1、2020-2021学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1下列情况适合用全面调查的是（）A了解一批玉米种子的发芽率B了解某城市居民的食品消费结构C调查一个县各村的粮食播种面积D调查一条河的水质2下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C圆心和圆上两点可确定一个平面D梯形可确定一个平面3设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3
2、和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（）A6B9C12D165已知m，n为异面直线，m平面，n平面，若直线l满足1m，1n，l，l，则（）A，lB与相交，且交线平行于lC，lD与相交，且交线垂直于l6某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90km/h的约有（）A100辆B200辆C300辆D390辆7在空间，若AOBAOC60，BOC90，直线OA与平面OBC所成的角为，则cos（）ABCD8演
3、讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A平均数B中位数C极差D方差9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）AA1F与D1E不可能平行BA1F与BE是异面直线C点F的轨迹是一条线段D三棱锥FABD1的体积为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上10某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家为掌握各
4、类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家11一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中n（）24，n（A）12，n（B）8，n（AB）16，则P（AB） 12已知平面，和直线a，b，c，且abc，a，b，c，则与的位置关系是 13如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元） 日期123456789101112131415金额312926323328343134343526273534日期161718192021222324252627282930金额282830322833263534353028343129则该组数据的第60%分位数为 14
5、一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 15在正四棱锥PABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为 三、解答题：本大题共3小题，共34分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示（1）求这100名学生中参加实践活动时间在610小时内的人数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数17甲、乙两位同学参加某高校的入学面试入学面试中有3
6、道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响（）求甲第二次答题通过面试的概率；（）求乙最终通过面试的概率；（）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率18如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是AB、PD的中点（）求证：AF平面PEC；（）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；（）求二面角PECD的正切值参考答案一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）.1下列情况
7、适合用全面调查的是（）A了解一批玉米种子的发芽率B了解某城市居民的食品消费结构C调查一个县各村的粮食播种面积D调查一条河的水质解：A了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B了解某城市居民的食品消费结构合抽样调查，故不符合题意；C调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；D调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；故选：D2下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C圆心和圆上两点可确定一个平面D梯形可确定一个平面解：由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该
8、三点确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确故选：D3设p：“事件A与事件B互斥”，q：“事件A与事件B互为对立事件”，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：由对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，由条件A与条件B互斥，不一定有条件A与条件B互为对立事件，由条件A与条件B互为对立事件，一定有条件A与条件B互斥p是q的必要而不充分条件故选：B4一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本
9、空间所包含的基本事件的个数为（）A6B9C12D16解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，故选：A5已知m，n为异面直线，m平面，n平面，若直线l满足1m，1n，l，l，则（）A，lB与相交，且交线平行于lC，lD与相交，且交线垂直于l解：如果，由m，可得m，又n，可得mn，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；如果，又m平面，n平面，由线面垂直和面面垂直的性质，可得mn，将m，n平移至相交直线，可得l垂直于相交直线确定的平面，可得l可能平行于，故C错误；平移m，n至相交直线，设相交直线确定的平面为，可得，由、
10、相交，设交线为n，可得n，由1m，1n，l，l，可得l，所以ln，故B正确；D错误故选：B6某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不低于90km/h的约有（）A100辆B200辆C300辆D390辆解：估计频率分布直方图可得速度不低于90km/h的约有（0.03+0.009）101000390故选：D7在空间，若AOBAOC60，BOC90，直线OA与平面OBC所成的角为，则cos（）ABCD解：如图，取OA上一点A，过点A作AH平面BOC于H，连
