1、江苏省南京市十校2020届高三数学下学期5月调研试题（含解析）一、填空题1. 已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】利用一元二次不等式解法求得集合，根据并集定义可求得结果.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2. 已知复数的实部为0，其中为虚数单位，为实数，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数乘法运算和实部定义可构造方程求得，进而根据共轭复数定义得到结果.【详解】的实部为，解得：，.故答案为：.【点睛】本题考查共轭复数的求解问题，涉及到复数的乘法运算和复数实部的定义，属于基础题.3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在
2、期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_【答案】【解析】试题分析：因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小为乙组同学，方差为考点：方差4. 运行如图所示的伪代码，则输出的的值为_.【答案】25【解析】【分析】运行代码，根据循环结构依次运算即可得到结果.【详解】运行代码，输入，满足，循环；则，满足，循环；则，满足，循环；则，满足，循环；则，满足，循环；则，不满足，结束循环，输出.故答案为：.【点睛】本题考查根据循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用组合数的知识
3、计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】从名同学中任选名学生，共有种选法，至多有一名男生情况有种选法，至多有一名男生的概率.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到组合数的应用，属于基础题.6. 设等比数列的前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】由等比数列片段和性质可得到，成等比数列，根据等比数列性质可推导得到，代入所求式子可整理得到结果.【详解】由得：，此时由等比数列性质知：，成等比数列，设其公比为，.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列片段和性质的应用，属于中档题.7. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_.【答案】
4、3【解析】【分析】由抽象函数关系式可确定关于对称，结合函数为奇函数可知是周期为的周期函数，由此可确定各个函数值，代入可求得结果.【详解】，关于对称，又为奇函数，是周期为的周期函数，是定义在上的奇函数， .故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题；关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点.8. 将函数图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简函数为，根据三角函数左右平移原则可得到平移后解析式，进而根据奇偶性构造方程求得.【详解】，向左平移个单位得：，
5、为偶函数，解得：，又，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用正弦型函数的奇偶性求解参数值的问题，涉及到利用诱导公式和二倍角公式化简三角函数、三角函数的平移变换等知识，属于三角函数部分知识的综合应用问题.9. 双曲线的左，右焦点分别为，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用通径长和焦距的关系可构造齐次方程，从而求得离心率，利用可求得渐近线斜率，进而得到结果.【详解】轴且直线过焦点，为通径，则，即，解得：，又，双曲线渐近线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，涉及到双曲线通径长、离心率的应用，考查了双曲线的几何性质
6、，属于基础题.10. 如图，五边形由两部分组成，是以角为直角的直角三角形，四边形为正方形，现将该图形以为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为_.【答案】【解析】【分析】利用圆锥圆柱侧面积相等可构造方程，代入圆锥和圆柱体积公式即可求得结果.【详解】设正方形的边长为，长为，则圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，由得：，解得：，圆锥和圆柱的体积之比为.故答案为：.【点睛】本题考查圆锥和圆柱的侧面积与体积的相关问题的求解，关键是能够利用圆锥和圆柱侧面积相等构造方程求得圆锥的高与底面半径之间的关系.11. 在平行四边形ABCD中，若，则_.【答案】21【解析】
7、【分析】根据图示和平面向量基本定理，得到，然后得出，代入数据即可.【详解】如图所示：因为，所以，又，又，所以，所以，代入数据可得.故答案为：21【点睛】本题主要考查平面基本定理，以及平面向量数量积的求法，解题的关键是选择适当的基底，用基底表示出所求向量.12. 已知在锐角中，角的对边分别为.若，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可求得，利用和两角和差正切公式可得到，代入所求式子后可化简为关于的函数，利用基本不等式即可求得最小值.详解】，由正弦定理可得：，为锐角三角形，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形中的最值问题
8、的求解，涉及到正弦定理边化角、两角和差正弦和正切公式的应用等知识；关键是能够利用一个变量表示出所求式子，进而得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得和的最小值.13. 已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】当直线斜率不存在时，易求得；当直线斜率存在时，设其方程为，利用直线与圆有交点可求得；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据和可整理得到，满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得；当时，知；当时，可将表示为关于的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设，当直线斜率不存在
