1、 几何证明选讲训练提示: 主要训练利用三角形相似、圆内接四边形的性质以及与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的相交弦定理、切割线定理、割线定理等知识求线段、角的大小或证明线段成比例、角相等等.1.(2015河南模拟)如图,已知圆O是ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.(1)求证:ACBC=ADAE;(2)若AF=2,CF=2,求AE的长.(1)证明:连接BE,由题意知ABE为直角三角形.因为ABE=ADC=90,AEB=ACB,所以ABEADC,所以=,即ABAC=ADAE.又AB=BC,所以ACBC=ADAE.(2)解:因
2、为FC是圆O的切线,所以FC2=FAFB,又AF=2,CF=2,所以BF=4,AB=BF-AF=2,因为ACF=FBC,CFB=AFC,所以AFCCFB.所以=,得AC=,在ABC中,由余弦定理可得cos ACD=,所以sinAEB=sinACD=,又在RtABE中,sinAEB=,所以AE=.坐标系与参数方程训练提示: 主要训练参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化以及有关最值的求解.2.(2014新课标全国卷)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与
3、最小值.解:(1)曲线C的参数方程为(为参数),直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=|4cos +3sin -6|.则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为,当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.3.(2015三门峡适应性测试)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数,0,)(,),以原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2sin (+).(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线
4、l交于A,B两点,且|AB|=,求tan 的值.解:(1)由直线l的参数方程消去参数得直线l的普通方程为y=tan (x+1).曲线C的极坐标方程=2sin (+)展开得=2cos +2sin ,化为直角坐标方程得x2+y2-2x-2y=0,即(x-1)2+(y-1)2=2.(2)(x-1)2+(y-1)2=2表示圆心为(1,1),半径为的圆,则圆心到直线y=tan (x+1)的距离d=,化简得7tan2-8tan +1=0,解得tan =1或tan =.4.(2015辽宁锦州质检)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角=,(1)写出直线l的参数方程;(2)设l与圆x2+y2=4相交于A,B两点
5、,求点P(1,1)到A,B两点的距离之积.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数).即(t为参数).(2)把直线代入x2+y2=4,得(1+t)2+(1+t)2=4,即t2+(+1)t-2=0,t1t2=-2,则由参数t的几何意义知点P到A,B两点的距离之积为2.5.(2015郑州第一次质量预测)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=2cos (+),直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.(1)求圆心的极坐标;(2)求PAB面积的最大值.解:(1)圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0
6、,即(x-1)2+(y+1)2=2.所以圆心坐标为(1,-1),圆心极坐标为(,).(2)直线l的普通方程为2x-y-1=0,圆心到直线l的距离d=,所以|AB|=2=,点P到直线AB距离的最大值为r+d=+=,Smax=.不等式选讲训练提示: 主要训练绝对值不等式的解法、含参不等式恒成立(或有解)问题的解法以及不等式的证明等.6.(2015黑龙江高三模拟)设不等式|2x-1|1的解集是M,a,bM.(1)试比较ab+1与a+b的大小;(2)设max A表示数集A的最大数.h=max(,),求证:h2.解:由|2x-1|1得-12x-11,解得0x1.所以M=x|0x1.(1)由a,bM得0a
7、1,0b0,故ab+1a+b.(2)由h=max(,)得h,h,h,所以h3=8,故h2.7.(2015兰州监测)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(aR).(1)当a=4时,求不等式f(x)5的解集:(2)若f(x)4对aR恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=4时,|x-1|+|x-a|5 等价为或或解得x0或x5,所以不等式f(x)5的解集为x|x0或x5.(2)因为f(x)=|x-1|+|x-a|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,所以f(x)min=|a-1|,要使f(x)4对aR恒成立,则需|a-1|4即可,所以a-3或a5.即实数a的取值范围是(-,-35,+).8.
