1、专题一 函数与导数 专题八 数学思想与方法 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，如与方程、数列、不等式、平面解析几何等内容相关的非函数问题，都往往可利用函数思想，转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题如含参数方程的讨论、方程与曲线的相互转化等都要利用到方程思想函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想 22222cos0_log 2 8
2、424_1_ _2_xxxaaf tttf tmxmxmxx已知关于 的方程有唯一解，则 的值为已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，一、函例1则的取值数思想及应用范围为 22222cos.00.00201 2 832.22202212.f xxxaxfxf xf xf xyf xxfatf tm xxxxa R令，因为，所以为偶数从而的图象关于 轴对称，而题设方程有唯一解，从而此解必为所以因为，所以，原不等式转化为恒成立当时，不等式不成立，所以解析：212232130.21023021.xxg mm xxmg mmgg 令，问题转化为在，上恒大于则解得或，1”2xmm通过构建函数，然后利
3、用函数的性质，解决有关方程或不等式问题，这就是函数思想首先明确本题是求 的取值范围，这里注意另一个变量，不等式的左边恰是 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决，在多个字母变量的问题中，选准 主元往往是解题的关键，同时利用函数思想将恒成立问题转化为函数问【点评】题求解1,02212lxCAByxABCllC过点的直线 与中心在原点，焦点在 轴上且离心率为的椭圆 相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆 上存在一点二、方程与右焦点关于直线 对称，试求直线 与椭圆思想及例用2应的方程22222222212221.22cabeaaabcbxyb由，得，从而，解设椭圆的方程为方法：析：，11222
4、22222112222221212121212120000000000()()2222()2()0.2().211()221121.ABABA xyB xyxybxybyyxxxxyyxxyyxABxykyxyyxyxxkylyx ，在椭圆上，则，两式相减得，即设线段的中点为，则又，在直线上，所以，于是，故，所以直线 的方程为222222,0()11.11221,112 1299.1688161991.blxyyxxbybyxbbbbbaxCyxyl 设右焦点关于直线 的对称点为，则，解得由点在椭圆上，得，则，故所以所求椭圆 的方程为，直线 的方程为2222222222222212212121
5、2221222.221124220412112 2.12cabeaaabcbxyblyk xlCkxk xkbkxxkyyk xk xkk xxkk 由，得，从而，设椭圆的方程为，直线 的方程为将直线 的方程代入椭圆 的方程，得，方则故法2：12122221()2221201.122111200,0011.xxyyyxABkkkkkkklyF clFCkxyklyx 又直线过线段的中点，则，解得或若，则直线 的方程为，焦点关于直线 的对称点就是 点本身，不可能在椭圆 上，所以舍去，从而，故即，以下同直线 的方程方法为，12ABAB本题解法，将、两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线斜率的
6、等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列方程组求解；解法，用韦【点评】达定理 2ln e()ln2e12xf xaaaxF xf xG xxxm R已知函数为常数 是实数集 上的奇函三、函数与方程思想的综合数.求 的值；试探究函数与的交点例应3用的个数 22212lnlnln1110120.()1ln2ln2.xxxxxxxxxf xeaeaeaeaeaaeaeaa eeaaxRf xxF xG xxxexmxxfxfxxexmx 是奇函数，则恒成立，所以，所以，亦即恒成立，由知，函数与的交点个数等价于方程的根的个数令析故：，解 12111111max222121(0e0(0ee)0e)
7、1ee.eelnxfxxxfxfxxfxfxxfxfefxxmfxfx 因为，当，时，所以在，上为增函数；当，时，所以在，上为减函数；当时，而，函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，2222222221e1e11ee111e1eeee121mememmeemmeemememe综上，当时，两函数有 个所以当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根；当，即时，方程无实交点；当，根两函数有 个交点；当时，两函数无交点本题是函数与方程、不等式的综合题，涉及函数的奇偶性、单调性、导数、最值等知识点，问题分析求解须理解函数的性质，充分运用函数与方程思想，通过构造函数，将恒成立问题和方程问题转化为函数的
8、单调性、最值问【点评】题研究 1211221ln()()201(2)112f xxa x axf xf xxxA xf xB xf xkakaaR设函数讨论的单调性；若有两个极值点 和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出 的值，若不存在，请说湖选南备题明理由 22222(0)111.14.200.(0)2000(0)0.(0)1 f xaxaxfxxxxg xxaxaafxf xag xfxf x 的定义域为，令，其判别式当时，故在，上单调递增当 时，的两根都小于，在，上，故在，上单解析调递增 22121122121220044.220000.(0)()()ag xaaa
9、axxxxfxxxxfxxxfxf xxxxx 当 时，的两根为，当 时，；当 时，；当 时，故分别在，上单调递增，在，上单调递减 12121212121212121212121212121212.lnln11.11.2.212.axxf xf xxxaxxx xf xf xlnxlnxkaxxx xxxlnxlnxx xkaxxlnxlnxakaxx 由知，因为，所以，又由知，于是若存在，使得，则 121222222222lnln.12ln0(1)*1122ln(0)1112ln12ln10*.1xxxxxxxxh ttttxxxkxaa 即亦即 再由知，函数在，上单调递增，而 ，所以这与式矛盾故不存在，使得 ()001(0)()f xyf xxf xf xyf x函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题 例如：求函数的零点 可以转化为方程问题来解决；同时方程和不等式问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程，就是求函数与 轴的交点，即零点；解不等式或，就是求函数值为正 或负所对应的区间2函数与方程的转化常见问题：(1)函数与其图象可视为方程与曲线的关系(2)方程中的参变量有时可视为其中某个量的函数,从而利用函数特性研究(3)解方程或不等式时可视其结构联想到相关函数图象或性质给予解决(4)数列的相关问题可视为函数问题或转化为方程和不等式解决
