1、专题4函数与导数命题趋势1函数的考查，主要考查函数的性质以及函数零点问题，通常和函数图象结合起来考查，一种是图象的识别，另一种利用图象来分析函数，通过数形结合的思想解决与函数有关的问题函数零点问题主要考查的形式为函数所在的区间，零点的个数问题，或者是求参数的取值范围问题2导数的考查主要分为两种，一种为导数的运算以及导数的几何意义的考查，另一种是利用函数解决函数的单调性，以及极（最）值问题考点清单一、函数1函数的单调性单调性是函数在定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：若x1x2，且x1，x2a，b，fx在a，b上单调递增x1-x2fx1-fx20；fx在a，b上单调递减x1-x2fx
2、1-fx20)恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；若y=f(x)是偶函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；若y=f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；若f(x+a)=-f(x)或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数4函数的对称性若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)，即f(x)=-f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)对称；若函数y=f(x)满足fa+x=f
3、b-x，则函数fx的图象关于直线对称；若函数y=f(x)满足fa+x=-fb-x，则函数fx的图象关于直线对称5函数的零点问题（1）函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标（2）确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解二、导数1导数的几何意义函数y=fx在x=x0处的导数fx0就是曲线y=fx在点x0，fx0处的切线的斜率，即k=fx0（1）曲线y=fx在点x0，y0的切线的方程为y-y0=fx0x-x0（2）过点x0，y0作曲线y=fx的切线，点x0
4、，y0不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是fx0切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程2单调性与导数的关系设函数y=fx在区间a，b内可导（1）如果在a，b内，恒有fx0，则y=fx在此区间是增函数；（2）如果在a，b内，恒有fx0（或fx0），得到单调递增（减）区间；（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间4极值的定义（1）函数y=fx在点x=a的函数值比它在点x=a附近的函数值都小，则把a叫做fx的极小值点，fa叫做fx的极小值若y=fx在点x=a处可导，fx是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特
5、征：fa=0；而且在点x=a附近的左侧fx0（2）函数y=fx在点x=b的函数值比它在点x=b附近的函数值都大，则把b叫做fx的极大值点，fb叫做fx的极大值若y=fx在点x=b处可导，fx是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：fb=0；而且在点x=b附近的左侧fx0，右侧fx0注意：极值点指x的取值，极值指相应的fx的取值5求可导函数极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求导数，并判断函数的单调性；（3）画表判断函数的极值6求函数fx在区间a，b上的最值得一般步骤（1）求函数y=fx在a，b内的极值；（2）比较函数y=fx的各极值与端点处的函数值fa，fb的大小，最大的一个是最
6、大值，最小的一个是最小值精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-3x，则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为（）A1，3B-3，-1，1，3C2-7，1，3D-2-7，1，3【答案】D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2-3x，所以，所以，由，解得x=1或x=3；由，解得x=-2-7或x=-2+7（舍去），所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为-2-7，1，3，故选D【点评】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等2已知函数f(x)的周期为2，当x-1，1
7、时，f(x)=x2，那么函数f(x)的图象与y=lgx函数的图象的交点共有（）A10个B9个C8个D1个【答案】A【解析】由题可知，如图所示：当x=10时，y=1，根据图象可知，交点个数为10，故选A【点评】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题3某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D21小时【答案】C【解析】依题有：192=b，48=22k+b，两式相除得4=-22k，解得，那么，当
