1、课时作业10函数与方程一、选择题1(2015东北三校联考)已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()AabcBcbaCcab Dbac 解析：在同一平面直角坐标系下分别画出函数y2x，ylog3x，y，yx的图象，如图，观察它们与yx的交点可知abc.答案：A2(2014山东青岛一模)函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)2xx32在区间(0,2)内单调递增，且f(0)10，f(2)100，所以f(0)f(2)0，即函数f(x)2xx32在区间(0,2)内有唯一一个零点
2、，故选B.答案：B3(2015河北唐山期末)f(x)2sinxx1的零点个数为()A4 B5C6 D7解析：2sinxx10，2sinxx1.令h(x)2sinx，g(x)x1，f(x)2sinxx1的零点个数转化为求两个函数图象的交点个数h(x)2sinx的周期T2，分别画出两个函数的图象，如图所示，h(1)g(1)，hg，g(4)32，g(2)32，可知两个函数图象的交点一共5个，f(x)2sinxx1的零点个数为5.答案：B4(2014山东威海一模)已知a1，设函数f(x)axx4的零点为m，g(x)logaxx4的零点为n，则mn的最大值为()A8 B4C2 D1解析：由f(x)axx
3、40，得ax4x，函数f(x)axx4的零点为m，即yax，y4x的图象相交于点(m,4m)；由g(x)logaxx40，得logax4x，函数g(x)logaxx4的零点为n，即ylogax，y4x的图象相交于点(n,4n)因为yax，ylogax互为反函数，则(m,4m)与(n,4n)关于直线yx对称，所以m4n，即mn4，且m0，n0.由mn24，当且仅当mn2时“”成立，所以mn的最大值为4.故选B.答案：B5(2014山东德州二模)若函数f(x)满足f(x)1，当x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1上，g(x)f(x)mx2m有两个零点，则实数m的取值范围是()A0m B0mC.
4、m1 D.m1解析：g(x)f(x)mx2m有两个零点，即曲线yf(x)，ymx2m有两个交点令x(1,0)，则x1(0,1)，所以f(x1)x1，f(x)1.在同一平面直角坐标系中，画出yf(x)，ymx2m的图象(如图所示)，直线ymx2m过定点(2,0)，所以m满足0m，即0m，故选A.答案：A6(2014河北石家庄调研)已知函数f(x)则方程f(x)ax恰有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是(注：e为自然对数的底数)()A. B.C. D.解析：因为方程f(x)ax恰有两个不同的实数根，所以yf(x)与yax有2个交点因为a表示直线yax的斜率，当x1时，yf(x)，设切点坐标为(
5、x0，y0)，k，所以切线方程为yy0(xx0)，而切线过原点，所以y01，x0e，k.所以直线l1的斜率为，直线l2与yx1平行所以直线l2的斜率为，所以实数a的取值范围是.答案：B二、填空题7(2014上海长宁质检)设a为非零实数，偶函数f(x)x2a|xm|1(xR)在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a的取值范围是_解析：由函数f(x)为偶函数可得m0，即f(x)x2a|x|1，f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点，由零点存在定理可得f(2)f(3)0，从而(52a)(103a)0，解得a.答案：8(2015皖北协作区联考)已知函数f(x)若关于x的函数g(x)f(x)m有两个零点
6、，则实数m的取值范围是_解析：g(x)f(x)m有两个零点，等价于函数f(x)与函数ym的图象有两个交点，作出函数的图象如下：由图可知m的取值范围是(1,2答案：(1,29(2014江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x)|x22x|.若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_解析：作出函数f(x)|x22x|，x0,3)的图象(如图)，f(0)，当x1时，f(x)极大值，f(3)，方程f(x)a0在3,4上有10个根，即函数yf(x)的图象和直线ya在3,4上有10个交点由于函数f(x)的周期为3，则直线ya与f(x)的
7、图象在0,3)上应有4个交点，因此有a.答案：三、解答题10(2014郑州模拟)设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(mn)(1)若m1，n2，求不等式F(x)0的解集；(2)若a0，且0xmn，比较f(x)与m的大小解析：(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)，当m1，n2时，不等式F(x)0即为a(x1)(x2)0.当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x1或x2；当a0时，不等式F(x)0的解集为x|1x2(2)f(x)ma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a0，且0xmn，xm0,1anax0，f(x)m0，即f(x)m.11
8、(2015深圳调研)已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)4lnx的零点个数解析：(1)f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4lnx2(x0)，g(x)1.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)只有1个零点12(2015呼伦贝尔调研)已知f(x)|2x1|ax5(a是常数，aR)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)如果函数yf(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)|2x1|x5由解得x2；由解得x4.所以f(x)0的解集为x|x2或x4(2)由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的图象，观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数yf(x)有两个不同的零点故a的取值范围是(2,2)
