MN=12 AE，然后由正方形的性质和勾股定理得到 AE=AB2+BE 2=4+BE 2，证明出当 BE 最大时，AE 最大，此时 MN 最大，进而得到当点 E 和点 C 重合时，BE 最大，即 BC 的长度，最后代入求解即可【详解】如图所示，连接 AE，M，N 分别是 EF，AF 的中点，MN 是 AEF 的中位线，MN=12 AE，
21、四边形 ABCD 是正方形，B=90，AE=AB2+BE 2=4+BE 2，当 BE 最大时，AE 最大，此时 MN 最大，点 E 是 BC 上的动点，当点 E 和点 C 重合时，BE 最大，即 BC 的长度，此时 AE=4+22=2 2，MN=12 AE=2，MN 的最大值为2故答案为：219【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点20(2023山东统考中考真题)如图，在四边形 ABCD 中，ABC=BAD=90,AB=5,AD=4,AD BC，点 E 在线段 BC 上运动，点 F 在线段 AE 上，ADF=BAE，则线段 BF 的最
22、小值为 【答案】29-2【分析】设 AD 的中点为 O，以 AD 为直径画圆，连接 OB，设 OB 与 O 的交点为点 F，证明 DFA=90，可知点 F 在以 AD 为直径的半圆上运动，当点 F 运动到 OB 与 O 的交点 F 时，线段 BF 有最小值，据此求解即可【详解】解：设 AD 的中点为 O，以 AD 为直径画圆，连接 OB，设 OB 与 O 的交点为点 F，ABC=BAD=90，AD BC，DAE=AEB，ADF=BAE，DFA=ABE=90，点 F 在以 AD 为直径的半圆上运动，当点 F 运动到 OB 与 O 的交点 F 时，线段 BF 有最小值，AD=4，AO=OF=12
23、AD=2，BO=52+22=29，BF 的最小值为29-2，故答案为：29-2【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点 F 的运动轨迹是解题的关键21(2023四川内江统考中考真题)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，对角线 AC 与BD 交于点 O，点 E 为 BC 边上的一个动点，EF AC，EG BD，垂足分别为点 F，G，则 EF+EG=2
24、0 【答案】6013【分析】连接 OE，根据矩形的性质得到 BC=AD=12，AO=CO=BO=DO，ABC=90，根据勾股定理得到 AC=AB2+BC2=13，求得 OB=OC=132，根据三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接 OE，四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，BC=AD=12，AO=CO=BO=DO，AB=5，BC=12，AC=AB2+BC2=13，OB=OC=132，SBOC=SBOE+SCOE=12 OB EG+12 OC EF=12 SABC=12 12 5 12=15，12 132 EG+12 132 EF=12 132(EG+EF)=15，EG+EF=6013
25、，故答案为：6013【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用22(2023山东烟台统考中考真题)如图 1，在 ABC 中，动点 P 从点 A 出发沿折线 AB BC CA 匀速运动至点 A 后停止设点 P 的运动路程为 x，线段 AP 的长度为 y，图 2 是 y 与 x 的函数关系的大致图象，其中点 F 为曲线 DE 的最低点，则 ABC 的高 CG 的长为 21 【答案】7 32【分析】过点 A 作 AQ BC 于点 Q，当点 P 与 Q 重合时，在图 2 中 F 点表示当 AB+BQ=12 时，点 P 到达点 Q，此时当 P 在
26、 BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得 AQ，然后等面积法即可求解【详解】如图过点 A 作 AQ BC 于点 Q，当点 P 与 Q 重合时，在图 2 中 F 点表示当 AB+BQ=12 时，点 P到达点 Q，此时当 P 在 BC 上运动时，AP 最小，BC=7，BQ=4,QC=3在 RtABQ 中，AB=8,BQ=4 AQ=AB2-BQ2=82-42=4 3 SABC=12 AB CG=12 AQ BC，CG=BC AQAB=7 4 38=7 32,故答案为：7 32【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键23(2023新疆统考中考真题)如
