1、北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）数学（理科）试卷 2014.4本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数等于A. B. C. D. 2.已知，则 A. B. C. D. 3.已知向量，若与垂直，则实数A. B. C. D. 4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的侧面积为A. B. C. D. 5.“”是“函数为奇
2、函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 值是 A B C D 7.已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则 A B C D 8.已知函数其中表示不超过的最大整数，（如,）.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是 A B C D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9.在极坐标系中，点到极轴的距离是10.已知等比数列的各项均为正数，若，则此数列的其前项和11.如图，是圆的直径，为圆上一点，过作圆的切线交 的延长线于点.若，则 1
3、2.对甲、乙、丙、丁人分配项不同的工作 A、B、C、D，每人一项，其中甲不能承担A项工作，那么不同的工作分配方案有种.（用数字作答）13.在中，角所对的边分别为. 若，则 14.已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数的图象过点.（）求实数的值； （）求函数的最小正周期及最大值. 16. （本小题共13分）甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78乙 78 82 88 82 95（
4、）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于分的次数为，求的分布列和数学期望.17. （本小题共14分）如图：在四棱锥中，底面是正方形，点在上，且.（）求证：平面； （）求二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使平面，并求的长.18. （本小题共13分）已知函数，其中为常数，.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19. （本小题共14分）已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.（）求
5、椭圆的方程；（）设直线（）与椭圆交于、两点，线段 的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值.20. （本小题共13分）已知集合，具有性质：对任意的，至少有一个属于.（）分别判断集合与是否具有性质；（）求证：；（）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由.北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准题号 12345678答案ADBBADCB二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分9.；10 ；11. ， ；12；13；14. 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（本小题共13分）解：（）由已知函数 3分的图象
6、过点，5分解得7分（）由（）得函数9分最小正周期，11分最大值为.13分16.（本小题共13分）解：（）茎叶图 3分（）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好. 6分（）记甲“高于80分”为事件A，8分的可能取值为.分布列为： 0 1 2 3 11分 13分17（本小题共14分）解：（）证明：，同理2分又，平面.4分（）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则6分平面的法向量为，设平面的法向量为 7分，由，取 ，8分设二面角的平面角为，二面角的余弦值为.10分（）假设存在点，使平面，令， 12分 由平面，解得存在点为的中
7、点，即. 14分18（本小题共13分）解：（），1分，3分则曲线在处的切线方程为.5分（）的根为，6分，当时，在递减，无极值；8分当时，在递减，在递增；为的极大值，10分令，在上递增，不存在实数，使的极大值为.13分19（本小题共14分）解：（）由已知椭圆的焦点在轴上，2分椭圆的方程为4分（），消去得直线与椭圆有两个交点，可得（*）6分设，弦长，8分中点， 设， ， 11分，时，14分（或： .当且仅当时成立，.（用其它解法相应给分）20（本小题共13分）解：（）集合具有性质，集合不具有性质.3分（）由已知，则，仍由知；5分，6分将上述各式两边相加得，即；8分（）当时，集合中的数列一定是等差数列.由（）知，且，故，而这里，反之若不然这与集合中元素互异矛盾，只能，即成等差数列. 9分当时，集合中的元素不一定是等差数列.如，中元素成等差数列，又如，中元素不成等差数列；11分当5时，集合中的元素一定成等差数列 证明：令有，且由， ，又，成等差数列. 13分
