1、高考资源网() 您身边的高考专家巩固双基,提升能力一、选择题1(2012大纲全国)已知F1、F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2()A.B.C.D.解析:依题意得ab,c2.|PF1|2|PF2|,设|PF2|m,则|PF1|2m.又|PF1|PF2|2m.|PF1|4,|PF2|2.又|F1F2|4,cosF1PF2.故选C.答案:C2(2012湖南)已知双曲线C:1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析:设焦距为2c,则得c5.点P(2,1)在双曲线的渐近线yx上,得a2b.结合
2、c5,得4b2b225,解得b25,a220,所以双曲线方程为1.答案:A3(2012课标全国)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,|AB|4,则C的实轴长为()A. B2 C4 D8解析:设等轴双曲线方程为x2y2a2,根据题意,得抛物线的准线方程为x4,代入双曲线的方程得16y2a2,因为|AB|4,所以16(2)2a2,即a24,所以2a4,所以选C.答案:C4(2012福建)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. B4 C3 D5解析:y212x的焦点为(3,0),由题意得,4b29,
3、b25,双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线yx的距离d.答案:A5(2012浙江)如图,F1,F2分别是双曲线C:1(a,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|,则C的离心率是()A. B. C. D.解析:依题意得直线F1B的方程为yxb,M点坐标为(3c,0),那么可知线段PQ的垂直平分线的方程为y(x3c),由解得点P的坐标为,由解得点Q的坐标为,那么可得线段PQ的中点坐标为,代入y(x3c)并整理,可得2c23a2,可得e,故应选B.答案:B6已知椭圆C1:1(ab0)与双曲线C2:x
4、21有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点若C1恰好将线段AB三等分,则()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析:依题意a2b25,根据对称性,不妨取一条渐近线y2x,由解得x,故被椭圆截得的弦长为,又C1把AB三等分,所以,两边平方并整理得a211b2,代入a2b25得b2,故选C.答案:C二、填空题7(2012江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线1的离心率为,则m的值为_解析:由题意,双曲线的焦点在x轴上且m0,所以e,所以m2.答案:28(2013山东泰安调研)P为双曲线x21右支上一点,M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点,则|P
5、M|PN|的最大值为_解析:已知两圆圆心(4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x21的两焦点当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|PN|最大,|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和,同样|PN|最小|PF2|1,从而|PM|PN|的最大值为|PF1|2(|PF2|1)|PF1|PF2|32a35.答案:59(2012湖北)如图,双曲线1(a,b0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则(1)双曲线的离心率e_.(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形A
6、BCD的面积S2的比值_.解析:(1)由图可知,点O到直线F1B2的距离d与圆O的半径OA1相等,又直线F1B2的方程为1,即bxcybc0.所以da,整理得b2(c2a2)a2c2,即(c2a2)2a2c2,得c2a2ac.所以e2e10,解得e(负值舍去)(2)连接OB(图略),设BC与x轴的交点为E,由勾股定理得|BF1|b.由等面积法得|BE|,则|OE|.进一步得到S22|OE|2|EB|.又因为S1|F1F2|B1B2|2bc,所以e3.答案:(1);(2)三、解答题10(2013安徽质检)已知点M是圆B:(x2)2y212上的动点,点A(2,0),线段AM的中垂线交直线MB于点P
7、.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若直线l:ykxm(k0)与曲线C交于R,S两点, D(0,1),且有|RD|SD|,求m的取值范围解析:(1)由题意得|PM|PA|,结合图形得|PA|PB|BM|2,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,且2a2,a,c2,于是b1,故P点的轨迹C的方程为y21.(2)当k0时,由得(13k2)x26kmx3m230,(*)由直线与双曲线交于R,S两点,显然13k20,(6km)24(13k2)(3m23)12(m213k2)0,设x1,x2为方程(*)的两根,则x1x2,设RS的中点为M(x0,y0),则x0,y0kx0m,故线段RS的中垂线方程为y.将
8、D(0,1)代入化简得4m3k21,故m,k满足消去k2即得m24m0,即得m0或m4,又4m3k211,且3k210,m,且m0,m(4,)11(2013云南检测)双曲线S的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e,直线x3y50上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于.(1)求双曲线S的方程;(2)设经过点(2,0),斜率等于k的直线与双曲线S交于A,B两点,且以A,B,P(0,1)为顶点的ABP是以AB为底的等腰三角形,求k的值解析:(1)根据已知设双曲线S的方程为1(a0,b0)e,ca,b2c2a2.双曲线S的方程可化为x22y2a2,直线x3y50上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值
9、等于,右焦点为,解方程得a.双曲线S的方程为x22y22.(2)经过点(2,0),斜率等于k的直线的方程为yk(x2)根据已知设A(x1,kx12k),B(x2,kx22k),则AB的中点为M,ABP是以AB为底的等腰三角形PMAB.如果k0,直线yk(x2)与双曲线S交于(,0),(,0)两点,显然满足题目要求如果k0,由PMAB得kkPM1.kPM,k1.由得(12k2)x28k2x8k220.根据已知得k.x1x2,kPM.kkPMk1,即2k26k10,解方程得k1,k2.综上,k,或k0,或k.12(2012上海)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2y21.(1)过C1的
10、左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点若l与圆x2y21相切,求证:OPOQ;(3)设椭圆C2:4x2y21.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值解析:(1)双曲线C1:y21,左顶点A,渐近线方程为:yx.过点A与渐近线yx平行的直线方程为y,即yx1.解方程组,得所求三角形的面积为S|OA|y|.(2)证明:设直线PQ的方程是yxb,直线PQ与已知圆相切,1,即b22.由得x22bxb210.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则又y1y2(x1b)(x2b),x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)证明:当直线ON垂直于x轴时,|ON|1,|OM|,则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为ykx,则直线OM的方程为yx.由得|ON|2.同理|OM|2.设O到直线MN的距离为d.(|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2,3,即d.综上,O到直线MN的距离是定值高考资源网版权所有,侵权必究!