27、图，在 ABCD 中，AB=6，BC=8，ABC=120，点 E 是 AD 上一动点，将 ABE 沿 BE 折叠得到 ABE，当点 A 恰好落在 EC 上时，DE 的长为22 【答案】37-3【分析】过点 C 作 CH AD 交 AD 的延长线于点 H，根据平行四边形的性质以及已知条件得出 ADC=ABC=120,HDC=60，进而求得 DH,HC，根据折叠的性质得出 CB=CE，进而在 RtECH 中，勾股定理即可求解【详解】解：如图所示，过点 C 作 CH AD 交 AD 的延长线于点 H，在 ABCD 中，AB=6，BC=8，ABC=120，ADC=ABC=120,HDC=60，CD=A
28、B=6，AD=CB=8，DH=DC cosHDC=12 DC=3，在 RtECH 中，HC=CD2-DH 2=62-32=3 3 将 ABE 沿 BE 折叠得到 ABE，当点 A 恰好落在 EC 上时，AEB=CEB又 AD BC EBC=AEB EBC=CEB CE=BC=8设 ED=x，EH=x+3在 RtECH 中，EC2=EH 2+HC2 82=x+32+3 32解得：x=37-3(负整数)故答案为：37-3【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键24(2023四川眉山统考中考真题)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为
29、-8，6，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点 C、点 A，直线 y=-2x-6 与 AB 交于点 D与 y 轴交于点 E动点M 在线段 BC 上，动点 N 在直线 y=-2x-6 上，若 AMN 是以点 N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为23 【答案】M-8,6或 M-8,23【分析】如图，由 AMN 是以点 N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得 N 在以 AM 为直径的圆 H 上，MN=AN，可得 N 是圆 H 与直线 y=-2x-6 的交点，当 M,B 重合时，符合题意，可得 M-8,6，当 N 在 AM 的上方时，如图，过 N 作 NJ y 轴于 J，延长
30、 MB 交 BJ 于 K，则 NJA=MKN=90，JK=AB=8，证明MNK NAJ，设 N x,-2x-6，可得 MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而 KJ=AB=8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案【详解】解：如图，AMN 是以点 N 为直角顶点的等腰直角三角形，N 在以 AM 为直径的圆 H 上，MN=AN，N 是圆 H 与直线 y=-2x-6 的交点，当 M,B 重合时，B-8,6，则 H-4,3，MH=AH=NH=4，符合题意，M-8,6，当 N 在 AM 的上方时，如图，过 N 作 NJ y 轴于 J，延长 MB 交 BJ 于 K，则 NJA=M
31、KN=90，JK=AB=8，NAJ+ANJ=90，24 AN=MN，ANM=90，MNK+ANJ=90，MNK=NAJ，MNK NAJ，设 N x,-2x-6，MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而 KJ=AB=8，-2x-12-x=8，解得：x=-203，则-2x-6=223，CM=CK-MK=223-203=23，M-8,23；综上：M-8,6或 M-8,23故答案为：M-8,6或 M-8,23【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解
32、本题的关键25(2023四川自贡统考中考真题)如图，直线 y=-13 x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 D 是线段 AB 上一动点，点 H 是直线 y=-43 x+2 上的一动点，动点 E m，0，F m+3，0，连接 BE，DF，HD当 BE+DF 取最小值时，3BH+5DH 的最小值是 【答案】392【分析】作出点 C 3，-2，作 CD AB 于点 D，交 x 轴于点 F，此时 BE+DF 的最小值为 CD 的长，利用解25直角三角形求得 F 113，0，利用待定系数法求得直线 CD 的解析式，联立即可求得点 D 的坐标，过点 D 作DG y 轴于点 G，此时 3BH