11、接OH，则AOH为直线OA与平面OBC所成的角，分别作HEOB，交OB于点E，HFOC，交OC于点F，连接AE、AF，得AEOB，AFOC，因为AOBAOC60，OEAOFA，OAOA，所以OEAOFA，所以AEAF，所以EHFH，则OH为BOC的角平分线，由BOC90，可得FOH45，则OFH45，所以OFH为等腰直角三角形，令OFa，则OHa，OA2a，所以cosAOH，即cos故选：A8演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A平均数B中位数C极差D方
12、差解：7个有效评分与9个原始评分相比，平均数、极差、方差都有可能变化，9个原始评分的中位数是从小到大排序后的第5个数，7个有效评分的中位数是从小到大排序后的第4个数，是同一个数，故选：B9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）AA1F与D1E不可能平行BA1F与BE是异面直线C点F的轨迹是一条线段D三棱锥FABD1的体积为定值解：设平面D1AE与直线BC交于G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，如图，A1MD1E，A1M平
13、面D1AE，D1E平面D1AE，A1M平面D1AE，同理可得MN平面D1AE，又A1M、MN是平面A1MN内的两条相交直线，平面A1MN平面D1AE，而A1F平面D1AE，A1F平面A1MN，得点F的轨迹为一条线段，故C正确；并由此可知，当F与M重合时，A1F与D1E平行，故A错误；平面A1MN平面D1AE，BE和平面D1AE相交，A1F与BE是异面直线，故B正确；MNEG，则点F到平面D1AE的距离为定值，三棱锥FABD1的体积为定值，故D正确故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上10某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家为掌握各
14、类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市20家解：大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，共有超市200+400+14002000，按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，每个个体被抽到的概率是，中型超市要抽取40020家，故答案为：2011一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中n（）24，n（A）12，n（B）8，n（AB）16，则P（AB）4解：n（A）12，n（B）8，n（AB）16，n（AB）n（A）+n（B）n（AB）4，P（AB）故答案为：12已知平面，和直线a，b，c，且abc，a，b，c，则与的位置关系是 平行或相交解：若
15、，可以保证存在直线a，b，c且abc，a，b，c，若l，且abc，a，b，c，所以在题设条件下，与的关系是平行或相交故答案为：平行或相交13如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元） 日期123456789101112131415金额312926323328343134343526273534日期161718192021222324252627282930金额282830322833263534353028343129则该组数据的第60%分位数为 32.5解：3060%18，该组数据的第60%分位数为从小到大排序后第18与19个数据的平均数，由上表知，小于30的数据有11个，有
16、2个30，3个31，2个32，2个33，故第18与19个数据分别是32、33，故该组数据的第60%分位数为32.5，故答案为：32.514一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 解：一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件总数n10990，两次取到的球颜色相同包含的基本事件个数m43+6542，则两次取到的球颜色相同的概率为P故答案为：15在正四棱锥PABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为 解：取CD的中点N，连接EN，PN，再取EN的中
17、点H，易知H为P点在底面的投影，则有PH平面ABCD，如图所示，EFBC，PEH为异面直线PE与BC所成角，PEPN，EN2，EH，在RtPEH中，cosPEH故答案为：三、解答题：本大题共3小题，共34分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示（1）求这100名学生中参加实践活动时间在610小时内的人数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数解：（1）依题意，100名学生中参加实践活动的时间在610小时内的人数为：1001（0.04+0
18、.12+0.05）258，即这100名学生中参加实践活动时间在610小时内的人数为58（2）由频率分布直方图可以看出最高矩形横轴上的中点为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时，由（0.04+0.12+0.15+a+0.05）21，解得a0.14，则6+，即这100名学生参加实践活动时间的中位数为7.2小时，这100名学生参加实践活动时间的平均数为：0.0423+0.1225+0.1527+0.1429+0.052117.16小时17甲、乙两位同学参加某高校的入学面试入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是若每位面试者共有三次机
19、会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响（）求甲第二次答题通过面试的概率；（）求乙最终通过面试的概率；（）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率解：（）设甲第二次答题通过面试为事件A，则p（A）（1）（）设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，p（）（1）（1）（1），p（B）1（）设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，p（）（1）（1）（1），p（C）118如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是A
20、B、PD的中点（）求证：AF平面PEC；（）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；（）求二面角PECD的正切值【解答】（）证明：取PC的中点O，连接OE，OF，则OFDC，且OFDC，又E为AB的中点，在矩形ABCD中，AEDC且AE，所以OFAE且OFAE，所以四边形AEOF为平行四边形，则AFOE，又AF平面PEC，OE平面PEC，所以AF平面PEC；（）解：连接AC，因为PA平面ABCD，所以PCA即为直线PC与平面ABCD所成的角，在RtPAC中，PC2PA2+AC2，且，故，所以PC与平面ABCD所成角的正弦值为；（）解：作AMCE交CE的延长线于点M，连接PM，则PMCE，所以PMA即为二面角PECD的平面角，由AMECBE，则，所以，故二面角PECD的正切值为
