1、巩固层知识整合(教师用书独具)提升层题型探究空间向量及其运算【例1】(1)在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为ABC的重心，用基向量，表示向量(2)已知三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解(1)如图，连接AG并延长交BC于点DD为BC的中点，()G为ABC的重心，()，又，()(2)M为OA的中点，(2)(2)由题意，可得(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，所以sin，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S2|sin，147设a(x，y，z)，由题意
2、，得，解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1)1向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义2熟记空间向量的坐标运算公式设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2)(2)数量积运算：abx1x2y1y2z1z2(3)向量夹角：cosa，b(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算1已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(
3、2)若点P(2，y)满足，求y与的值解(1)设B(x，y)，A(1，2)，(x1，y2)(4,3)，解得即B(3,1)，同理可得D(4，3)线段BD的中点M的坐标为(2)(1,1y)，(7，4)，由得(1,1y)(7，4)，利用空间向量证明平行、垂直问题【例2】四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD；(2)平面PBC平面PCD证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设DCa，PDb，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，b)，E(1)，(a，a,0)设
4、平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n，因为n(a,0，b)0，所以n，故PC平面EBD(2)由题意得平面PDC的一个法向量为(0，a,0)，又(a，a，b)，(a,0，b)，设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m，因为m(0，a,0)0，所以m，即平面PBC平面PCD1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量2证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量3证明面
5、面平行的方法(1)转化为线线平行、线面平行处理(2)证明这两个平面的法向量是共线向量4证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直5证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直6证明面面垂直的方法(1)转化为证明线面垂直(2)证明两个平面的法向量互相垂直2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面成45角，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，说明理由解分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间
6、直角坐标系P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)设E(0，y，z), 则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面PAB的法向量又(1，y1，z)，由CE平面PAB，(1，y1，z)(0,2,0)0，y1，代入得z，E是PD的中点，存在E点为PD中点时，CE平面PAB利用空间向量求角【例3】正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解建立以A点为坐标原点，以过A垂直于AB的直线，AB、AA1为x，y，z轴的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1法一：取A1B1的中
7、点M，则M，连接AM、MC1，有，(0，a,0)，(0,0，a)，0，0，则MC1AB，MC1AA1，又ABAA1A，MC1平面ABB1A1，C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角由于，02a2|a，|a，cos，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30法二：(0，a,0)，(0,0，a)，设侧面ABB1A1的法向量n(，x，y)，n0，且n0，ax0且ay0，xy0，故n(，0,0)，cos，n，|cos，n|，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直
8、线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角3如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解(1)由长方体ABCDA1B1C1D1可知B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，B1C1BE，又因为BEEC1
9、，EC1C1B1C1，EC1平面EB1C1，C1B1平面EB1C1，BE平面EB1C1(2)以CD，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，设AEA1E1，BE平面EB1C1，BEEB1，AB1，则E(1,1,1)，A(1,1,0)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，BCEB1，EB1平面EBC，故可取平面EBC的法向量为m(1,0,1)设平面ECC1的法向量为n(x，y，z)，由可得令x1，则n(1，1,0)，cosm，n，故二面角BECC1的正弦值为数学思想在向量中的应用【例4】如图所示，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面AB
10、CD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小解作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1)证明：，设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令z，得n(0,4，)n04(1)0，n又MN平面OCD，MN平面OCD(2)设异面直线AB与MD所成的角为(1,0,0)，cos，与所成的角为故异面直线AB与MD所成的角空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法.这两
11、种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论.这样就把立体几何问题转化为空间向量来研究，体现了化归与转化思想.4在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，如图所示，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离；(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，所以AD
12、AB，BD2，DBCADB45，CD2，所以BD2CD2BC2，所以CDBD因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，所以CDAB(2)由(1)知CDBD以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，过点D作垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，由已知得A(1，0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令x1，得z1，y0，则平面ACD的一个
13、法向量为n(1,0，1)，所以点M到平面ACD的距离为d(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60设(01)，N(a，b,0)，则(a2，b,0)(2,2,0)，所以N(22，2，0)，(12，2，1)又平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，且直线AN与平面ACD所成的角为60，所以sin 60，即，可得82210，解得或(舍去)综上所述，在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60，此时培优层素养升华(教师用书独具)【例】如图，在多面体ABCDEF中，CB平面ABEF，四边形ABCD是正方形，ABF是一个正三角形，FEBE，且FEB120(1)求证：A
14、ECF；(2)若三棱锥FCBE的体积为2，求点A到平面CDF的距离解(1)证明：CB平面ABEF，AE平面ABEF，CBAE，ABF是一个正三角形，FEBE，AEBF，BFBCB，AE平面BCF，CF平面BCF，AECF(2)CB平面ABEF，四边形ABCD是正方形，ABE是一个正三角形，FEBE，且FEB120三棱锥FCBE的体积为2，设ABa，则BCBFa，BEEF，VFCBEVCBEFBCEFBEsin 120aa22，解得a2，ABEABFEBF603090，ABBE，以B为原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，A(2，0,0)，C(0,0,2)，D(2，0,2
15、)，F(，3,0)，(2，0，2)，(2，0,0)，(，3，2)，设平面CDF的法向量n(x，y，z)，则取y1，得n点A到平面CDF的距离d该类题目主要以立体几何为载体，重点考查线线关系或线面关系及面面关系和空间角问题，通过该类题目的训练提高学生的运算求解素养及直观想象的数学素养，解决该类问题常结合空间向量来求解，解决的关键是建好空间直角坐标系.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ABCD是梯形，ADBC，底面ABB1A1为菱形，DABDAA1(1)求证：A1BAD；(2)若ADAB2BC，A1AB60，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面
16、ABB1A1所成锐二面角的余弦值解(1)证明：如图，连接AB1，A1D，BD，设AB1交A1B于点O，连接OD由AA1AB，DABDAA1，ADAD，可得AA1DABD，所以A1DBD由于O是线段A1B的中点，所以DOA1B又根据菱形的性质得AOA1B，所以A1B平面ADO，从而A1BAD(2)由题意知DO平面ABB1A1因为底面ABB1A1为菱形，所以AB1A1B，分别以射线OB，射线OB1，射线OD为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz如图设ADAB2BC2a，由A1AB60可知OBa，OAOB1a，所以ODa，从而A(0，a,0)，B(a,0,0)，B1(0，a,0)，D(0,0，a)，所以(a，a,0)，(0，a，a)由可得C，所以设平面DCC1D1的法向量为m(x0，y0，z0)，由m0，m0，得取y01，则x0，z03，所以m(，1,3)又平面ABB1A1的一个法向量为(0,0，a)，所以cos，m故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为
