1、题型练9大题综合练(一)题型练第66页1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2
2、B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-15832-7812=-35+716.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y
3、与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?解(1)当x19时,y=3800;当x19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为y=3800,x19,500x-5700,x19,(xN).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(
4、3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(380070+430020+480010)=4000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(400090+450010)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC
5、平面ABC,ABC=2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.(1)证明由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因ABC=2,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)解设BC=x,则在RtABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,从而SABC=12ABBC=1
6、2x36-x2.由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFESABC=232=49,即SAFE=49SABC.由AD=12AE,SAFD=12SAFE=1249SABC=29SABC=19x36-x2,从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=SABC-SAFD=12x36-x2-19x36-x2=718x36-x2.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.体积VP-DFBC=13S四边形DFBCPE=13718x36-x223=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由
7、于x0,可得x=3或x=33.所以,BC=3或BC=33.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);求p的取值范围.解(1)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为p2,0,由点p2,0在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分
8、线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.证明:由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得p+2b0.方程(*)的两根为y1,2=-pp2+2pb,从而y0=y1+y22=-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由知p+2b0,于是p+2(2-2p)0,所以p43.因此,p的取值范围是0,43.5.已知曲线f(x
9、)=lnx+kex在点(1,f(1)处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf(x).(1)求k的值和F(x)的单调区间;(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x20,1,总存在x1(0,+)使得g(x2)00x1e2,由F(x)=-lnx-21e2,F(x)的单调增区间为0,1e2,单调减区间为1e2,+.(2)对于任意x20,1,总存在x1(0,+),使得g(x2)F(x1),g(x)maxF(x)max.由(1)知,当x=1e2时,F(x)取得最大值F1e2=1+1e2.对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a.当0a1时,g(x)max=g(a)=a2,a21+1e2,从而01时,g(x)max=g(1)=2a-1,2a-11+1e2.从而1a1+12e2.综上可知:0a1+12e2.