33、+5DH 的最小值是 5DG 的长，据此求解即可【详解】解：直线 y=-13 x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，B 0，2，A 6，0，作点 B 关于 x 轴的对称点 B 0，-2，把点 B 向右平移 3 个单位得到 C 3，-2，作 CD AB 于点 D，交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE CD 交 x 轴于点 E，则四边形 EFCB 是平行四边形，此时，BE=BE=CF，BE+DF=CF+DF=CD 有最小值，作 CP x 轴于点 P，则 CP=2，OP=3，CFP=AFD，FCP=FAD，tanFCP=tanFAD，PFPC=OBOA，即 PF2=26，PF=23，则
34、 F 113，0，设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，则3k+b=-2113 k+b=0，解得 k=3b=-11，直线 CD 的解析式为 y=3x-11，联立，y=3x-11y=-13 x+2，解得x=3910y=710，即 D 3910，710；过点 D 作 DG y 轴于点 G，直线 y=-43 x+2 与 x 轴的交点为 Q 32，0，则 BQ=OQ2+OB2=52，sinOBQ=OQBQ=3252=35，HG=BHsinGBH=35 BH，3BH+5DH=5 35 BH+DH=5 HG+DH=5DG，即 3BH+5DH 的最小值是 5DG=5 3910=392，故答案为：392【点
35、睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题三、解答题26(2023重庆统考中考真题)如图，ABC 是边长为 4 的等边三角形，动点 E，F 分别以每秒 1 个单位26长度的速度同时从点 A 出发，点 E 沿折线 A B C 方向运动，点 F 沿折线 A C B 方向运动，当两者相遇时停止运动设运动时间为 t 秒，点 E，F 的距离为 y (1)请直接写出 y 关于 t 的函数表达式并注明自变量 t 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点 E，F 相距 3 个单位
36、长度时 t 的值【答案】(1)当 0 t 4 时，y=t；当 4 t 6 时，y=12-2t(2)图象见解析，当 0 t 4 时，y 随 x 的增大而增大(3)t 的值为 3 或 4.5【分析】(1)分两种情况：当 0 t 4 时，根据等边三角形的性质解答；当 4 t 6 时，利用周长减去 2AE 即可；(2)在直角坐标系中描点连线即可；(3)利用 y=3 分别求解即可【详解】(1)解：当 0 t 4 时，连接 EF，由题意得 AE=AF，A=60，AEF 是等边三角形，y=t；当 4 t 6 时，y=12-2t；(2)函数图象如图：27 当 0 t 4 时，y 随 t 的增大而增大；(3)当
37、 0 t 4 时，y=3 即 t=3；当 4 t 6 时，y=3 即 12-2t=3，解得 t=4.5，故 t 的值为 3 或 4.5【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键27(2023辽宁大连统考中考真题)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x 与直线 BC 相交于点A，P t,0为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，过点 P 作 PD x 轴交直线 BC 于点 D OAB 与DPB 的重叠面积为 S S 关于 t 的函数图象如图 2 所示 (1)OB 的长为；OAB 的面积为(2)求 S 关于 t 的函数解析式，并
38、直接写出自变量 t 的取值范围【答案】(1)4，83(2)S=-12 t2+830 t 4314 t2-2t+443 t 4【分析】(1)根据函数图象即可求解(2)根据(1)的结论，分 0 t 43，43 t 4，根据 OAB 与 DPB 的重叠面积为 S，分别求解即可【详解】(1)解：当 t=0 时，P 点与 O 重合，此时 S=83=SABO，当 t=4 时，S=0，即 P 点与 B 点重合，OB=4，则 B 4,0，故答案为：4，83(2)A 在 y=x 上，则 OAB=45 设 A a,a，28 SAOB=12 OB a=12 4 a=83 a=43,则 A 43,43当 0 t 43
39、 时，如图所示，设 DP 交 OA 于点 E，OAB=45，DP OB，则 EP=OP=t S=83-12 t2 当 43 t 4 时，如图所示，B 4,0，A 43,43设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，4k+b=043 k+b=43解得：b=2k=-12，直线 AB 的解析式为 y=-12 x+2，当 x=0 时，y=2，则 C 0,2，OC=2，tanCBO=DPPD=OCOB=24=12，BP=4-t，则 DP=2-12 t，S=SDPB=12 DP BP=12 12 4-t2=14 4-t2=14 t2-2t+4，综上所述：S=-12 t2+830 t 4314 t2-2t+4
