1、天津市滨海新区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷两部分，满分150分，考试时间100分钟.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将卷答案涂在答题卡上，卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I卷 选择题 （60分）注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】A【解析】【分析】先求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由可得：，所以斜率为，设倾斜角为，则，因为，所以，故选：A2. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ）A. 1B. 1C. 2D. -2【答案】D【解析】【分析】由两点的斜率公式计算即可.详解】解：由已知得.故选：D【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题.3. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据抛物线焦点在轴上，焦点坐标为即可求解.【详解】由可知抛物线焦点在轴上，且，所以，故焦点坐标为：，故选：D4. 等差数列的前
3、项和为，已知，则的值是（ ）A. 48B. 60C. 72D. 24【答案】A【解析】【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据，代入求值.【详解】由条件可知，解得：，.故选：A5. 已知等比数列an中，a17，a4a3a5，则a7（）A. B. C. D. 7【答案】B【解析】【分析】先根据等比数列的性质求出a4，再根据通项公式求出首项，即可求出a7的值【详解】解：等比数列an中，a17，由a4a3a5a42，解得a41，a40（舍去），a4a1q3，q3，a7a1q67（）2，故选：B6. 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天
4、只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）A. 15天B. 16天C. 17天D. 18天【答案】A【解析】【分析】由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n项和即可求出.【详解】设他们每天收到的捐款形成数列，则由题可得是首项为10，公差为10的等差数列，解得（舍去）或，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.7. 圆与圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含【答案】D【解析】【分析】根据两圆的方程，求得圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可求解.【详解】由圆与圆，可得，
5、则，又由，所以，所以圆和圆的位置关系式内含.故选：D.8. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先设点，然后根据条件列式，求的值.【详解】设，则，解得：.故选：B9. 已知等差数列的前项和为，公差取得最大值时的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出等差数列的前n项和，利用二次函数的性质即可求出.【详解】，可得对称轴为，开口向下，当时，取得最大值为.故选：A.【点睛】求等差数列前n项和最值：方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同
6、号时，在取最值.10. 如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,即可求得答案.【详解】在四面体中,是的中点,是的中点故选:C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.11. 已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将面积化为，即可得点C到直线的距离即为最小，由此求出M坐标，由四点共圆，求出该圆方程，和圆C方程相减可得直线
7、AB方程.【详解】将化为标准方程为，故圆心，半径为2，可得，则，为直线上的动点，则可得，此时取得最小值为2，此时，则直线方程为，即，联立MC和l可得，可得四点共圆，且圆心为MC中点，半径为，则该圆方程为，将两圆联立相减可得直线AB方程为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当，面积最大，求出点M坐标，且共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦AB方程.12. 已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：当轴时， 离心率 点的横坐标为定值上述结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当轴时，
8、求出，判定不正确；通过求解离心率，可判定正确；设的内切圆半径为，利用面积公式求得，可判定正确；设内切圆与,的切点分别为，结合双曲线的定义，求得的横坐标，可判定正确.【详解】当轴时，可得，此时，所以不正确；因为，所以，整理得，可得（其中为双曲线的离心率，），所以，所以正确；设的内切圆半径为，由双曲线的定义可得，其中，因为，所以，解得，所以正确；设内切圆与,的切点分别为，可得，因为，可得，则点的坐标为，所以点横坐标为，所以正确.故选：D【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程
9、，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13. 已知直线与平面平行，直线的一个方向向量为，向量与平面垂直，则_.【答案】2【解析】【分析】根据向量的垂直关系计算即可.【详解】由题可知，解得.故答案为：2.14. 若直线与圆相切，则_【答案】【解析】【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.【详解】由题意圆的方程可转化为，所以该圆圆心为，半径为，
