1、空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1理解空间向量基本定理(重点)2运用空间向量基本定理解决一些几何问题(难点)3理解基底、基向量及向量的线性组合的概念(重点)1通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养2借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养图中的向量，是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？1共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使cxayb思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？提示平面向量基本定理中要求向量a与b不
2、共线，在空间中仍然成立2空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc特别地，当a，b，c不共面时，可知xaybzc0时，xyz03相关概念(1)线性组合：表达式xaybzc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合a，b，c，常称为空间向量的一组基底(3)基向量：基底a，b，c中a，b，c都称为基向量(4)分解式：如果pxaybzc，则称xaybzc为p在基底a，b，c下的分解式思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三
3、个向量有什么条件？提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？提示基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量4拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x，y，z，使xyz，当且仅当xyz1时，P，A，B，C四点共面1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b,2c也可构成空间一个基底()(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面()
4、(3)若a，b是两个不共线的向量，且cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底()答案(1)(2)(3)提示(1)a，b，c为空间一个基底，则a，b，c不共面，a、b、2c也不共面，故a，b,2c也构成空间一个基底(2)由共面定理知(2)正确(3)由cab知a，b，c共面，不能构成基底2(教材P16练习A改编)对于空间的任意三个向量a，b,2a3b，它们一定是()A共面向量B共线向量C不共面向量 D既不共线也不共面的向量A根据共面向量定理知a，b,2a3b一定共面3在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A， B，C， D，C由题意知，不共面，可以作为空间向
5、量的一个基底向量共线问题【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c2，b，()()abcabc又bcaabc，E，F，B三点共线判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使axb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出axb，从而得出ab，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.1如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？解与共线，证明：M，N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD，ABEF
6、都是平行四边形，又，22()2，即与共线共面定理及应用【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)易知3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，三个向量的基线又有公共点M，M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式2如图所示，P是平行四边形ABCD
7、所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是PAB，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面证明E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有，四边形MNQR为平行四边形，()()()，由共面向量定理得，共面，所以E，F，G，H四点共面基底的判断及应用探究问题1构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？提示不唯一，不共面2空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？提示基底选定后
8、，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来3用基底表示向量应注意哪些问题？提示(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的【例3】(1)若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底(2)如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，思路探究(1)判断ab，bc，ca是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否
9、则，不能作为一个基底(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来解(1)假设ab，bc，ca共面则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()ca，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解，ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底(2)()()ba(cb)bacbabcab()ab(cb)abc1(变条件)若把本例3(2)中的a改为a，其他条件不变，则结果又是什么？解()b(ab)ab()a(cb)abc2(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底a，b，c表示向
10、量解()()(acb)caabc用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量1空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的2在用基底表示向量时，要
11、结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示1O，A，B，C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A，共线B，共线C，共线 DO，A，B，C四点共面D由，不能构成基底知，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面2给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可作为空间的基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A
12、1B2C3D4D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然正确中由、共面且过相同点B，故A，B，M，N共面下面证明正确假设d与a，b共面，则存在实数，使dab，d与c共线，c0，存在实数k，使dkc，d0，k0，从而cab，c与a，b共面与条件矛盾d与a，b不共面同理可证也是正确的3从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取a，b，c，点G在PQ上，且PG2GQ，H为RS的中点，则_(用a，b，c表示)abc(bc)a4设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则2x4y2z_2如图，由已知() ()()，xyz，2x4y2z25如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)解在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，连接AC，AD1(1)()()(abc)(2)()abc
