1、3 空间直角坐标系31 空间直角坐标系的建立32 空间直角坐标系中点的坐标33 空间两点的距离公式考 纲 定 位重 难 突 破1.理解空间直角坐标系的定义及画法2.能根据条件建立适当的空间直角坐标系，并能用坐标表示点3.掌握空间中的点关于特殊点、线、面对称的点的坐标4.掌握并能推导空间两点间的距离公式5.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并能求出给定点的坐标难点：空间点的对称问题及应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、空间直角坐标系1空间直角坐标系
2、及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点 O 引三条两两垂直，且有相同单位 长 度 的 数 轴：，这 样 就 建 立 了 一个.(2)相关概念：叫作坐标原点，叫作坐标轴通过的平面叫作坐标平面，分别称为平面、平面、平面x轴、y轴、z轴空间直角坐标系Oxyz x轴、y轴、z轴点O每两个坐标轴xOyyOzzOx2右手直角坐标系伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 90指向正方向，此时大拇指的指向即为正向二、空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中，任意一点 P 的坐标记为，第一个是坐标，第二个是坐标，第三个是坐标三、空间两点间的距离公式设空间任意两点 A
3、(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则|AB|.特别地，P(x，y，z)与原点 O(0,0,0)的距离|OP|.x轴y轴z轴(x，y，z)xy zx1x22y1y22z1z22x2y2z2四、空间中的中点坐标公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB 的中点坐标是x1x22，y1y22，z1z22.双基自测1在空间直角坐标系中，已知点 M(1,2,3)，过该点作 x 轴的垂线，垂足为 H，则 H点的坐标为()A(1,2,0)B(1,0,3)C(1,0,0)D(0,2,3)解析：因为垂足 H 在 x 轴上，故点 H 与点 M 的横坐标相同，其余两个坐标均为 0.答
4、案：C2已知点 A(3,1，2)，B(7,3,2)，则线段 AB 的中点坐标是_解析：由两点 P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的中点坐标为(x1x22，y1y22，z1z22)知线段 AB 的中点坐标是(5,2,0)答案：(5,2,0)3已知点 B 是点 A(3,4,5)在坐标平面 xOz 内的投影，则点 B 的坐标是_解析：点(x，y，z)在 xOz 平面的投影点的纵坐标必为 0，而横、竖坐标不变答案：(3,0,5)4已知点 A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则ABC 的边 AB 上的中线长等于_解析：由已知得 AB 边的中点 M2，32，3，于是中线|CM
5、|202321 2302 532.答案：532探究一 空间中点的坐标及其位置典例 1 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 8，E 是 A1C1的中点，且|BF|3|FB1|.建立空间直角坐标系并求点 A，C1，B1，E，F的坐标解析 如图，以点 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系易得 A(8,0,0)，C1(0,8,8)，B1(8,8,8)由于点 E 在 xOy 平面上的投影为 AC 的中点，所以 H(4,4,0)，又|EH|8，所以点 E 的 z 坐标为 8.因此点 E 的坐标为(4,4,8)点 F 在平面 xO
6、y 上的投影为 B(8,8,0)，因为|BB1|8，|BF|3|FB1|，所以|BF|6，即点 F 的 z 坐标为 6.所以点 F 的坐标为(8,8,6)在空间直角坐标系中确定点 M 的坐标的三种方法：(1)过 M 作 MM1垂直于平面 xOy，垂足为 M1，求出 M1 的 x 坐标和 y 坐标，再由射线M1M 的指向和线段 M1M 的长度确定 z 坐标(2)构造以 OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点 M 的位置，可以确定点 M 的坐标(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 M 在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点 M 的坐标1.如图，AF
7、，DE 分别是O，O1 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD8，BC 是O 的直径，ABAC6，OEAD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点 A，B，C，D，E，F 的坐标解析：因为 AD 与两圆所在的平面均垂直，OEAD，所以 OE平面 ABC.又 AF 平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 OEAF，OEBC.又 BC 是圆 O 的直径，所以 OBOC.又 ABAC6，所以 OABC，BC6 2.所以 OAOBOCOF3 2.如图所示，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OF，OE 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则 A(0，3 2，0)，B(3 2，0,0)