40、43 t 4【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信息是解题的关键28(2023河北统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式例、点 P 从原点 O 出发连续移动 2 次；若都按甲方式，最终移动到点 M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按 1 次甲方式和 1 次乙方式，最终移动到点 E(3,3)29 (1)设直线 l1经过上例中的点 M,N，求 l1的解析式；并直接写出将 l1向上平移 9 个单位长
41、度得到的直线 l2的解析式；(2)点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 Q(x,y)其中，按甲方式移动了 m 次用含 m 的式子分别表示 x,y；请说明：无论 m 怎样变化，点 Q 都在一条确定的直线上设这条直线为 l3，在图中直接画出 l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线 l1,l2,l3上分别有一个动点 A,B,C，横坐标依次为 a,b,c，若 A，B，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时 a，b，c 之间的关系式【答案】(1)l1的解析式为 y=-x+6；l2的解析式为 y=-x+15；(2)x=m+10,y=20-m；l3的解析式为
42、 y=-x+30，图象见解析；(3)5a+3c=8b【分析】(1)根据待定系数法即可求出 l1的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线 l2的解析式；(2)根据题意可得：点 P 按照甲方式移动 m 次后得到的点的坐标为 2m,m，再得出点 2m,m按照乙方式移动 10-m次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果；由的结果可得直线 l3的解析式，进而可画出函数图象；(3)先根据题意得出点 A，B，C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，再把点 C 的坐标代入整理即可得出结果【详解】(1)设 l1的解析式为 y=kx+b，把 M(4,2)、N(2,4)代入，得4k+b=
43、22k+b=4，解得：k=-1b=6，l1的解析式为 y=-x+6；将 l1向上平移 9 个单位长度得到的直线 l2的解析式为 y=-x+15；(2)点 P 按照甲方式移动了 m 次，点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次，点 P 按照乙方式移动了 10-m次，点 P 按照甲方式移动 m 次后得到的点的坐标为 2m,m；点 2m,m按照乙方式移动 10-m次后得到的点的横坐标为 2m+10-m=m+10，纵坐标为 m+2 10-m=20-m，x=m+10,y=20-m；由于 x+y=m+10+20-m=30，30 直线 l3的解析式为 y=-x+30；函数图象如图所示：(3)点 A,B,C
44、 的横坐标依次为 a,b,c，且分别在直线 l1,l2,l3上，A a,-a+6,B b,-b+15,C c,-c+30，设直线 AB 的解析式为 y=mx+n，把 A、B 两点坐标代入，得ma+n=-a+6mb+n=-b+15，解得：m=-1+9b-an=6-9ab-a，直线 AB 的解析式为 y=-1+9b-ax+6-9ab-a，A，B，C 三点始终在一条直线上，c-1+9b-a+6-9ab-a=-c+30，整理得：5a+3c=8b；即 a，b，c 之间的关系式为：5a+3c=8b【点睛】本题是一次函数和平移综合题，主要考查了平移的性质和一次函数的相关知识，正确理解题意、熟练掌握平移的性质
45、和待定系数法求一次函数的解析式是解题关键29(2023黑龙江统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形 AOCB 的边 OC 在 x 轴上，AOC=60，OC 的长是一元二次方程 x2-4x-12=0 的根，过点 C 作 x 轴的垂线，交对角线 OB 于点 D，直线AD 分别交 x 轴和 y 轴于点 F 和点 E，动点 M 从点 O 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OD 向终点 D 运动，动点 N 从点 F 以每秒 2 个单位长度的速度沿 FE 向终点 E 运动两点同时出发，设运动时间为 t 秒 (1)求直线 AD 的解析式31(2)连接 MN，求 MDN 的面积 S 与运动时间 t 的函数
