1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第卷和第II卷两部分，共4页。满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带
2、纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：如果事件A，B互斥，那么第卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1) 已知是虚数单位. 若，则(A) (B) (C) (D) (2) 设集合，则 (A) (B) (C) (D) (3) 函数的定义域为(A) (B) (C) (D) (4) 用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是(A) 方程没有实根(B) 方程至多有一个实根(C) 方程至多有两个实根(D) 方程恰好有
3、两个实根(5) 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是(A) (B) (C) (D) (6) 已知函数的图象如右图，则下列结论成立的是(A) (B) (C) (D) (7) 已知向量. 若向量的夹角为，则实数 (A) (B) (C) 0(D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为(A) 6(B) 8(C) 12(D) 18(9) 对于函数，若存在常数
4、，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(A) (B) (C) (D) (10) 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为(A)5(B) 4(C) (D) 2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.开始输入x是结束否输入x(11) 执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为.(12) 函数的最小正周期为 .(13) 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。(14) 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为。(15) 已知双
5、曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。三、解答题：本大题共6小题，共75分.(16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100（）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(17) （本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.（）求的
6、值；（II）求的面积.(18)（本小题满分12分）AFCDBPE如图，四棱锥中，分别为线段的中点. （）求证：；（II）求证：.(19) （本小题满分12分）在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（）求数列的通项公式；（II）设，记，求.(20) （本小题满分13分）设函数 ，其中为常数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（II）讨论函数的单调性.(21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（）求椭圆的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点.（i）设直线B
7、D，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.2014年普通高等学校招生考试（山东卷）文科数学试题参考答案一、 选择题（1）A （2）C （3） C （4）A （5）A（6）D （7）B （8）C （9）D （10）B二、填空题（11）3 （12） （13）12 （14）（x-2）2+(y-1)2=4 (15)y=x三、解答题 （16） 解：（）因为 样本容量与总体中的个体数的比是=, 所以 样本中包含三个地区的个体数量分别是： 50=1, 150=3, 100=2. 所以 A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2 （）设6件来自A，B，C三个地区的样
8、品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2， 则 抽取的这2件商品构成的所有基本事件为： A，B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2, B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3, B2,C1,B2,C2,B3,C3,B1,C2,C1,C2, 每个样品被抽到的机会均等，因此这些事件的出现是等可能的， 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则 事件D包含的基本事件有 B1,B2，B1,B3，B2,B3，C1,C2，共4个， 所以 P（D）=,即这2件商品来自相同地区的概率为.(17)解：（I）在：ABC中由题意可知=又因为B=A+所以sinB=sin（A+）=cos
9、A=由正弦定理可知b=3（）由B=A+ CosB=cos（A+）=-sinA=由A+B+C=，得C=-（A+B）所以sinC=sin-（A+B）=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB =1/3因此，ABC的面积S=absinC=（18）证明：设AC由于E为AD的中点，所以AE/BC因此四边形ACBE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点因此在PAC中，可得AP/OF又OF属于平面BEF，AP不属于平面BEF所以AP/平面BEF所以 四边形因此 BECD。又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE。因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC。又APAC=A，AP，AC包含于平
10、面PAC，所以BE平面PAC。（19）解：（I）由题意知 即 解得 所以，数列an的通项公式为（）由题意知 bn=所以，Tn=因为，可得，当n为偶数时， 当n为奇数时，所以，当a 0时，函数f（x）在（0，+）上单调递增加；当a时，函数f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，F(x)在(0, ),(,+)上单调递减，在（，）上单调递增。（20） 解：（1）由题意知 时，. 此时 可得 所以 在 处的切线方程为 （2） 函数 的定义域为. 当 ，函数在上单调递增当时，令由于当时，函数在上单调递减时，函数在上单调递减当时，设 是函数的两个零点则，由所以 时，函数单调递减 时， ，函数单调递增 时
11、，函数单调递减（21）解：（I）由题意知=，可得=4，椭圆C的方程可化简为=将y=x代入可得x=因此=，可得a=2.因此b=1,所以椭圆C的方程式为+=1（II）（i）设A（，）（0），D(，)，则B(-，-),因为直线AB的斜率=又ABAD，所以直线AD的斜率K=-设直线AD的方程为y=kx+m由题意知 k0，m0由 可得（1+4）+8mkx+4-4=0所以+=-，因此+=k(+)+2m=所以=-=所以，直线BD的方程为令y=0,得x=3,即M(3,0).可得，所以，即=因此，存在常数=使得结论成立。（2）直线BD的方程，令x=0,得y=，即N(0，)由（1）知，M(3,0)可得OMN的面积S=3因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以OMN面积的最大值为