8、x=33时，故选C【点评】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力4设函数，则满足ffa=2fa的a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】令fa=t，则ft=2t，当t1时，3t-1=2t，由gt=3t-1-2t的导数为gt=3-2tln2，当t0，gt在(-，1)递增，即有gtg1=0，则方程无解；当时，2t=2t成立，由fa1，即3a-11，解得且a1或a1，2a1，解得a0，即为a1，综上所述实数a的取值范围是，故选C【点评】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单
9、调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数gt=3t-1-2t，利用新函数的性质是解答的关键5已知函数关于x的方程，mR有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】作函数f(x)的图象如图：结合图象可知，x1+x2=-2，故x3x4=1，根据题意，m0，1，则，故x4(1，2)，则，根据对勾函数在(1，2)上单调递增，故在(1，2)上单调递增，所以，故选B【点评】本题考查了函数零点与方程解的关系，考查数形结合思想
10、，对勾函数性质，属于中档题6已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】令hx=mx+1，分别作出fx与gx的图象如下，由图象知hx=mx+1是过定点-1，0的一条直线，当直线绕着定点转动时，与fx图象产生不同的交点当直线hx在x轴和直线AB及切线和直线AC之间时，与fx图象产生两个交点，此时或，故答案选A【点评】本题考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法7已知a5且ae5=5ea，b4且be4=4eb，c3且ce3=3ec，则（）ABbcaCacbDabc【答案】D【解析】因为ae5=5ea，a0，同理b0，c0，令，则，当0x1
11、时，fx1时，fx0，故fx在为减函数，在为增函数，因为ae5=5ea，a5，故，即f5=fa，而0a5，故0a1，同理0b1，0c1，f4=fb，f3=fc，因为f5f4f3，故fafbfc，所以0abc0，b0，d0Ba0，b0，c0Ca0，b0，d0Da0，b0，c0，d0，所以b0，所以a0，b0，d0，故选A【点评】此题考查导函数与原函数的图象关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系是解题的关键，属于基础题9若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（）ABCD【答案】D【解析】设直线l在曲线y=x上的切点为x0，x0，则x00，函数y=x的导数为，则直线l的斜率，设直线l的方
12、程为，即x-2x0y+x0=0，由于直线l与圆相切，则，两边平方并整理得5x02-4x0-1=0，解得x0=1，（舍），则直线l的方程为，即，故选D【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题10函数的大致图象是（）ABCD【答案】B【解析】可得f(x)的定义域为xx0关于原点对称，且，f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A、C错误；当x0时，故当x0，e时，fx0，fx单调递增；当xe，+时，fx0，fx单调递减，故D错误，B正确，故选B【点评】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置（2）
13、从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象二、填空题11曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_【答案】y=2x【解析】设切线的切点坐标为，所以切点坐标为(1，2)，所求的切线方程为，即y=2x，故答案为y=2x【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题三、解答题12已知函数f(x)=ax+lnx+1(a为常数，aR)（1）若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；（2）设函数g(x)=x2-(x+1)lnx-sinx，判断函数g(x)是否存在零点；如果存在，求出零点的个数；如果不存在，请说明理由【答
14、案】（1）a-1；（2）无零点，理由见解析【解析】（1）当a0时，不合题意；当a0，g(x)0恒成立所以函数g(x)=x2-(x+1)lnx-sinx无零点【点评】通过得出，从而判断出g(x)0恒成立是解决本题的关键13已知函数fx=x3-3x（1）求曲线在点x=2处的切线方程；（2）若过点A1，mm-2可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围【答案】（1）9x-y-16=0；（2）-3，-2【解析】（1）fx=3x2-3，切线斜率k=f2=9，f2=2，曲线在x=2处的切线方程为y-2=9x-2，即9x-y-16=0（2）过点A1，m向曲线作切线，设切点为x0，y0，则y0=x03-3x0，k
15、=fx=3x02-3，切线方程y-x03-3x0=3x02-3x-x0，即2x03-3x02+m+3=0，2x03-3x02+m+3=0有三个不同实数根，记gx=2x3-3x2+m+3，gx=6x2-6x=6xx-1，令gx=0，x=0或1，则x，gx，gx的变化情况如下表x-，001gx+0-0+gx极大极小当x=0，gx有极大值m+3；x=1，gx有极小值因为过点A1，mm-2可作曲线的三条切线，则，即，解得-3m0且时，存在，使得fx1=fx2=fx3=0由fx的单调性知，当且仅当时，函数fx=x3+4x2+4x+c有三个不同零点（3）当=4a2-12b0，x-，+，此时函数fx在区间-
