1、第 1 页 共 4 页理科数学遵义市 2023 届高三年级第三次统一考试参考答案（理科数学）一、选择题题号123456789101112答案ADBCDCBCDABD二、填空题13.314.2115.216.33三、解答题17.（12 分）解：（1）110)01.002.003.0035.0(a，得005.0a3 分由图知：年龄位于)40,30这一组频率为35.0，此时频率最大所以，众数为35240305 分（2）X 所有可能的值是 0,1,2,36 分P(X=0)=033336C CC=120,P(X=1)=123336C CC=920,P(X=2)=033336C CC=920,P(X=3)
2、=303336C CC=12010 分因此 X 的分布列为X0123P120920920120于是 X 的期望为19913()0123202020202E X （人）12 分18.（12 分）解：（1）由题知：nnanS2当1n时，111 aS1 分当2n时，112)1(nnanS-得到，1221nnnaaa，化简得：121 nnaa3 分所以)1(211 nnaa4 分所以1na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列5 分（2）由（1）知：nnnaa221111）（，即21nna 6 分121121)12()12(22111nnnnnnnnnaab8 分12122311111111()()(
3、)2121212121211121nnnnnTbbb 10 分第 2 页 共 4 页理科数学由111312114n得，1215n，故 n 的最大值为 212 分19.（12 分）解：（1）如图，以 D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.A(4，0，0)，C(1，3，3)，D(0，0，0)，B(4，4，0)3 33AC ，4 4 0DB，因为0ACAC，所以 AC BD 6 分（2）由(1)知4 0 0DA，33DC 1，4 4 0DB，设平面 AC D与平面 DC B 的法向量分别为 m=(x0，y0，z0)，n=(x1，y1，z1)则00DA mDC m 即000040
4、30 xxyz，令01y ，则03z ，即(0,1,3)m 同理可求得(3,3,2)n，于是3 30cos,20m nm nm n 因此二面角ADCB的余弦值是3 302012 分20.（12 分）解：（1）由题可知有21ac，1434122 ba，222cba联立解得1,3,2cba所以椭圆C 的方程为13422 yx5 分（2）由直线l 的斜率为 21，可设直线l 的方程为tyx 2，联立椭圆方程消去 x 可得0123121622ttyy设QP,的坐标为),(),(2211yxQyxP，则4321tyy，16123 221 tyy7 分所以22)(22121ttyyxx，所以)1)(1()
5、1)(23()1)(23(1231232112212211xxxyxyxyxykkAQAP9 分第 3 页 共 4 页理科数学展开整理得)1)(1(3)()(232121211221xxyyxxyxyxkkAQAP，3)2()2(12211221ytyytyyxyx将代入可得0AQAPkk，从而ANMAMN，因此|ANAM 12 分21.（12 分）解：（1）证明：，xexxf-sin=)(xexxf-cos=)(1 分记),(=)(xfxgxxexxgexxg-cos-=)(-sin-=)(，2 分0e-0,cosx-)0,1-(x，x)(,01-211-1sin=-)1-sin(-=)1-
6、(1-eeeg，01-=)0(g4 分所以在)0,1-(存在唯一0 x，使得0=)(0 xg当0)(xgxg在),1(-0 x单调递增当00 xx，)(,0)(xgxg在)0(0，x单调递减所以)(xg在)0,1-(存在唯一极大值点6 分1-1-)0()0,1-()(0)(1)0()()0,1-()()0,1-(0cos2)()cos(sin)(cos)cos(sin-1cossin)-(sincos)-(cos)(cos-sin)(,cos-sincos)()01-(222ahxhxhtxtxtxxextxxextxxxexxexxexxhxexxhxexaxaxfxxxxxxxx上单调递增
7、且在上单调递增，在，记记成立，都有，）（12 分22.（10 分）解：（1）由题得tytx233212所以直线l 的直角坐标方程为033 yx2 分曲线C 的极坐标方程为cos6cos62，由cos222xyx得：曲线C 的普通方程为0622xyx5 分第 4 页 共 4 页理科数学（2）由点)0,1(P可知点 P 在直线l 上则直线l 的参数方程可写为：tytx23211（t 为参数）6 分将直线参数方程带入曲线C 的普通方程为0622xyx得：0522tt不妨假设BA,两点对应的参数分别为21,tt，则：522121tttt，8 分624)(2122121ttttttPBPA10 分23.（10 分）解：（1）由题意：当1x时，32)(xxf，则：532 x，解得1x此时11x当21 x时，1)(xf，则：5)(xf恒成立此时21 x当2x时，32)(xxf，则：532x，解得4x此时42 x综上所述，不等式5)(xf的解集为4,15 分（2）由绝对值三角不等式得1)2(121)(xxxxxf）（7 分（当且仅当02(1）（xx时等号成立）因为函数)(xf的最小值为t1t1cba由柯西不等式得：9)111()(111(1112 cbacbacba9111cba，当且仅当13abc时，“=”成立10 分