8、，C(3 2，0,0)，D(0，3 2，8)，E(0,0,8)，F(0,3 2，0)探究二 空间中点的对称问题典例 2 求点 M(a，b，c)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标解析 点 M 关于 xOy 平面的对称点 M1 的坐标为(a，b，c)，关于 xOz 平面的对称点 M2 的坐标为(a，b，c)，关于 yOz 平面的对称点 M3的坐标为(a，b，c)关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，b，c)，关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(a，b，c)，关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(a，b，c)，关于原点对称的点 M7 的坐标为(a，b，c)空间对称点的坐标规律：空间对
9、称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问题时，注意依靠 x 轴、y 轴、z 轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”如关于 x 轴对称的点 x 坐标不变，y 坐标、z 坐标变为原来的相反数；关于 xOy 坐标平面对称的点 x，y不变，z 坐标相反特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数2在长方体 OABC-DABC中，|OA|3，|OC|4，|OD|2，以 O 为原点，以 OA，OC，OD所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z
10、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示(1)求线段 AC 的中点 M 的坐标；(2)求点 B关于 y 轴对称点的坐标，关于 yOz 平面对称点的坐标；(3)求点 B关于点 P(2，1，4)对称点的坐标解析：(1)由于|OA|3，|OC|4，|OD|2，所以 A(3,0,2)，C(0,4,0)，于是 AC 的中点 M 的坐标为32，2，1.(2)易知 B的坐标为(3,4,2)所以B关于y轴对称点的坐标为(3,4，2)；B关于yOz平面对称点的坐标为(3,4,2)(3)设 B关于 P(2，1，4)对称的点为 B1(x0，y0，z0)，则 P 是线段 BB1 的中点，由中点坐标公式得 23x02，14y
11、02，42z02，解得 x01，y06，z010，于是 B1(1，6，10)，即点 B关于点 P(2，1，4)对称点的坐标为(1，6，10)转化思想和函数思想在空间中的应用典例 已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD平面 ABEF，点 M在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a 2)(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时，MN 的长最小？解析 因为平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEFAB，ABBE，所以 BE平面 ABCD，所以 AB、BC、BE 两两垂直过点 M 作 MGAB，MHBC，垂足分别为 G、H，连接 N
12、G，易证 NGAB.因为 CMBNa，所以 CHMHBGGN 22 a，所以以 B 为原点，以 BA、BE、BC 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 M22 a，0，1 22 a，N22 a，22 a，0.(1)|MN|22 a 22 a 20 22 a 21 22 a0 2 a2 2a1a 22212.(2)由(1)得，当 a 22 时，|MN|最短，最短为 22，这时 M、N 恰好为 AC、BF 的中点感悟提高(1)在空间问题中若涉及距离问题以及求最值问题，经常通过建立直角坐标系把空间问题转化成代数问题利用函数思想求最值，充分体现转化思想和函数思想的应用
13、(2)距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：求空间任意两点间的距离；判断几何图形的形状；利用距离公式求最值随堂训练1点 P(3,0,4)位于()Ax 轴上 By 轴上CxOz 平面内DxOy 平面内解析：根据 P 点的坐标特点判断答案：C2点 A(10,4，2)关于点 M(0,3，5)的对称点坐标是()A(10,2,8)B(10,3，8)C(5,2，8)D(10,2，8)解析：利用中点坐标公式可得答案：D3如图，正方体 AOCD-ABCD的棱长为 2，由图中的点 M 关于 y 轴的对称点的坐标为_解析：因为 D(2，2,0
14、)，C(0，2,2)，所以线段 DC的中点 M 的坐标为(1，2,1)，所以点 M 关于 y 轴的对称点的坐标为(1，2，1)答案：(1，2，1)4已知点 A(1，a，5)，B(2a，7，2)(aR)，则|AB|的最小值是_解析：|AB|2(12a)2(a7)2(52)25a210a595(a1)254，由于 aR，所以当 a1 时，|AB|取得最小值 543 6.答案：3 65在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,1)和 B(1,0，3)，试问：(1)在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|MB|?(2)在 y 轴上是否存在点 M，使MAB 为等边三角形？若存在，求出点 M 的坐标解析：(1
15、)假设在 y 轴上存在点 M，使得|MA|MB|.M 在 y 轴上，可设点 M 的坐标为(0，y,0)由|MA|MB|，得 32y212 12y232，显然，此式对任意的 yR 恒成立，说明 y 轴上所有的点都满足关系|MA|MB|.(2)假设在 y 轴上存在点 M，使MAB 为等边三角形由(1)，知 y 轴上任意一点都有|MA|MB|，只要满足|MA|AB|，就可以使得MAB 是等边三角形|MA|32y212 10y2，|AB|132002312 20，10y2 20，解得 y 10，在 y 轴上存在点 M，使得MAB 为等边三角形，符合题意的点 M 的坐标为(0，10，0)或(0，10，0)课时作业
