1、习题课导数的综合应用题型一导数在解决实际问题中的应用【例1】某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(xN*，单位：千瓶)间的关系为P，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元.(注：正品率饮品的正品瓶数饮品总瓶数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数；(2)求该种饮品的最大日利润.解(1)由题意，知每生产1千瓶正品盈利4 000元，每生产1千瓶次品亏损2 000元，故y4 000x2 000x3 600xx3.所以日利润yx33 600x(xN*，1x40).(2)令f(x)x3
2、3 600x，x1，40，则f(x)3 6004x2.令f(x)0，解得x30或x30(舍去).当1x0；当30x40时，f(x)20，y25.两个栏目的面积之和为2(x20)18 000，y25，广告牌的面积S(x)x25x，S(x)2525.令S(x)0，得x140；令S(x)0，得20x140.函数S(x)在(140，)上单调递增，在(20，140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140).当x140时，y175，故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小，最小面积为24 500 cm2.题型二与最值有关的恒成立问题【例2】设函数f(x)tx22t2xt1(
3、xR，t0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去).当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g(t)0g(t)单调递增1m单调递减对t(0，2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0，2)恒成立，也就是g(t)0对t(0，2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围
4、是(1，).规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.【训练2】设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0，3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围；(2)若对任意的x(0，3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围.解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2).当x(0，1)时，f(x)0，f(x)
5、单调递增；当x(1，2)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(2，3)时，f(x)0，f(x)单调递增.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范围为(，1)(9，).(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范围为(，19，).题型三利用导数证明不等式【例3】已知函数f(x)ln x(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对于任意x(1，2)，不等式0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，当x(0
6、，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增.综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0时，f(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(0，a).(2)证明1x2，0，令F(x)(x1)ln x2(x1)，即F(x)ln x2ln x1.由(1)知，当a1时，f(x)ln x1在1，)上单调递增，当x1，2)时，f(x)f(1)，即ln x10，F(x)0，F(x)在1，2)上单调递增，当x(1，2)时，F(x)F(1)0，即当1x2时，g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方
7、法)，但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)对x1x2恒成立，即等价于函数h(x)f(x)g(x)为增函数.【训练3】设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x.(1)解依题意，f(x)的定义域为(0，).f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0，f(x)单调递增.当x1时，f(x)0，f(x)单调递减.(2)证明由(1)知f(x)在x1处取得最大值，且最大值f(1)0.所以当x1时，ln
8、 x1，又可将代入ln xx1，得ln 1，即ln x1ln xx，故当x(1，)时恒有1x.题型四利用导数解决函数的零点或方程的根问题【例4】已知函数f(x)1，(1)求f(x)的单调区间；(2)当a1时，求函数f(x)在区间(0，e上零点的个数.解(1)f(x)，令f(x)0，得xe1a.f(x)及f(x)随x的变化情况如下表：x(0，e1a)e1a(e1a，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)的单调递增区间为(0，e1a)，单调递减区间为(e1a，).(2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1a)，当a1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e)上单调递减.又f(1)0
9、，故f(x)在区间(0，e上只有一个零点.当a0，e1a1，则f(e1a)0，所以f(x)在区间(0，e上无零点.综上，当a1时，f(x)在区间(0，e上只有一个零点，当a1时，f(x)在区间(0，e上无零点.规律方法利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.【训练4】若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)取得极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解(1)对f(x)求导得f(x)3ax2b
10、，由题意得解得a，b4(经检验满足题意).f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2).令f(x)0，得x2或x2.当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)0).S(x34V).令S0，得x.答案C2.已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b)C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a)解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上单调递减或g(x)为常函数.a0，当x(1，1)时，f(x)0，所
11、以f(x)极小值f(1)2，f(x)极大值f(1)2.函数yx33x的大致图象如图所示，所以2a0求f(x)的单调增区间，解不等式f(x)0求f(x)的单调减区间，但需注意讨论不等式中参数a的符号；看到想到通过分离参数a构造新函数，把不等式问题转化为求函数的最值问题，需注意的是条件为“x”，而不是“x”，所以要弄清楚问题是求函数的最大值还是最小值.满分示范解(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xln a.由f(x)0，得f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0时，f(x)的单调递增区间为(，ln a)，单调递减区间为(ln a，).4分(2)因为