46、关系式(3)点 N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点 Q使得以 A，C，N，Q 为项点的四边形是矩形若存在，直接写出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由【答案】(1)y=-33 x+4 3(2)S=32 t2-9t+12 30 t 2 3-32 t2+9t-12 32 3 t 4 3(3)存在，点 Q 的坐标是32,3 32或 6,4 3【分析】(1)过点 A 作 AH OC 于 H，解方程可得 OC=6，然后解直角三角形求出 CD、OH 和 AH 的长，得到点 A、D 的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；(2)首先证明 EOD 是等边三角形，求出 DO=DF=4 3，然后分情况讨论
47、：当点 N 在 DF 上，即 0 t 2 3 时，过点 N 作 NP OB 于 P，当点 N 在 DE 上，即 2 3 t 4 3 时，过点 N 作 NT OB 于 T，分别解直角三角形求出 NP 和 NT，再利用三角形面积公式列式即可；(3)分情况讨论：当 AN 是直角边时，则 CN EF，过点 N 作 NK CF 于 K，首先求出 CN，然后解直角三角形求出 CK 和 NK，再利用平移的性质得出点 Q 的坐标；当 AN 是对角线时，则 ACN=90，过点 N作 NL CF 于 L，证明 NCF=NFC，可得 CL=FL=3，然后解直角三角形求出 NL，再利用平移的性质得出点 Q 的坐标【详
48、解】(1)解：解方程 x2-4x-12=0 得：x1=6，x2=-2，OC=6，四边形 AOCB 是菱形，AOC=60，OA=OC=6，BOC=12 AOC=30，CD=OC tan30=6 33=2 3，D 6,2 3，过点 A 作 AH OC 于 H，AOH=60，OH=12 OA=3，AH=OA sin60=6 32=3 3，A 3,3 3，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b k 0，代入 A 3,3 3，D 6,2 3得：3k+b=3 36k+b=2 3，解得：k=-33b=4 3，直线 AD 的解析式为 y=-33 x+4 3；(2)解：由(1)知在 RtCOD 中，CD=2 3
49、，DOC=30，OD=2CD=4 3，EOD=90-DOC=90-30=60，直线 y=-33 x+4 3 与 y 轴交于点 E，OE=4 3，32 OE=OD，EOD 是等边三角形，OED=EDO=BDF=60，ED=OD=4 3，OFE=30=DOF，DO=DF=4 3，当点 N 在 DF 上，即 0 t 2 3 时，由题意得：DM=OD-OM=4 3-t，DN=4 3-2t，过点 N 作 NP OB 于 P，则 NP=DN sinPDN=DN sin60=4 3-2t32=6-3t，S=12 DM NP=12 4 3-t6-3t=32 t2-9t+12 3；当点 N 在 DE 上，即 2
50、 3 t 4 3 时，由题意得：DM=OD-OM=4 3-t，DN=2t-4 3，过点 N 作 NT OB 于 T，则 NT=DN sinNDT=DN sin60=2t-4 332=3t-6，S=12 DM NT=12 4 3-t3t-6=-32 t2+9t-12 3；综上，S=32 t2-9t+12 30 t 2 3-32 t2+9t-12 32 3 t 4 3；(3)解：存在，分情况讨论：如图，当 AN 是直角边时，则 CN EF，过点 N 作 NK CF 于 K，NFC=30，OE=4 3，NCK=60，OF=3OE=12，CF=12-6=6，CN=12 CF=3，CK=CN cos60
51、=3 12=32，NK=CN sin60=3 32=3 32，将点 N 向左平移 32 个单位长度，再向下平移 3 32个单位长度得到点 C，将点 A 向左平移 32 个单位长度，再向下平移 3 32个单位长度得到点 Q，A 3,3 3，Q 32,3 32；33 如图，当 AN 是对角线时，则 ACN=90，过点 N 作 NL CF 于 L，OA=OC，AOC=60，AOC 是等边三角形，ACO=60，NCF=180-60-90=30=NFC，CL=FL=12 CF=3，NL=CL tan30=3 33=3，将点 C 向右平移 3 个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点 N，将点 A 向右
