1、专题能力训练23不等式选讲(选修45)专题能力训练第56页一、能力突破训练1.已知a0,b0,a+b=2,求证:(1)ab+ba2;(2)2a2+b20,b0,22ab0,当且仅当a=b=1时等号成立.0ab1.ab+ba=ab(a+b)=2ab2.(2)由a2+b2=(a+b)2-2ab,a+b=(a+b)2-2ab=4-2ab,a2+b2=16-16ab+4ab-2ab=2ab-16ab+16=2(ab-8ab+16)-16=2(ab-4)2-16=2(4-ab)2-16,0ab1,34-ab4,9(4-ab)216,182(4-ab)232,2a2+b2f(x)在xR上有解,求实数t的取
2、值范围.解：(1)原不等式等价于x1,2x+25,得-72x-3或-3x1或1f(x)在xR上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,t2+3tf(x)min=4t2+3t-40t1.3.(2020全国,理23)设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c的最大值,证明:maxa,b,c34.答案:证明(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,cf(x+1)的解集.解:(1)由题设知f(x)=-x-3,x-13,5x-1,-1
3、31.y=f(x)的图象如图所示.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象.y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为-76,-116.由图象可知当且仅当xf(x+1)的解集为-,-76.5.已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.答案：(1)解f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.当x-12时,由f(x)2得-2x-1;当-12x12时,f(x)2;当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2
4、)证明由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|0,b0,c0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=2时,求不等式f(x)8的解集;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c213.答案：(1)解当a=b=c=2时,f(x)=|x-2|+|x+2|+2=2-2x,x-2,6,-2x2,2x+2,x2,f(x)8x-2,2-2x8或-2x2,68或x2,2x+28.不等式的解集为x|-3x0,b0,c0,f(x)=|a-x|+|x+b|+c|a-x+x+
5、b|+c=|a+b|+c=a+b+c,当且仅当(a-x)(x+b)0等号成立.f(x)的最小值为1,a+b+c=1,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1.2aba2+b2,2bcb2+c2,2aca2+c2,当且仅当a=b=c等号成立,1=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3(a2+b2+c2).a2+b2+c213.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,aR.(1)当a=3时,解不等式f(x)4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.解：(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=3x-4,x3,x+2,12x12时,可得1
6、2xa,故x的取值范围为12,a;当a12时,可得ax12,故x的取值范围为a,12.二、思维提升训练8.(2019全国,理23)设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3或a-1.答案：(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=
7、-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式
8、f(x)-12;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)a成立,求实数a的取值范围.解：(1)a=2,f(x)=|x-3|-|x-2|=1,x2,5-2x,2x3,-1,x3,f(x)-12等价于x2,1-12或5-2x-12,2x3或x3,-1-12.解得114x3或x3,不等式的解集为xx114.(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,若存在实数x,使得不等式f(x)a成立,则|a-3|a,解得a32.实数a的取值范围是-,32.10.已知函数f(x)=x2+|x-2|.(1)解不等式f(x)2|x|;(2)若f(x)a2+4b2+5c2-
9、14对任意xR恒成立,证明:ac+4bc1.答案：(1)解由f(x)2|x|,得x2+|x-2|2|x|,即x2,x2+x-22x,解得x或1x2或x,故不等式f(x)2|x|的解集为1,2.(2)证明f(x)a2+4b2+5c2-14对任意xR恒成立,即f(x)+14a2+4b2+5c2对任意xR恒成立.当x2时,f(x)+14=x2+x-2+1422+2-2+14=174;当x2时,f(x)+14=x2-x+2+14=x-122+22,所以f(x)+14的最小值为2,即a2+4b2+5c22.又a2+4b2+5c2=a2+c2+4b2+4c22ac+8bc,所以2ac+8bc2,即ac+4bc1(当且仅当a=b=c时,等号成立)