12、x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，则ax，即a.6分设h(x)，则问题转化为a，由h(x)，令h(x)0，得x.当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)随x变化的变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)极大值10分由上表可知，当x时，函数h(x)有极大值，即最大值为，所以a.故a的取值范围是.12分满分心得(1)涉及含参数的函数的单调区间，一般要分类讨论，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)解决不等式“恒成立”或“能成立”问题首先要构造函数，利用导数求出最值、求出参数的取值范围，也可分离参数、构造函数，直接把问题转化为求函数的最值.基础达标一、选择题1.对任
13、意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A.0a21 B.a0或a7C.a21 D.a0或a21解析f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f(x)不存在极值点.答案A2.定义在R上的函数f(x)，若(x1)f(x)2f(1)B.f(0)f(2)2f(1)C.f(0)f(2)2f(1)D.f(0)f(2)与2f(1)大小不定解析(x1)f(x)1时，f(x)0；当x0，则f(x)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增，f(0)f(1)，f(2)f(1)，则f(0)f(2)0的解集是()A. B.C.(，3) D.(3，)解析
14、因为f(x)xsin x，所以f(x)xsin xf(x)，即函数f(x)为奇函数，函数的导数f(x)1cos x0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x1)f(22x)0等价为f(x1)f(22x)f(2x2)，即x12x2，解得x3，故不等式的解集为(，3).答案C4.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A.4 B.6 C.4.5 D.8解析设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，h，S(x)x24xhx24xx2，S(x)2x.令S(x)0，解得x8，h4.答案A5.若函数f(x)x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是()A. B.C.(0，4e2)
15、D.(0，)解析令g(x)x2ex，则g(x)2xexx2exxex(x2).令g(x)0，得x0或2，g(x)在(2，0)上单调递减，在(，2)，(0，)上单调递增.g(x)极大值g(2)，g(x)极小值g(0)0，又f(x)x2exa恰有三个零点，则0a0).则h(x)1，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增.h(x)minh(1)4.又f(x)g(x)恒成立，a4.答案(，48.已知函数f(x)x22ln x，若关于x的不等式f(x)m0在1，e上有实数解，则实数m的取值范围是_.解析由f(x)m0得f(x)m，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x，当x1，e时，f(x
16、)0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)f(x)f(e).即1f(x)e22，要使f(x)m0在1，e上有实数解，则有me22.答案(，e22三、解答题9.已知函数f(x)aln x(aR)，试求f(x)的零点个数.解f(x)()ln x，令f(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得0x时，f(x)min0，f(x)无零点，当a时，f(x)min0，f(x)有1个零点，当a时，f(x)min0，f(x)有2个零点.10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元， 问轮船的速度是多少时，航行1
17、海里所需的费用总和最小？解设速度为v海里的燃料费每小时p元，那么由题设的比例关系得pkv3，其中k为比例系数，它可以由v10，p6求得，即k0.006，于是有p0.006v3.又设当船的速度为v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v396(元)，而行1海里所需时间为小时，所以，行1海里的总费用为：q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.当v20时，q20时，q0，当v20时q取得极小值，也是最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.能力提升11.已知函数f(x)exln(x3)，则下列有关
18、描述正确的是()A.x(3，)，f(x)B.x(3，)，f(x)C.x0(3，)，f(x0)1D.f(x)min(0，1)解析因为f(x)exln(x3)，所以f(x)ex，显然f(x)在(3，)上是增函数，又f(1)0，所以f(x)在(3，)上有唯一的零点，设为x0，且x0(1，0)，则xx0为f(x)的极小值点，也是最小值点，且ex0，即x0ln(x03)，故f(x)f(x0)ex0ln(x03)x0，故选B.答案B12.已知函数f(x)x2aln x(aR)，(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，x2ln xx3.(1)解f(x)x
19、，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0，2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，则a4.(2)解因为f(x)x，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).当a0时，f(x)x，当0x时，f(x)时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间(，)；递减区间为(0，).(3)证明设g(x)x3x2ln x，则g(x)2x2x0，又x1，所以g(x)在x(1，)上为增函数，所以当x1时，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln xx3.创新猜想13.(多选题)已知函数f(x)xln
20、xx2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A.0x0C.f(x0)2x00解析函数f(x)xln xx2(x0)，f(x)ln x12x，易知f(x)ln x12x在(0，)上单调递增，x0是函数f(x)的极值点，f(x0)0，即ln x012x00，而f0，当x0，f(x)，0x00，即D正确，C不正确.故答案为AD.答案AD14.(多选题)已知函数f(x)sin xx3ax，则下列结论正确的是()A.f(x)是奇函数B.若f(x)是增函数，则a1C.当a3时，函数f(x)恰有两个零点D.当a3时，函数f(x)恰有两个极值点解析对A，f(x)sin xx3ax的定义域为R
21、，且f(x)sin(x)(x)3ax(sin xx3ax)f(x).故A正确.对B，f(x)cos x3x2a，因为f(x)是增函数，故cos x3x2a0恒成立.即acos x3x2恒成立.令g(x)cos x3x2，则g(x)6xsin x，设h(x)6xsin x，h(x)6cos x0，故g(x)6xsin x单调递增，又g(0)0，故当x0时g(x)0时g(x)0.故g(x)cos x3x2最小值为g(0)1.故a1.故B正确.对C，当a3时由B选项知，f(x)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误.对D，当a3时f(x)sin xx33x，f(x)cos x3x23，令cos x3x230则有cos x33x2.在同一坐标系中作出ycos x，y33x2的图象易得有两个交点，且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.答案ABD