52、平移 3 个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点 Q，A 3,3 3，Q 6,4 3；存在一点 Q，使得以 A，C，N，Q 为顶点的四边形是矩形，点 Q 的坐标是32,3 32或 6,4 3 【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含 30 直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键30(2023江苏苏州统考中考真题)某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 AB，长度为1m 的金属滑块在上面做往返滑动如图，
53、滑块首先沿 AB 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 9m/s，滑动开始前滑块左端与点 A 重合，当滑块右端到达点 B 时，滑块停顿 2s，然后再以小于 9m/s 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点 A 重合，滑动停止设时间为 t s时，滑块左端离点 A 的距离为 l1 m，右端离点 B 的距离为 l2 m，记 d=l1-l2,d 与 t 具有函数关系已知滑块在从左向右滑动过程中，当 t=4.5s 和 5.5s 时，与之对应的 d 的两个值互为相反数；滑块从点 A 出发到最后返回点 A，整个过程总用时 27s(含停顿时间)请你根据所给条件解决下列问题：34 (1)滑块从点 A 到点 B 的滑动过
54、程中，d 的值；(填“由负到正”或“由正到负”)(2)滑块从点 B 到点 A 的滑动过程中，求 d 与 t 的函数表达式；(3)在整个往返过程中，若 d=18，求 t 的值【答案】(1)由负到正(2)d=-12t+234(3)当 t=6 或 t=18 时，d=18【分析】(1)根据等式 d=l1-l2，结合题意，即可求解；(2)设轨道 AB 的长为 n，根据已知条件得出 l1+l2+1=n，则 d=l1-l2=18t-n+1，根据当 t=4.5s 和 5.5s时，与之对应的 d 的两个值互为相反数；则 t=5 时，d=0，得出 d=91，继而求得滑块返回的速度为91-1 15=6 m/s，得出
55、 l2=6 t-12，代入 d=l1-l2，即可求解；(3)当 d=18 时，有两种情况，由(2)可得，当 0 t 10 时，当 12 t 27 时，分别令 d=18，进而即可求解【详解】(1)d=l1-l2，当滑块在 A 点时，l1=0，d=-l2 0，d 的值由负到正故答案为：由负到正(2)解：设轨道 AB 的长为 n，当滑块从左向右滑动时，l1+l2+1=n，l2=n-l1-1，d=l1-l2=l1-n-l1-2=2l1-n+1=2 9t-n+1=18t-n+1 d 是 t 的一次函数，当 t=4.5s 和 5.5s 时，与之对应的 d 的两个值互为相反数；当 t=5 时，d=0，18
56、5-n+1=0，d=91，滑块从点 A 到点 B 所用的时间为 91-1 9=10 s，整个过程总用时 27s(含停顿时间)当滑块右端到达点 B 时，滑块停顿 2s，滑块从点 B 到点 A 的滑动时间为 27-10-2=15s，滑块返回的速度为 91-1 15=6 m/s，当 12 t 27 时，l2=6 t-12，l1=91-1-l2=90-6 t-12=162-6t，l1-l2=162-6t-6 t-12=-12t+234，d 与 t 的函数表达式为 d=-12t+234；(3)当 d=18 时，有两种情况，由(2)可得，当 0 t 10 时，18t-91+1=18，35解得：t=6；当
57、12 t 27 时，-12t+234=18，解得：t=18，综上所述，当 t=6 或 t=18 时，d=18【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出 n=91，并求得往返过程中的解析式是解题的关键31(2023天津统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形 ABCD 的顶点 A(3,0),B(0,1),D(2 3,1)，矩形 EFGH 的顶点 E 0,12,F-3,12,H 0,32(1)填空：如图，点 C 的坐标为，点 G 的坐标为；(2)将矩形 EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形 EFGH，点 E，F，G，H 的对应点分别为 E，F，G，H设 EE=t，矩形 EFGH 与菱形
58、 ABCD 重叠部分的面积为 S 如图，当边 EF 与 AB 相交于点 M、边 GH 与 BC 相交于点 N，且矩形 EFGH 与菱形 ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围：当 2 33 t 11 34时，求 S 的取值范围(直接写出结果即可)【答案】(1)3,2，-3,32(2)32 t 3；316 S 3【分析】(1)根据矩形及菱形的性质可进行求解；(2)由题意易得 EF=EF=3,EH=EH=1，然后可得 ABO=60，则有 EM=32，进而根据割补法可进行求解面积 S；由及题意可知当 2 33 t 3 32时，矩形 EFGH 和菱形 A