9、时，直线方程为，此时，满足，此时；当直线斜率存在时，设其方程为：，与圆有两个不同交点，即，由得：，设，则，.，解得：，由得：，整理得：，整理得：，当时，；当时，代入式得：，解得：，当时，单调递增，在上单调递减，综上所述：弦中点的横坐标的取值范围为.故答案：.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.14. 函数的图象
10、恰好经过三个象限，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先分析得当时，；当时，记，利用导数分析的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解的取值范围即可.【详解】当时，；当时，；且，记，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，.所以的图象经过第一、二两个象限，不符合题意；当时，令，得.当和时，单调递增；当时，单调递减.因为函数的图象经过三个象限，函数的极大值为，则该函数的极小值为，解得，此时，；当时，令，得.当和时，单调递增；当时，单调递减.因为函数的图象经过三个象限，函数的极小值，则该函数的极大值为，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
11、【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象，综合性较强，属于难题.二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可得，进而得到结果；（2）利用余弦定理和正弦定理解三角形求得和，由大边对大角的特点可知为锐角，得到，根据二倍角公式得到，利用，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】（1），由正弦定理得：，即，.（2）由余弦定理得：，由正弦定理得：，为锐角，.，.【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换知识的综合应用问题，涉及到正弦定理边化角、正余弦定理解三角形、两角和差公式和二
12、倍角公式的应用等知识，考查了学生的运算求解能力.16. 如图,在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱上的一点.（1）求证：；（2）若是的中点，且平面，求证：是棱中点.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面垂直性质可证得结论；（2）连接交于点，可知且，根据平行关系可知共面，利用线面平行的性质可证得，从而得到四边形为平行四边形，由长度关系可证得结论.【详解】（1）侧面是矩形，又平面平面，平面平面，平面，面，又面，.（2）连接交于点，连接，四边形为平行四边形，为中点，又为中点，且，共面，平面，平面，平面平面，四边形为平行四边形，即是棱中点
13、.【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、由线面平行关系证明其他结论的问题，涉及到线面垂直和面面垂直的判定与性质、线面平行的性质定理的应用，属于常考题型.17. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形与扇形组成，米，米，经营者决定在点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点在弧上，点在线段上.设.（1）求该监控摄像头所能监控到的区域面积关于的函数关系式，并求出的取值范围；（2）求监控区域面积最大时，角的正切值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）分别求得扇形和四边形的面积，加和得到，根据矩形长和宽可确定最小值，进而确定的范围；（2）设，利
14、用导数可求得的单调性，通过求得可求得，并确定所求的的正切值.【详解】（1）扇形的面积为.四边形的面积为,阴影部分的面积为.，其中，.（2）设，则，令，解得：，设其解为，即，则在上单调递减，在上单调递增，此时监控区域面积最大时，角的正切值为.【点睛】本题考查建立合适的函数模型求解实际问题，涉及到利用导数求解函数的最值的问题，关键是能够通过导数求得函数的单调性和最值点，考查学生对于函数和导数知识的实际应用的能力.18. 已知椭圆的左焦点为，点为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上一点，且直线的倾斜角为，已知椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上异于的两点，若直线的斜率等于直线斜率的倍，求四边
15、形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率可求得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，进而确定，由此得到椭圆方程；（2）设方程为，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得点坐标，同理可得点坐标，由整理可得关于的函数的形式，利用对号函数可求得的最大值.【详解】（1）椭圆的离心率，设椭圆右焦点为，连接，则，在中，由余弦定理得：，即，又 解得：，椭圆的方程为.（2）由（1）知：，设直线斜率为，则直线方程为，由得：，则，设，则，由可得直线方程为，同理可求得：，由对称性，不妨设，则四边形的面积：，令，则（当且仅当，即时取等号），的最大值为.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用的
16、问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中四边形面积最值的求解问题；求解面积最值的关键是能够将面积表示为关于某一变量的函数的形式，利用对号函数求得四边形面积的最大值.19. 已知函数，.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若，且是函数的一个极值点，确定的单调区间；（3）若，且对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.【解析】【分析】（1）求得和后，即可利用导数的几何意义得到所求的切线方程；（2）根据极值点的定义可确定，由此可得，分别在和两种情况下根据导函数的正负确定原函数的单调区间；（3）将恒成
