1、2 直观图考 纲 定 位重 难 突 破1.了解直观图的作用2.掌握斜二测画法的规则，能用斜二测画法画平面图形和立体图形的直观图3.能进行直观图与原图形之间的转换，并能进行有关的计算.重点：理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念及结构特征难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤二、立体图形直观图的画法立体图形与平面图形相比多了一个，其直观图中对应于 z 轴的是 ，平面xOy表示平面，平面 yOz和 xOz表示平面平行于 z 轴的线段，在直观
2、图中和都不变z轴z轴水平直立平行性长度双基自测1关于直观图的“斜二测”画法，以下说法中不正确的是()A原图中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x轴，长度不变B原图中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度变为原来的12C画与直角坐标系 xOy 对应的 xOy时，xOy必须是 45D在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同解析：由斜二测画法易知 C 错答案：C2如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是()解析：根据斜二测画法，知在 y 轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的 2 倍，故A 正确答案：A3.在如图所示的直观图中，四边形 O
3、ABC为菱形且边长为 2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形 OABC 为_(填形状)，面积为_cm2.解析：由斜二测画法规则知，在四边形 OABC 中，OAOC，OAOA2 cm，OC2OC4 cm，所以四边形 OABC 是矩形，其面积为 248(cm2)答案：矩形 84在棱长为 4 cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱 AA1在 x 轴上，棱 AD 在 y 轴上，则在其直观图中，对应棱 AD的长为_cm，棱 AA1的长为_cm.解析：画直观图时，在 x 轴上的线段长度保持不变，故 AA14 cm，在 y 轴上的线段长度变为原来的一半，故 AD2 cm.答案：2 4探究一 水平
4、放置的平面图形的画法典例 1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图解析(1)如图(1)所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，再建立如图(2)所示的坐标系 xOy，使xOy45.(2)在图(2)中，以 O为中点 x轴上取 ABAB.(3)在 y轴上取 OE12OE，以 E为中心画 CDx轴，并使 CDCD.(4)连接 BC，DA，去掉辅助线，所得的四边形 ABCD就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图如图(3)所示1画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另
5、一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定2要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系1.画出如图所示的梯形 ABCD 的直观图解析：画法：(1)如图所示，在梯形 ABCD 中，以边 AB 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 xOy.如图所示，画出对应的 x轴、y轴，使xAy45.(2)如图所示，过 D 点作 DEx 轴，垂足为 E.如图所示，在 x轴上取 ABAB，AEAE；过 E作 EDy轴，使 ED12ED，再过点 D作DCx轴，且使 DCDC
6、.(3)连接 AD，BC，并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图所示，则四边形 ABCD就是所求作的直观图探究二 空间几何体的直观图的画法典例 2 用斜二测画法画出长、宽、高分别是 3 cm，3 cm，2 cm 的长方体ABCD-ABCD的直观图解析 第一步：画轴如图 1，画 x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点 O，使xOy45，xOz90；第二步：画底面以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN3 cm，在 y 轴上取线段 PQ，使 PQ32 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，分别过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为点 A，B，C，D，四边形
7、 ABCD 就是长方体的底面 ABCD；第三步：画侧棱过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA，BB，CC，DD；第四步：成图顺次连接点 A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图 2.如何画出空间几何体的直观图1画空间几何体的直观图时，一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤，画出其底面的直观图，然后在 z 轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点，从而作出另一个底面的直观图，最后得到整个几何体的直观图2对于台体、柱体等有上底面的几何体，在作上底面的直观图时，可先作出
8、高线，然后在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系，最后作出表示相应等量的线段并连接2用斜二测画法画出底面边长为 4 cm，高为 3 cm 的正四棱锥(底面是正方形、并且顶点在底面的正射影是底面中心的棱锥)的直观图解析：(1)作水平放置的正方形的直观图 ABCD，使BAD45，AB4 cm，AD2 cm.(2)过 O作 z轴，使xOz90，在 z轴上截取 OS3 cm.(3)连接 SA，SB，SC，SD，得到如图所示的图形就是所求的正四棱锥的直观图探究三 直观图的还原问题典例 3 如图，四边形 ABCD是边长为 1 的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的
9、直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积解析 画出平面直角坐标系 xOy，使点 A 与 O 重合，在 x 轴上取点 C，使 AC 2，再在 y 轴上取点 D，使 AD2，取 AC 的中点 E，连接 DE 并延长至点 B，使 DEEB，连接 DC，CB，BA，则四边形 ABCD 为正方形 ABCD的原图形(也可以过点 C作 BCy 轴，且使 CBAD2，然后连接 AB，DC)易知四边形 ABCD 为平行四边形，AD2，AC 2，SABCD2 22 2.1还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与 x轴、y轴平行的直线或线段平行于 x轴的线段长度不变，平行于 y轴的线段还原时长度变为原
10、来的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2求直观图形的面积，关键是能先正确画出直观图形，然后根据直观图形求出它的相应边的长度3求原图形的面积，关键是要能够根据直观图形把它还原成实际图形3已知等边ABC 的直观图ABC的面积为 616，则等边ABC 的面积是_解析：按照斜二测画法的规则，把如图等边ABC 的直观图ABC还原为如图的等边ABC，设原等边三角形的边长为 x，则 BCx，等边ABC 的高为 32 x，所以ABC的高为 24 32 x 68 x，所以ABC的面积为12 68 xx 616x2 616，解得 x1，所以ABC 的面积为12x 32 x 34 x2 34.答案：34
11、还原平面图时，因找不准与 y 轴平行的线段致误典例 如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45、腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()A.12 22 B1 22C1 2D2 2解析 作 DEAB交 BC于 E(图略)，由斜二测画法规则知，直观图为等腰梯形 ABCD的原平面图形为直角梯形 ABCD，且 AB2，BC1 2，AD1，所以 S 梯形 ABCDADBCAB22 2.答案 D错因与防范 还原平面图时，因没有找准与 y 轴平行的线段，误把直观图中的高扩大 2 倍得 2，从而错选 C.已知直观图求原图形的面积，其关键是能够根据直观图把它还原成实际图形，根据
12、题设条件的不同，有时需作出平行 x轴(或 y轴)的线段来辅助解题随堂训练 1利用斜二测画法得到以下结论：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形其中正确的是()A BCD解析：利用斜二测画法分析可知正确水平放置的正方形、菱形的直观图可能是非正方形、非菱形的平行四边形答案：A2.如图，水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B到 x轴的距离为()A.22B1C.2D2解析：如图，由斜二测画法可知，在新坐标系 xOy中，BC1，xCB45，过 B作 x轴的
13、垂线，垂足为 D，在RtBDC中，BDBCsin 451 22 22.答案：A3利用斜二测画法得到的水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知 AC3，BC2，则 AB 边上的中线的长度为()A2 B2.5 C3 D4解析：如图，根据斜二测画法的原则，可知ACB90，AC3，BC4，所以 AB5.又直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以 AB边上的中线的长度为 2.5，故选 B.答案：B4一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为 20 m、5 m,10 m，四棱锥的高为 8 m，若按 1500 的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为_解析：由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为 4 cm,1 cm,2 cm 和 1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.答案：4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm课时作业
