1、第14讲 圆锥曲线的方程与性质基础过关1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M点到y轴的距离是()A.4B.6C.9D.102.已知双曲线x2a2-y22=1(a0)的一条渐近线的倾斜角为6,则双曲线的离心率为()A.233B.263C.3D.23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点,若AF1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=14.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个
2、交点,若FP=4FQ,则|QF|=()A.72B.52C.3D.25.已知椭圆E:x22m+y2m=1(m0)的右焦点为F,过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x218+y29=1B.x236+y218=1C.x254+y227=1D.x272+y236=16.若抛物线x2=16y的焦点到双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线的距离是22,则该双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.57.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,设点M(3,0).若MAB的面积为42,则|AB|=()A.2B.4C.23D.8
3、8.已知双曲线C:x26-y22=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N,若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.42B.4C.32D.39.已知F1,F2分别是椭圆x24+y23=1的左、右焦点,点P是椭圆上任意一点,以PF1为直径作圆N,直线ON(O为坐标原点)与圆N交于点Q(点Q不在椭圆内部),则QF1QF2=()A.23B.4C.3D.110.记曲线y=2ax-2-1(a0且a1)所过的定点为P,若点P在双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线上,则双曲线C的离心率为()A.5B.52C.2D.211.已知F为双曲线C:x2-
4、y2=1的右焦点,M为双曲线C上一点,且MF与x轴垂直,点M关于双曲线的渐近线的对称点为N,则MNF的面积为()A.2+12B.2-12或3-22C.2+12或2-12D.2+12或3-2212.如图X14-1,已知水平地面上有一半径为4的球,球心为O,在平行光线的照射下,其斜投影的边缘轨迹为椭圆,椭圆的中心为O,球与地面的接触点为E,OE=3.若光线与地面所成角为,则sin=,椭圆的离心率e=.图X14-113.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为2
5、5-6,且椭圆C的长轴长恰好与圆E的直径相等,则下列说法正确的是.(填序号)椭圆C的焦距为2;椭圆C的短轴长为3;|PQ|+|PF|的最小值为25;过点F的圆E的切线斜率为-473.14.曲线C是平面内到定点F32,0和定直线l:x=-32的距离之和等于5的点的轨迹,给出下列三个结论:曲线C关于y轴对称;若点P(x,y)在曲线C上,则y满足|y|4;若点P(x,y)在曲线C上,则1|PF|5.其中正确结论的序号是.能力提升15.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P(x0,2a)为双曲线上一点,若PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直,则双曲线的离心率为
6、()A.62B.52C.6D.516.已知双曲线C:x24-y2=1,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P(x0,y0)为双曲线C上一点,且位于第一象限,若PF1F2为锐角三角形,则y0的取值范围为()A.55,+B.255,+C.55,12D.12,25517.已知点F为抛物线x2=2py(p0)的焦点,经过点F且倾斜角为钝角的直线与抛物线交于A,B两点,OAB(O为坐标原点)的面积为-8cos3,线段AB的垂直平分线与y轴交于点M,则|FM|=()A.1B.2C.2D.418.已知点Q在椭圆x28+y24=1上运动,过点Q作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则|AB