8、设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac;(2)+1.证明:(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)因为+b2a,+c2b,+a2c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.又a+b+c=1,所以+1. 类型一:几何证明选讲1.(2015贵州省适应性测试)如图所示,已知O1和O2相交于A,B两点.过点A作O1的切线交O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交O1,O2于点
9、D,E,DE与AC相交于点P.(1)求证:PEAD=PDCE;(2)若AD是O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.(1)证明:连接AB,因为AC是O1的切线,所以BAC=D.又因为BAC=E,所以D=E.又APD=CPE,所以PCEPAD,所以=,即PEAD=PDCE.(2)解:设BP=x,PE=y,因为PA=6,PC=2,所以xy=12.由(1)知ADPCEP,所以=,即=,由可得或(负值舍去),所以DE=9+x+y=16.因为AD是O2的切线,所以AD2=DBDE=916.所以AD=12.2.(2015三门峡适应性测试)如图,ABC是直角三角形,ACB=90,以AC为直径
10、的圆O交AB于F,点D是BC的中点,连接OD交圆O于点E.(1)求证:O,C,D,F四点共圆;(2)求证:2DF2=DEAB+DEAC.证明:(1)连接CF,OF,因为AC为直径,所以CFAB,因为O,D分别为AC,BC的中点,所以ODAB,OD=AB,所以CFOD.因为OF=OC,所以EOF=EOC,在OCD和OFD中,因为OC=OF,EOC=EOF,OD=OD,所以OCDOFD.所以OCD=OFD=90.所以O,C,D,F四点共圆.(2)设圆的半径为r,因为由(1)知OFFD,所以FD是圆的切线,所以DF2=DE(DO+r)=DEDO+DEr=DEAB+DEAC.故2DF2=DEAB+DE
11、AC.类型二:坐标系与参数方程3.(2015兰州第二次监测)已知平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.C2的极坐标方程为(cos -sin )+5=0.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上任意一点,M为C2上的任意一点,求|PM|的最小值.解:(1)由(为参数)得x2+(y-1)2=1,由(cos -sin )+5=0得cos -sin +5=0,即x-y+5=0.(2)由(1)知C1为以(0,1)为圆心,1为半径的圆,C2为直线,因为C1的圆心(0,1)到C2的距离为=21.所以C2与C1没有公
12、共点.所以|PM|的最小值为2-1.4.(2015上饶三模)已知直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数).(1)在极坐标系下,若曲线C与射线=和射线=-分别交于A,B两点,求AOB的面积;(2)在直角坐标系下,给出直线l的参数方程为(t为参数),求曲线C与直线l的交点坐标.解:(1)曲线C在直角坐标系下的普通方程为+y2=1,将其化为极坐标方程为+2sin2=1,分别代入=和=-,得|OA|2=|OB|2=,因为AOB=,故AOB的面积S=|OA|OB|=.(2)将l的参数方程代入曲线C的普通方程,得+t2
13、=1,即t+t2=0,解得t=0或t=-,代入l的参数方程,得x=2,y=0或x=,y=-,所以曲线C与直线l的交点坐标为(2,0)和(,-).5.(2015石嘴山高三联考)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),当t=1时,对应曲线C1上的点为A,当t=-1时,对应曲线C1上的点为B.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=.(1)求A,B的极坐标;(2)设M是曲线C2上的动点,求|MA|2+|MB|2的最大值.解:(1)当t=1时,即A的直角坐标为(-1,);当t=-1时,即B的直角坐标为(1,-).所以A的极坐标为(2,),B的极坐标为(2,).(2)由=得
14、2(4+5sin2)=36.所以曲线C2的直角坐标方程为+=1.设曲线C2上的动点M的坐标为(3cos ,2sin ),则|MA|2+|MB|2=10cos2+1626.所以|MA|2+|MB|2的最大值为26.类型三:不等式选讲6.(2015九江二模)已知函数f(x)=|2x-a|+a(aR),且不等式f(x)6的解集为x|-2x3.(1)求实数a的值;(2)若存在实数n使得f(n)m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.解:(1)由|2x-a|+a6得|2a-a|6-a,6-a0,所以a-62x-a6-a,即a-3x3,所以a-3=-2,即a=1.(2)由(1)知f(x)=|2x-1|+1
15、,令 (n)=f(n)+f(-n),则(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=(n)的最小值为4,所以m4,即实数m的取值范围是4,+).7.(2015河南六市第一次联考)设不等式-2|x-1|-|x+2|0的解集为M,a,bM.(1)证明: |a+b|,(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.解:(1)记f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2-2x-10解得-x,即M=(-,),所以|a+b|a|+|b|+=,即|a+b|;(2)由(1)得a2,b20.故|1-4ab|24|a-b|2,即|1-4ab|2|a-b|.8.(2015石嘴山高三联考)已知a,b,cR,且a2+b2+c2=1.(1)求证:|a+b+c|;(2)若不等式|x-1|+|x+1|(a+b+c)2对一切实数a,b,c恒成立,求x的取值范围.(1)证明:因为a,b,cR,且a2+b2+c2=1.所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2(+)=a2+b2+c2+2(a2+b2+c2)=3.所以(a+b+c)23,即|a+b+c|,当且仅当a=b=c=时取等号.(2)解:由(1)可知(a+b+c)23,所以不等式对一切实数a,b,c恒成立,等价于不等式|x-1|+|x+1|3,从而解得x或x-.所以x的取值范围为(-,-,+).
