1、专题16数列求和倒序相加1. 已知函数，当、，且时，总有求的值设，求2. 一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立已知函数的定义域为，其图象关于点对称求常数的值；解方程：；求证：3. 已知函数在上的最大值与最小值之和为，记求的值；求证：为定值；求的值4. 已知函数若，求的值；求的值5. 设，是函数的图象上的任意两点当时，求的值；设，其中，求；6. 已知函数满足，求实数和的值；若，其中，求的值7. 已知且是上的奇函数，且求的解析式；若关于的方程在区间内只有一个解，求取值集合；设，记，是否存在正整数，使不等式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由8. 设，且
2、为奇函数求实数的值；设函数，令，求；是否存在实数，使得不等式对任意的及任意锐角都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】解取，则，所以因为当、，且时，总有，所以，因为，故两式相加得：，所以【解析】本题考查函数的求值，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于较易题由题意，可令，代入函数，计算即可得到；由当、，且时，总有，运用倒序相加求和方法，即可得到2.【答案】解：函数的图象关于点对称，；解：由知，或；证明：设可写成两式相加，由于，所以【解析】本题考查了函数的对称性，考查倒序相加法求和及求解对数方程，属于中档题利用函数的图象关于点对称，可得，代入化简，
3、可得结论；由知，代入化简方程，可求方程的解；利用，倒序相加，可得结论3.【答案】解：函数在上的最大值与最小值之和为，而函数在上单调递增或单调递减，解得，或舍去，；证明：由知，由知，令则得 【解析】本题考查了指数函数的单调性及其应用，利用指数运算性质化简求值，倒序相加的求和思想，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力因为函数在上单调递增或单调递减，所以最大值和最小值一定取到端点处，列方程即可解得值；利用指数运算性质，代入函数解析式即可化简证明；注意到和式中的自变量的特点，利用的结论，运用倒序相加即可得到4.【答案】解：函数，【解析】本题主要考查与指数函数有关的基本运算，考查了函
4、数值的求法以及倒序相加法求和，属于中档题由函数，将和代入，结合指数的运算性质，可得当时，由的结论，两两结合，即可得到答案5.【答案】解：，是函数的图象上的任意两点，且时，即，；由可得，得，【解析】本题考查函数值的求法，数列的前项和的求法，考查运算能力，解题时要注意倒序求和法的合理运用由，推导出；由可得，利用倒序相加求和法得到，由此能求出6.【答案】解：满足，解得，；由可知，而，【解析】本题考查了函数的解析式、倒序相加求和，考查了学生的观察分析能力待定系数法联立方程组可解得，的值，由，先求出的值，由此发现规律即可求得7.【答案】解：由奇函数的性质可得：，解方程可得：此时，满足，即函数是奇函数，或
5、负值舍去，的解析式为：；函数的解析式为，结合指数函数的性质可得，是定义域内的增函数，由，即，由是定义域内的增函数，可得在区间内只有一个解转化为在区间内只有一个解当时，符合题意；当时，当时，解得，此时对称轴为直线，满足题意；当时，若，解得且，显然满足题意；若，解得，此时对称轴为直线，可得在内有两解，不满足题意综上，取值集合或函数是奇函数关于对称，得，即，当时，等号成立，当时，时，解得且，当时，时，解得且，综上，不存在满足条件的，所以不存在正整数，使不等式对一切均成立【解析】本题考查了函数的奇偶性，单调性的应用，不等式恒成立问题，考查转化思想，属于较难题利用奇函数得到关于实数的方程，解方程求得，再代入的值求出；结合函数的单调性和函数的奇偶性转化求解即可；由函数的对称性及图象平移规律可得，代入，分类讨论即可求解8.【答案】解：依题意，解得，经检验符合题意；，又，；易知在上为增函数，则原不等式等价于，即，由于，故，两边同时除以得，令，又令，则，令，由于，故，而当时，单调递减，其有最小值，存在符合要求的实数，且【解析】本题考查函数性质的综合运用，考查换元思想，构造思想，化归与转化思想，考查运算求解能力，属于较难题目由函数为奇函数知，由此求得的值，注意需验证；易知，则利用倒序相加法可得；原不等式可等价为，再通过换元的思想求得的最小值即可
