1、专题能力训练2不等式、线性规划专题能力训练第12页一、能力突破训练1.(2019全国,理6)若ab,则()A.ln(a-b)0B.3a0D.|a|b|答案:C解析:取a=2,b=1,满足ab,但ln(a-b)=0,排除A;3a=9,3b=3,3a3b,排除B;y=x3是增函数,ab,a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a|0的解集为()A.x|x2,或x-2B.x|-2x2C.x|x4D.x|0x0.由f(2-x)0,得a(x-2)2-4a0,a0,|x-2|2,解得x4或x0=(-4,0),N=x12x4=(-,-2,则MN=(-4,-2.4.若不等式组x-y+50,ya,
2、0x2表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是()A.(-,5)B.7,+)C.5,7)D.(-,5)7,+)答案:C解析:满足约束条件x-y+50,0x2的可行域如图所示.由图可知,若不等式组x-y+50,ya,0x2表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是5a0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)0,得ax2+(ab-1)x-b0.其解集是(-1,3),a0,且1-aba=2,-ba=-3,解得a=-1或a=13(舍去),a=-1,b=-3.f(x)=-x2+2x+3,f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+30,解得x12或x-32,故选A.6.设函数f(x)=
3、x2-4x+6,x0,x+6,xf(1)的解集是()A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)答案:A解析:由题意,得f(1)=3,则原不等式可化为x3或x0,x2-4x+63,解得-3x3,所以原不等式的解集为(-3,1)(3,+).7.已知x,y满足约束条件x-2y+40,x+y+a0,2x+y-20,若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为()A.2B.3C.4D.5答案:D解析:画出x,y满足的可行域如图所示,z=3x+y变形为y=-3x+z,数形结合可得在点A处z取得最小值-5,在点B处取得最大值,由3x+y=
4、-5,x-2y+4=0,得A(-2,1).代入x+y+a=0,得a=1.由x+y+1=0,2x+y-2=0,得B(3,-4).当y=-3x+z过点B(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为zmax=33+(-4)=5.8.已知变量x,y满足约束条件x+y1,x-y1,xa,若x+2y-5恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-,-1B.-1,+)C.-1,1D.-1,1)答案:C解析:设z=x+2y,要使x+2y-5恒成立,即z-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a1,由z=x+2y,得y=-12x+z2,平移直线y=-12x+z2,由图象可知
5、当直线经过点A时,直线y=-12x+z2的截距最小,此时z最小,即x+2y=-5,由x+2y=-5,x-y=1,解得x=-1,y=-2,即A(-1,-2),此时a=-1,所以要使x+2y-5恒成立,则-1a1,故选C.9.(2020全国,理13)若x,y满足约束条件2x+y-20,x-y-10,y+10,则z=x+7y的最大值为.答案:1解析:画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y变形可得y=-17x+17z,平移直线y=-17x.由图可得z在点A处取得最大值.由x-y-1=0,2x+y-2=0,得x=1,y=0,所以A(1,0),所以zmax=1+70=1.
6、10.若变量x,y满足x2+y21,x0,y0,则z=2x+y的最大值是.答案:5解析:作出可行域如图所示,z=2x+y可化为y=-2x+z.由图可知,当直线y=-2x+z与圆相切于点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大,此时|-z|22+12=1,解得z=5(负值舍去).11.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过6
7、00个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案:216 000解析:设生产产品Ax件,生产产品By件,由题意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN.目标函数z=2100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=210060+900100=216000.12.已知实数x,y满足x
8、-y+10,x+y-10,x3,则z=x+y+4x+1的最小值是.答案:54解析:z=x+y+4x+1=1+y+3x+1,画出不等式组表示的可行域,如图所示.由x-3=0,x+y-1=0,得B(3,-2).y+3x+1表示可行域内的点(x,y)与点A(-1,-3)连线的斜率,由图可知斜率的最小值为kAB=-2-(-3)3-(-1)=14,所以z=x+y+4x+1=1+y+3x+1的最小值为54.二、思维提升训练13.已知x,y满足约束条件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或-1B.12或2C.1或2D.-1或2答案:
9、D解析:在平面直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的ABC,目标函数z=y-ax可变形为y=ax+z,z的几何意义为直线y=ax+z在y轴上的截距.因为z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,所以直线y=ax+z与区域三角形的某一边平行,当直线y=ax+z与边线x+y-2=0平行时,a=-1符合题意;当直线y=ax+z与边线x-2y-2=0平行时,a=12不符合题意;当直线y=ax+z与边线2x-y-2=0平行时,a=2符合题意,综上所述,实数a的值为-1或2.故选D.14.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a0的解集是-4,3的子集,则实数a的取值范围是()A.-4,1B.-4
10、,3C.1,3D.-1,3答案:B解析:由x2-(a+1)x+a0,得(x-a)(x-1)0.若a=1,则不等式的解集为1,满足1-4,3;若a1,则不等式的解集为a,1,若满足a,1-4,3,则-4a1,则不等式的解集为1,a,若满足1,a-4,3,则10及函数f(x)的值域为(0,+)知x2+ax+10对xx|x0,且x1恒成立,即a-x-1x在定义域内恒成立,而-x-1x0),则R的最小值是.答案:2解析:根据前三个约束条件x2,x-2y+40,2x-y-40作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
