1、 数学理试题 第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，集合，则( )ABCD2已知是虚数单位，复数，若是纯虚数，则( )ABCD63某中学共有学生2000名，校卫生室为了解学生身体健康状况，对全校学生按性别采用分层抽样的办法进行抽样调查，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生107人，则该中学共有女生( )A1070人B1030人C930人D970人4执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )A2B5C11D235给出以下四个结论：的充要条件是；命题：“”的否定是“”；一组数据的方差越大，则这组数据的
2、波动越小其中正确的个数是( )A0B1C2D36函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为( )ABCD7如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形圆柱侧面积为，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为( )AB12CD8设，则二项式展开式中含项的系数是( )AB192CD2409已知实数满足，如果目标函数的最大值为1，则实数等于( )A6B5C4D310已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点若双曲线的离心率为2，的面积为，则( )A2B4CD11设数列为等差数列，为等比数列若，且，则数列的公比为( )ABCD12定义在
3、上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是( )ABCD第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分13已知数列满足，且对于任意都有，则_14已知平面向量是单位向量，且，若平面向量满足：，则_15若且，则实数的取值范围是_16已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，为锐角，向量，且（）求的大小；（）如果，求面积的最大值18（本小题满分12分）某校数学文化节同时安排、两场讲座已知甲、乙两寝室各有6位同学，甲寝室1人选择听讲座，其
4、余5人选择听讲座；乙寝室2人选择听讲座，其余4人选择听讲座现从甲、乙两寝室中各任选2人（）求选出的4人均选择听讲座的概率；（）设为选出的4人中选择听讲座的人数，求的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图，己知是正六边形，、都垂直于平面，平面交线段于点，点是的中点，（）证明：平面；（）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）如图，已知抛物线以坐标原点为顶点，焦点在轴的正半轴上，且（）求抛物线的方程；（）过定点的动直线与抛物线相交于、两点（、异于点），设、的倾斜角分别为、，若为定值，求的值21（本小题满分12分）已知函数（）若在上单调递增，求实数的取值范围；（）讨论的零点个数请考生在22、2
5、3、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线为的切线，切点为，点、在圆上，作交圆于点（）证明：；（）设的半径为2，延长交于点，求外接圆的半径23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求圆的极坐标方程；（）若直线的参数方程为（为参数），求圆上的点到直线的距离的取值范围24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（）求不等式的解集；（）求函数的图象与轴围成的三角形的面积广东省湛江市2016年普通高考测试题（二）数学理试题参考答案一、选择
6、题1C 2A 3C 4D 5B 6B 7C 8D 9B 10A11B【解析】由题意可知，则若，易知，舍去；若，则，且，所以，则，又，且，所以12B【解析】设由，得，故函数在上单调递减由为奇函数，所以不等式等价于，即，结合函数的单调性可得，从而不等式的解集为二、填空题13 142 15 16三、解答题17解：（），1分，即2分又为锐角，3分4分代入上式得：（当且仅当时等号成立）10分（当且仅当时等号成立）面积的最大值为12分18解：（）设“从甲寝室选出的2人选择听讲座”为事件，“从乙寝室选出的2人选择听讲座”为事件，1分由于事件、相互独立，所以选出的4人均选择听讲座的概率为：6分（）可能的取值为
7、7分，10分的分布为0123的数学期望12分19（）证法1：取的中点，连结1分四边形都是平行四边形2分、都垂直于平面3分又，且四边形是平行四边形4分由得5分又平面，且平面平面6分证法2：由正六边形的性质得：，以点为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系2分则3分4分设平面的法向量为则，得一个法向量5分且平面，平面6分（）解法一：由（）证法2，得平面的一个法向量为7分而平面的一个法向量是8分则10分又因为所求二面角为钝角，所以所求二面角的余弦值为12分解法二：平面，平面平面由（）得（注：第一小题的证明也可先证此结论）7分延长、交于则，且，则即，8分延长交于，平面，且，平面9分作，交
8、延长线于，则，连结由平面是二面角的平面角的补角10分在中，在中，11分所求二面角的余弦值为12分20解：（）依题意，设抛物线的方程为1分根据抛物线的几何性质得2分抛物线的方程是3分（）当直线的斜率不存在时，关于轴对称，此时，不符合题意4分设的方程为，5分则，代入，得：6分由题意知均不为，记（1）若，则7分又，代入上式得8分将代入，化简得：9分上式左边是定值，且为定值，是变量，即10分（2）若，则，即，即11分综上可知，符合题意的点的横坐标12分21解：（）依题意：对于恒成立，即恒成立1分当时，有（当且仅当时等号成立）2分故的取值范围为4分（）（）当时，由（）知在上单调递增，故此时至多有一个零点
9、又，当时，有且只有一个零点5分（）当时，先考察时函数的零点个数由（）记则在上单调递增6分，又，即存在，使7分当时，有；当时，有在上有极小值，且以下先证对任意令，则，得时，时，成立，即8分取，则，即9分在上存在零点，在上单调递增，在上存在唯一零点10分另一方面，是上的奇函数，根据对称性知：在上也存在一个零点11分又，当时，函数有3个零点综上所述，当时，有且只有1个零点；当时，有3个零点12分22解：（）连结，交与点1分，是直径2分，又，3分由弦切角定理得，4分5分（）由（）知，6分，是的中垂线，7分连结，则，所以为正三角形8分，9分，的外接圆半径等于10分23解：（）圆的方程可化简为：1分3分圆的极坐标方程为：5分（）直线的直角坐标方程为，圆的圆心坐标为6分圆心到直线的距离8分圆上的点到直线的距离的取值范围是10分24解：（）原不等式等价于：或或2分解得：解得：解得：4分原不等式的解集是5分（）依题意：6分的图象与轴围成的三角形的三个顶点的坐标分别为8分所求三角形的面积10分