7、|的最小值为()A.253B.64C.63D.26319.若焦点为F的抛物线C:y2=4x的准线与坐标轴交于点A,点P在抛物线C上,则|PA|PF|的最大值为.20.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与E的左、右两支分别交于点B,A,直线AF2交双曲线E于另一点C(A,C在F2的两侧).若|F2C|=2|AF2|,且BF2C=60,则双曲线E的渐近线方程为.限时集训(十四)1.C解析抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,根据抛物线的定义可知点M到准线的距离也为10,所以点M到y轴的距离为9.故选C.2.A解析由双曲线x2a2-y22=1
8、(a0)的一条渐近线的倾斜角为6,得2a=33,解得a=6,所以c=6+2=22,所以双曲线的离心率e=ca=226=233.故选A.3.A解析由椭圆的定义可知|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|=4a=43,a=3.e=ca=33,c=1,b2=2,C的方程为x23+y22=1,故选A.4.C解析过点Q作QQl,交l于点Q,设l与x轴的交点为H.因为FP=4FQ,所以|PQ|PF|=34,得|QQ|FH|=34.又|FH|=4,所以|QF|=|QQ|=3.故选C.5.A解析由题知F(m,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),则x122m+y1
9、2m=1,x222m+y22m=1,由线段AB的中点坐标为(1,-1),得x1+x2=2,y1+y2=-2.由-得(x1-x2)(x1+x2)2m+(y1-y2)(y1+y2)m=0,y1-y2x1-x2=12.由y1-y2x1-x2=0+1m-1=12,得m=3,即m=9,故E的方程为x218+y29=1.6.B解析抛物线x2=16y的焦点坐标为(0,4),双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为bxay=0.由题得|4a|b2+a2=4ac=22,得双曲线的离心率e=ca=2.故选B.7.D解析由题知F(1,0),可设直线l的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y2-4
10、ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=4t,y1y2=-4,则|AB|=1+t2|y1-y2|=1+t2(y1+y2)2-4y1y2=1+t216t2+16.由MAB的面积为12|MF|y1-y2|=122|y1-y2|=42,得16t2+16=42,解得t2=1,所以|AB|=1+116+16=8,故选D.8.C解析由题意得a=6,b=2,则c=6+2=22,故F(22,0),双曲线的渐近线方程为y=33x.因为OMN为直角三角形,所以直线MN必与一条渐近线垂直.由双曲线的对称性不妨取kMN=3,则直线MN的方程为y=3(x-22).由y=3(x-22),y=3
11、3x,得x=32,y=6,由y=3(x-22),y=-33x,得x=322,y=-62,所以|MN|=(32-322)2+(6+62)2=32.故选C.9.C解析连接PF2,因为N,O分别是PF1,F1F2的中点,所以NOPF2,|NO|=12|PF2|,则QF1QF2=(QO+OF1)(QO+OF2)=QO2-OF12=(|QN|+|NO|)2-OF12=|PF1|2+|PF2|22-OF12=4-(4-3)=3.10.B解析当x=2时,y=1,所以P(2,1),则C的一条渐近线的斜率ba=12,所以双曲线C的离心率e=1+(ba)2=1+14=52.故选B.11.C解析不妨设M在第一象限,
12、由题知F(2,0),由MFx轴,可得M(2,1),双曲线C的渐近线方程为y=x.易知M关于直线y=x的对称点为N(1,2),此时SMNF=12|MF|xN-xF|=121(2-1)=2-12;M关于直线y=-x的对称点为N(-1,-2),此时SMNF=12|MF|xN-xF|=121(2+1)=2+12.综上,MNF的面积为2+12或2-12,故选C.12.4535解析连接OO,OE,则OE垂直于地面,OOAA,则OOE=.由题知OE=4,OE=3,所以OO=5,则sin=OEOO=45.连接AB,以O为原点,AB的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a
13、b0),由题知椭圆的短半轴长是球的半径,即b=4,|OE|=c=3,则a=b2+c2=5,所以椭圆的离心率e=ca=35.13.解析圆E的圆心E(-3,4),半径为2,由椭圆C的长轴长恰好与圆E的直径相等,得2a=4,则a=2.设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,EF1,PE.由椭圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=4,所以|PF|=4-|PF1|,所以|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF1|)=|PF1|+|PQ|-4|PF1|+|PE|-2-4|EF1|-6,当且仅当P,Q,E,F1四点共线,且P,Q分别为线段EF1与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,则|EF1|=(-3+c)2+