16、，+上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点；当=4a2-12b=0时，fx=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0当x-，x0时，fx0，fx在区间-，x0上单调递增；当xx0，+时，fx0，fx在区间x0，+上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点；综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有=4a2-12b0，故a2-3b0是fx有三个不同零点的必要条件当a=b=4，c=0时，a2-3b0，fx=x3+4x2+4x=xx+22只有两个不同零点，所以a2-3b0不是fx有三个不同零点的充分条件因此a2-3b0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件【点评】1证明不等式问题可通过作差或作商构造
17、函数，然后用导数证明2求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值3方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论4高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键高频易错题一、解答题1已知函数（1）若a=3，求fx的单调区间；（2）证明：fx只有一个零点【答案】（1）fx在-，3-23，3+23，+单调递增，在3-23，3+23单调递减；（2）证明见解析【解析】（1）当a=3时，fx=x2-6x-3令fx=0，解得x=3-23或x=3+23
18、当x-，3-233+23，+时，fx0；当x3-23，3+23时，fx0，所以fx=0，等价于设，则，仅当x=0时，所以gx在-，+单调递增故gx至多有一个零点，从而fx至多有一个零点又，故fx有一个零点，综上，fx只有一个零点【点评】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数f(x)的定义域；求导数；由f(x)0（或f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应区间上是减增函数（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证2函数fx=ax3+3x2+3xa0（1）讨论函
19、数fx的单调性；（2）若函数fx在区间1，2是增函数，求a的取值范围【答案】（1）a1时，在-，+是增函数；0a1时，fx在，上是增函数，fx在上是减函数；（2）【解析】（1）f(x)=3ax2+6x+3，f(x)=3ax2+6x+3=0的判别式=361-a若a1，则f(x)0，且f(x)=0，当且仅当a=1，x=-1，故此时fx在R上是增函数；由于a0，故当a1时，f(x)=0有两个根：，若0a0，故fx在，上是增函数；当时，f(x)0，x0时，f(x)0，所以当a0时，fx在区间1，2是增函数；若a0，函数为增函数；当x(e，+)时，y0，函数，若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实
20、数解，则a的取值范围是_【答案】4，8【解析】分类讨论：当x0时，方程fx=ax，即x2+2ax+a=ax，整理可得：x2=-ax+1，很明显x=-1不是方程的实数解，则；当x0时，方程fx=ax，即-x2+2ax-2a=ax，整理可得：x2=ax-2，很明显x=2不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，结合a0观察可得，实数a的取值范围是4，8【点评】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：（1）直接求零点：令fx=
21、0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且fafb0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点4若0x1x20，g(x)在(0，1)上单调递增，又0x1x21，gx10，h(x)在(0，1)上单调递增，又0x1x21，hx1hx2，即：x1ex10，(x)在(0，1)上单调递增，又0x1x2x1ex2，故正确；对，令r(x)=ex-lnx，则，当x(0，1)，r(x)的符号不
22、能确定，ex2-lnx2与ex1-lnx1的大小不能确定，即ex2-ex1与lnx2-lnx1的大小不能确定，故错误，故答案为【点评】本题解题的关键是构造对应的函数，利用函数的单调性比较大小5设函数若，则a=_【答案】1【解析】由函数的解析式可得，则，据此可得，整理可得a2-2a+1=0，解得，故答案为1【点评】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中档题三、解答题6已知函数f(x)=ex+ax2-x（1）当a=0时，求曲线在点A0，f0处的切线；（2）若x=0为fx的一个极小值点，求a的取值范围【答案】（1）y=1；（2）【解析】（1）当a=0时，则f(x)=ex
23、-1，f0=0，f0=1，曲线在点A0，f0处的切线为y=1（2）由已知得f(x)=ex+2ax-1，则f0=0，若x=0为fx的一个极小值点，则x=0在f(x)=ex+2ax-1的单调增区间中，又f(x)=ex-2a，则f(0)=1+2a0，解得，又当时，f(x)=ex-x-1，令gx=ex-x-1，gx=ex-1，当时，gx0时，gx0，所以gx在-，0上单调递减，在0，+上单调递增，所以gx=fxg0=0，故此时x=0不是fx的极值点，综上可知：【点评】解答本题第二问的关键是通过f0=0判断出x=0处于fx的单调递增区间，于是满足在0的左侧导数值小于零，0的右侧导数值大于零，由此进行问题的求解