59、BCD 重叠部分的面积 S 是增大的，当 3 32 t 11 34时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分的面积 S 是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可【详解】(1)解：四边形 EFGH 是矩形，且 E 0,12,F-3,12,H 0,32，EF=GH=3,EH=FG=1，G-3,32；连接 AC,BD，交于一点 H，如图所示：36 四边形 ABCD 是菱形，且 A(3,0),B(0,1),D(2 3,1)，AB=AD=3-02+0-12=2，AC BD,CM=AM=OB=1,BM=MD=OA=3，AC=2，C3,2，故答案为3,2，-3,32；(2)解：点 E
60、0,12，点 F-3,12，点 H 0,32，矩形 EFGH 中，EF x 轴，EH x 轴，EF=3,EH=1 矩形 EFGH 中，EF x 轴，EH x 轴，EF=3,EH=1由点 A3,0，点 B 0,1，得 OA=3,OB=1在 RtABO 中，tanABO=OAOB=3，得 ABO=60在 RtBME 中，由 EM=EB tan60,EB=1-12=12，得 EM=32 SBME=12 EB EM=38 同理，得 SBNH=38 EE=t，得 S矩形 EEHH=EE EH=t又 S=S矩形 EEHH-SBME-SBNH，S=t-34，当 EE=EM=32 时，则矩形 EFGH 和菱形
61、 ABCD 重叠部分为 BEH，t 的取值范围是32 t 3由及题意可知当 2 33 t 3 32时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分的面积 S 是增大的，当3 32 t 11 34时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分的面积 S 是减小的，当 t=3 32时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分如图所示：37 此时面积 S 最大，最大值为 S=1 3=3；当 t=11 34时，矩形 EFGH 和菱形 ABCD 重叠部分如图所示：由(1)可知 B、D 之间的水平距离为 2 3，则有点 D 到 GF 的距离为3-11 34-2 3=34，由可知：D=B=60，矩形 EFG
62、H 和菱形 ABCD 重叠部分为等边三角形，该等边三角形的边长为 2 34tan60=12，此时面积 S 最小，最小值为 12 12 34=316；综上所述：当 2 33 t 11 34时，则316 S 3【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键32(2023江西统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 RtABC 中，C=90，D 为 AC 上一点，CD=2，动点 P以每秒 1 个单位的速度从 C 点出发，在三角形边上沿 C B A 匀速运动，到达点 A 时停止，以 DP 为边作正方形 DP
63、EF 设点 P 的运动时间为 ts，正方形 DPEF 的而积为 S，探究 S 与 t 的关系38 (1)初步感知：如图 1，当点 P 由点 C 运动到点 B 时，当 t=1 时，S=S 关于 t 的函数解析式为(2)当点 P 由点 B 运动到点 A 时，经探究发现 S 是关于 t 的二次函数，并绘制成如图 2 所示的图象请根据图象信息，求 S 关于 t 的函数解析式及线段 AB 的长(3)延伸探究：若存在 3 个时刻 t1,t2,t3(t1 t2 m1是函数 S=t2+2 上的两点，则 m1+4，n，m2+4，n是函数 S=t-42+2 上的两点，由此可得 m1+m2=0，m1 m2 m1+4 m1是函数 S=t2+2 上的两点，则 m1+4，n，m2+4，n是函数 S=t-42+2 上的两点，m1+m2=0，m1 m2 m1+4 m2+4，m2+m1+4=4，存在 3 个时刻 t1,t2,t3(t1 t2 t3)对应的正方形 DPEF 的面积均相等 可以看作 t1=m2，t2=m1+4，t3=m2+4，t1+t2=4，故答案为：4；由(3)可得 t3=t1+4，t3=4t1，4t1=t1+4，t1=43，S=t2+2=432+2=349 .【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键40