17、立的不等式化为，当时，由恒成立可知，满足题意；当时，由时可知，满足题意；由零点存在定理可验证出和时存在的区间，不满足题意；综合几种情况可得最终结果.【详解】（1）当，时，则，在处的切线方程为，即.（2）当时，是的一个极值点，令，解得：，是一个极值点，即，当，即时，若和，；若，的单调递增区间为，单调递减区间为；当，即时，若和，；若，的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）当，时，对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则，当时，对任意，恒成立，在上单调递减，满足题意；当时，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，
18、i.当时，在上单调递减，满足题意；ii.当时，由，使得，则在上单调递增，当时，不满足题意；当时，由，当时，使得，在上恒成立，在上单调递增，在上单调递增，不满足题意；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、讨论含参数函数的单调区间、恒成立问题的求解；本题中恒成立问题的求解关键是能够通过分类讨论的方式，结合零点存在定理，确定函数的单调性，进而得到参数的取值范围.20. 设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.（1）数列的通项公式；（2）是否存在使得成等比数列，且成等差数列？若存在，试求的值；若不存
19、在，请说明理由；（3）设数列，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）存在，；（3）【解析】【分析】（1）代入求得，利用可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到和，进而得到；（2）假设存在满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到，由可求得的范围，结合得到，进而求出；（3）将问题转化为当为偶数时，构造函数和，可利用导数说明与的单调性，进而确定的取值，同时得到的范围，从而求得结果.【详解】（1）数列是非零数列，.当时，；当且时，是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，.（2）设存在，满足题意，成等比数列，；成等差数列，消
20、去可得：，解得：，.（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，两边取自然对数化简可得：，显然，设，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，当时，是递减数列，又，是的最大值，；设，则，是递减数列，当时，当时，当时，存在，使得恒成立；当时，不成立，至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题.21. 求椭圆在矩阵对应
21、的变换作用下所得曲线的方程.【答案】【解析】分析】设是曲线上的任一点，根据对应变换原则可求得椭圆上的点满足，代入椭圆方程即可得到结果.【详解】设是曲线上的任一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则，即，代入得：.即曲线的方程为.【点睛】本题考查根据矩阵对应变换求解曲线方程的问题，属于常考题型.22. 在极坐标系中,已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程.【答案】【解析】【分析】将直线方程和点化为直角坐标，由此得到所求圆的直角坐标方程，再化回极坐标方程即可.【详解】由直线得：，直线的直角坐标方程为：，直线与轴交点为，又的直角坐标为，圆的半径，圆的方程为：，即，或，又表
22、示极点，也在圆上，圆的极坐标方程为：.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题.23. 已知正数满足，求的最小值.【答案】27【解析】【分析】根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】（当且仅当时取等号），的最小值为.【点睛】本题考查利用基本不等式求积的最小值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合基本不等式的形式.24. 如图，直四棱柱的底面是菱形， ，分别是，的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的特点可证得，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果；（2）利用二面
23、角的向量求法可求得结果.【详解】（1）直四棱柱的底面是菱形，为的中点，又，.则以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则，,，异面直线与所成角的余弦值为.（2）由（1）得：，则，设为平面的法向量，则，令，则，；设为平面的法向量，则，令，则，；，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查空间向量法求解立体几何中的异面直线所成角、二面角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.25. 已知数列满足，其中为常数，.（1）求的值（2）猜想数列的通项公式，并证明.【答案】（1），；（2）猜想：，证明见解析【解析】【分析】（1）代入可构造方程求得，代入得到；（2）根据数列中的项可猜想，利用数学归纳法，结合组合数的运算与性质可证得结论.【详解】（1），解得：，.（2）由，可猜想：.证明：当时，由（1）知结论成立；假设时，结论成立，则有，那么当时，.由得：=又，于是，故时结论也成立.由得，.【点睛】本题以数列为载体，重点考查了组合数的运算与性质，涉及到利用数学归纳法证明数列通项公式的问题；本题计算量较大，要求学生对于组合数的运算性质有较好的掌握.- 28 -
