1、专题2 不等式与线性规划第4练 用好基本不等式基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 1.(2015四川)如果函数 f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间12，2 上单调递减，那么 mn 的最大值为()A.16 B.18 C.25 D.812 体验高考 解析 123452.(2015陕西)设 f(x)ln
2、 x,0ab，若 pf(ab)，qf ab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrpB.qrpC.prqD.prq解析 123453.(2015 天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.解析 log2alog2(2b)log2a(1log2b)123454解析答案 log2a1log2b22log2ab122log281224，当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.123454.(2016江苏)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是
3、_.8 答案 解析 12345解析答案 5.(2016上海)设 a0，b0.若关于 x，y 的方程组axy1，xby1无解，则ab 的取值范围是_.ab2 ab2.解析 由已知，ab1，且ab，(2，)返回 高考必会题型 题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式
4、的形式.常见的转化方法有：(1)x bxaxa bxaa(xa).(2)若axby1，则 mxny(mxny)1(mxny)axby manb2 abmn(字母均为正数).解析答案 例1(1)已知正常数a，b满足1a2b3，则(a1)(b2)的最小值是_.解析 由1a2b3，得 b2a3ab，(a1)(b2)2abab24ab2，又 a0，b0，1a2b22ab，ab89(当且仅当 b2a 时取等号)，(a1)(b2)的最小值为 4892509.509解析答案(2)求函数yx27x10 x1(x1)的最小值.yt127t110t解 设x1t，则xt1(t0)，t4t52 t4t 59.当且仅当
5、 t4t，即 t2，且此时 x1 时，取等号，点评 ymin9.2x5y20，2 10 xy20，即 xy10，由基本不等式，得 2x5y2 10 xy.解析答案 变式训练1 已知x0，y0，且2x5y20，(1)求ulg xlg y的最大值；解 x0，y0，当且仅当2x5y时等号成立.因此有2x5y20，2x5y，解得x5，y2，此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.12075yx 2xy 120725yx 2xy 72 1020，解 x0，y0，1x1y1x1y 2x5y20解析答案(2)求1x1y的最小值.当且仅当
6、5yx 2xy 时等号成立.由2x5y20，5yx 2xy，解得x10 10203，y204 103.1x1y的最小值为72 1020.题型二 基本不等式的综合应用 例2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件 解析(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求
7、：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？点评 解 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 Sxy，依题设，得40 x245y20 xy3 200，由基本不等式得 3 2002 40 x90y20 xy120 xy20 xy120 S20S，则 S6 S1600，即(S10)(S16)0，故 0 S10，从而 0S100，所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是 40 x90y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为 15 米.解析答案 变式训练2(1)已知直线axby60(a0，b0)被圆x
8、2y22x4y0截得的弦长为2 5，则ab的最大值是_.解析答案 解析 圆的方程变形为(x1)2(y2)25，由已知可得直线axby60过圆心O(1,2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2 2ab，ab92(当且仅当 a2b 时等号成立)，故 ab 的最大值为92.92(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)13x210 x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)51x10 000 x1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千
9、件)的函数解析式；解析答案 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 当0 x80时，L(x)13x240 x250.对称轴为x60，即当x60时，L(x)最大950(万元).当x80时，L(x)1 200(x10 000 x)1 200210 0001 000(万元)，当且仅当x100时，L(x)最大1 000(万元)，综上所述，当x100时，年获利最大.解析答案 返回 1.已知 x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数列，则 xy()A.有最大值 e B.有最大值 eC.有最小值 e D.有最小值 e 高考题型精练 12345解析 678910 11 12解
10、析 x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数列，ln xln y14ln xln y22，ln xln yln xy1xye.2.若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.245B.285 C.5D.6 解析 12345678910 11 12 3.若正数 a，b 满足1a1b1，则 1a1 9b1的最小值是()A.1 B.6C.9 D.16解析 12345678910 11 12 4.已知 a0，b0，若不等式m3ab3a1b0 恒成立，则 m 的最大值为()A.4B.16C.9D.3 解析 12345678910 11 12 5.已知 x，y(0，)，2x3(1
11、2)y，若1xmy(m0)的最小值为 3，则 m等于()A.2 B.2 2C.3 D.4解析 12345678910 11 12 6.已知直线 axbyc10(b，c0)经过圆 x2y22y50 的圆心，则4b1c的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2解析 12345678910 11 12 7.已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.12345678910 11 12答案 6解析 12345678910 11 12解析答案 8.已知三个正数 a，b，c 成等比数列，则acb bac的最小值为_.解析 由条件可知 a0，b0，c0，且 b2ac，即 b ac，故acb 2 a
12、cb2，令acb t，则 t2，所以 yt1t在2，)上单调递增，故其最小值为 21252.529.已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.12345678910 11 12解析答案 4,12解析 2xy6(x24y2)，而 2xyx24y22，6(x24y2)x24y22，x24y24(当且仅当x2y时取等号)，又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)，综上可知4x24y212.10.当 x(0,1)时，不等式 41xm1x恒成立，则 m 的最大值为_.12345678910 11 129 答案 解析 1234567
13、8910 11 12解析答案 11.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元.(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；12345678910 11 12解析答案(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解 y2 340 x1318x26 10，当且仅当2 340 x13x18，即 x18 10时等号成立.故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元.12.某种商品原来每件售价为
14、25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？12345678910 11 12解析答案 解 设每件定价为t元，依题意，有8t2510.2 t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.12345678910 11 12解析答案 返回(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元.公司拟投入16(x2600)万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