10、所以圆心到直线的距离，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.15. 已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据递推关系依次求出即可.【详解】，.故答案为：.16. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为_.【答案】或【解析】【分析】由双曲线方程的特点可得，解不等式即可求解.【详解】若方程表示双曲线，则，解得：或，故答案为：或.17. 如图，在棱长为1的正方体中，求点到直线的距离_.【答案】【解析】分析】以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，取，从而可得点到直线的距离.【详解】以为坐标原点，分别以，
11、所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，1， ，1， ，取，则点到直线的距离为.故答案为：.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18. 已知抛物线的焦点为，并且经过点，经过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则=_，线段的长为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将点代入抛物线可得的值，求出直线的方程与抛物线方程联立可得的值，利用过焦点
12、的弦长公式即可求得线段的长.【详解】因为抛物线经过点,所以,解得，所以抛物线，焦点，所以直线的方程为：，设，由可得，可得，由抛物线的定义可得：所以，故答案为：；【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设是过抛物线的焦点的弦，若，则：（1），；（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，弦长，（为直线的倾斜角）；（3）；（4）以为直径的圆与准线相切；（5）以或为直径的圆与轴相切.19. 已知数列为等比数列，公比，若是数列的前项积，则当_时，有最大值为 _.【答案】 (1). 或 (2). 【解析】【分析】先求出的通项公式，再将其前项积表示出来，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值.【详
13、解】因为数列为等比数列，公比，所以 ，所以，令，对称轴为，因为是正整数，所以或时最大，此时最大，最大值为，故答案为：或；.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将前项积表示出来，结合对应的二次函数的性质可求最值.20. 已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据数形结合分析，可得，并根据勾股定理，可得，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，又，且，且，根据椭圆的定义可知，由勾股定理可知，即 整理为，即，.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立
14、关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21. 已知圆的圆心在轴上，且经过点，（）求圆的标准方程；（）过点斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）求出AB的垂直平分线，可求得圆心坐标，进而可求出半径，得出圆的方程；（）得出直线方程，求出圆心到直线距离，由几何法即可得出.【详解】解：（）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，所以直线CD方程是，令，可得，故圆心，半径，所以圆的标准方程为（）可得直线的方程为，圆心到直线的距离为所以，.22. 如图，在四棱锥中，底面
15、，底面是边长为的正方形，分别是，的中点（）求证：平面；（）求平面与平面的夹角的大小；（III）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由【答案】（）证明见解析；（）60；（III）存在，.【解析】分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系，写出、的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，证得即可；（2）由（1）知，平面的法向量为，1，同（1）可求得平面的法向量，由，即可得解；（3）设，则，0，故有，解之得的值即可【详解】（）证明：以为原点，、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则，即令，则，故平面()解：由（）知，平面的
16、法向量为，设平面的法向量为，则，令，则， 所以平面的法向量平面与平面的夹角大小为（III）假设线段上存在一点，设，则，设平面的法向量为，由得到，与平面所成角为，与所成角为，解得，故在线段上存在一点，使得与平面所成角为，点的坐标为【点睛】关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点，设，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的，即存在，否则不存在.23. 已知等差数列的前项和为，且.（）求数列的通项公式；（）若，令，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】分析】()根据条件列出方程组求出数列的首项和公差，即可得出通项公式；（）分组求和结合错位相减法和裂项相消法可求出.【详解】解
17、: ()设等差数列的公差为，则由可得，解得因此()由()及 ， 则令，则，两式相减得，所以综合知.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.24. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点.（）求椭圆的方程；（）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（III）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值
18、.【答案】（）；（）存在，；（III）.【解析】【分析】（）根据离心率和顶点求出，再求出即可得出方程；（）联立直线与椭圆方程求出点D坐标，进而得出点坐标，再利用即可求出定点；（III）设的方程为，与椭圆联立，得出M横坐标，利用表示出，即可求出最值.【详解】解：（）因为椭圆C：的离心率左顶点为，所以，又，所以，可得，所以椭圆C的标准方程为；()直线的方程为，由,可得：，所以，当 时，所以，因为点P为AD的中点，所以P点坐标为，则，直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点使得，则，即恒成立，所以，所以，即，所以定点的坐标为.（III）因为，所以的方程可设为，和联立可得点的横坐标为，由可得： ，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.
