1、26.1.2 反比例函数的图象和性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用 第二十六章 反比例函数 九年级数学下（RJ）教学课件 学习目标 1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？双曲线当 k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，
2、y 随 x 的增大而减小；当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.复习引入 问题1 问题2 用待定系数法求反比例函数的解析式 一 典例精析 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？解：因为反比例函数图象经过的点 A(2，6)在第一象限，所以这个函数图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.(2)点 B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？12 244 5解：设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得 k=12
3、.kyx62k因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.所以该反析比例函数的解式为.12yx练一练 已知反比例函数的图象经过点 A(2，3)(1)求这个函数的解析式；kyx解：反比例函数的图象经过点 A(2，3)，把点 A 的坐标代入解析式，得，kyx32k解得 k=6.这个函数的解析式为.6yx(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上
4、，点 C 在该函数的图象上(3)当 3 x 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小.当 3 x 1 时，6 y 2.反比例函数图象和性质的综合 二(1)图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？Oxy例 2 如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1)和点 B(x2，y2).如果 x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一
5、支上，y 都随 x 的增大而减小.因此，当x1x2时，y1y2.Oxy练一练 如图所示是反比例函数的图象，则 k 的值可以是()1kyxA1 B3 C1 D0OxyB图象在第二、四象限，则1-k0，k1反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1.在反比例函数的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：4yx合作探究 5123415xyO PS1 S2P(2，2)，Q(4，1)S1 的值S2 的值S1与 S2 的关系猜想 S1，S2 与 k 的关系4yx44S1=S2S1=S2=k5432143232451 QS1的值S2的值S1与S2的
6、关系猜想S1，S2与 k 的关系P(1，4)，Q(2，2)4yx2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：4yx44S1=S2S1=S2=kyxOPQS1S2由前面的探究过程，可以猜想：若点 P 是反比例函数图象上的任意一点，过点 P 作 PAx 轴于点 A，PBy 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为(a，b).AB点 P(a，b)在函数的图象上，kyx，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P
7、 在第四象限，则 a0，bSBSCB.SASBSCC.SA=SB=SCD.SASC0)图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴.设 POA 的面积为 S1，则S1=；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2S3.4yx2S1S2S3如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，AOC 的面积 S1、BOD 的面积 S2、POE 的面积 S3 的大小关系为.S1=S2 S3练一练 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1=S2.PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 SOFE=S1=
8、S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1=S2 0b 0k1 0k2 0b 0合作探究 xyOxyOk2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO 例 6 函数 y=kxk 与的图象大致是()0(kxkyD.xyOC.yA.yxB.xyODOOk0k0k0k0k0由一次函数与 y 轴交点知k0，则k0 x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.在同一直角坐标系中，函数与 y=ax+1(a0)的图象可能是()ayx A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练 a0，a0，矛盾a0a0，成立不满足与y 轴
9、交点为（0，1）a0，a0，矛盾例 7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为.23yxO2 x 32myx解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知2 x 3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了.练一练 如图，一次函数 y1=k1x+b(k10)的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是22kyx12yxOAB1 x 2例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交
10、于点 P (3，4)，故点P(3，4)同时在这两个函数图象上，即点P 的坐标分别满足这两个函数解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为y=k1x 和.2kyx所以，.143k 243k 解得，.143k 212k P则这两个函数的解析式分别为 和 ，它们的图象如图所示.43yx 12yx 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：反比例函数的图象与正比例函数 y=3x 的图象的交点坐标为12yx(2，6)和(2，6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.练一练 当堂练习A.4 B.2 C.2 D.不确定1.如图，P 是反比例函数的图象上一点，过点
11、P 作 PBx 轴于点 B，连接 OP，且OBP 的面积为 2，则 k 的值为()kyxOBPxyA2.反比例函数的图象与一次函数 y=2x+1 的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_xky 3yx代入一次函数中，求得 k=3 3.如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数(x0)交于 A，B 两点，其横坐标分别为 1 和 5，则不等式k1x+b 的解集是_2kyx2kx1x5OBAxy15表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围 4.已知反比例函数的图象经过点 A(2，4).(1)求 k 的值；(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化?kyx
12、解：(1)依题意把点 A(2，4)代入解析式，得，42k 解得 k=8.(2)这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.(3)画出该函数的图象；(4)点 B(1，8)，C(3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该函数解析式，而点 C 的坐标不满足该函数解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.(4)该反比例函数的解析式为.8yx Oxy解：(3)如图所示.xyOBA5.如图，直线 y=ax+b 与双曲线交于 A(1，2)，B(m，4)两点.(1)求直线与双曲线的解析式；kyx所以一次函数的解析式为 y=4x2.把 A，B 两
13、点坐标代入 y=ax+b 中，解得 a=4，b=2.解：把 A(1，2)代入双曲线解析式中，得 k=2，故其解析式为.当 y=4 时，m=.2yx12(2)求不等式 ax+b的解集.kx解：根据图象可知，若 ax+b，kx则 x1 或x0.12xyOBA6.如图，反比例函数与一次函数 y=x+2 的图象交于 A，B 两点.(1)求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：由题意得 8yx ，y=x+2，所以 A(2，4)，B(4，2).解得或x=4，y=2，x=2，y=4.作 ACx 轴于C，BDx 轴于 D，则 AC=4，BD=2.(2)求AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2.SOMA=OMAC2=242=4.SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.课堂小结面积问题 面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用