14、(4-0)2=(c-3)2+16=25,因为0ca=2,所以c=1,所以椭圆C的焦距为2c=2,正确;椭圆C的短轴长为2b=2a2-c2=23,错误;连接EF,|PQ|+|PF|PE|+|PF|-2|EF|-2=(-3-1)2+(4-0)2-2=42-2,当且仅当P,Q,E,F四点共线,且P,Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,错误;易知过点F的圆E的切线的斜率存在,可设切线的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,由题意可得|-3k-4-k|k2+1=4|k+1|k2+1=2,整理得3k2+8k+3=0,解得k=-473,正确.故填.14.解析设M(x,y)是曲线C上任意一
15、点,则|MF|+x+32=5,即(x-32)2+y2+x+32=5,当x-32时,(x-32)2+y2=5-x-32,即x=-14y2+52;当x0,b0)上,9a2a2-4a2b2=9-4a2b2=1,整理得b2a2=12,双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+12=62.故选A.16.C解析由题意得F1(-5,0),F2(5,0),因为P位于第一象限,所以PF1F2恒为锐角.因为PF1F2为锐角三角形,所以PF2F1,F1PF2均为锐角.由PF2F1为锐角得2x00,所以y00,12.由F1PF2为锐角得PF1PF20,所以(-5-x0,-y0)(5-x0,-y0)=x02+y02-5
16、0,又x024-y02=1,所以4+4y02+y02-50,即y0215,又y00,所以y055.综上所述,y055,12.故选C.17.D解析抛物线x2=2py(p0)的焦点为F0,p2,设直线AB的方程为y=kx+p2(k0),代入抛物线方程x2=2py得x2-2pkx-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2pk,x1x2=-p2.由SOAB=12|OF|x1-x2|=12p2(x1+x2)2-4x1x2=p44p2k2+4p2=p22k2+1=p22sin2cos2+1=p221-cos=-8cos3,解得p=4cos2.设线段AB的中点为Q,则xQ=pk,代入
17、y=kx+p2得yQ=pk2+p2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-pk2-p2=-1k(x-pk),令x=0,得y=pk2+3p2,即M0,pk2+3p2,所以|FM|=pk2+3p2-p2=p(k2+1)=4cos2sin2cos2+1=4,故选D.18.D解析设Q(22cos,2sin),圆(x-1)2+y2=1的圆心为M(1,0),半径r=1,连接MA,MQ,则|MQ|2=(22cos-1)2+(2sin)2=4cos2-42cos+5=4cos-222+3,当cos=22时,|MQ|2有最小值3,故|MQ|的最小值为3.设AB与QM交于点N,根据对称性知|AB|=2|AN|,且A
18、BQM,故|AB|=2|AN|=2|AQ|AM|MQ|=2|MQ|2-11|MQ|=21-1|MQ|2,故|MQ|最小时,|AB|最小,|AB|min=21-13=263.故选D.19.2解析由题可知A(-1,0),不妨设点P在第一象限,过P作PM与准线垂直,垂足为M.设MPA=02,则PAF=,由抛物线的定义得|PA|PF|=|PA|MP|=1cos,当cos取得最小值时,|PA|PF|取得最大值,此时AP与抛物线相切.设直线AP的方程为y=k(x+1),由y2=4x,y=k(x+1),消去y得k2(x+1)2=4x,即x2+2-4k2x+1=0,由=2-4k22-4=0,解得k=1或k=-
19、1(舍去),由k=tan=1知=4,所以|PA|PF|的最大值为122=2.20.y=2103x解析连接AF1,BF1,CF1.由双曲线的对称性得四边形AF1BF2是平行四边形,所以|AF2|=|F1B|,|AF1|=|F2B|.令|AF1|=m,|AF2|=n,则|CF2|=2n,由双曲线的定义,得|CF1|-|CF2|=|AF1|-|AF2|=2a,所以|CF1|=2a+2n.由BF2C=60得F1AC=60,在F1AC中,由余弦定理得m2+9n2-2m3n12=(2n+2a)2,又2a=m-n,可得m=85n,故n=103a,m=163a.在F1AF2中,由余弦定理得m2+n2-2mncos60=4c2,即1969a2=4c2,可得ca=73,所以c=73a,可得b=2103a,所以双曲线E的渐近线方程为y=2103x.
