1、第3课时 三角形中的几何计算 在ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？habsinCcsinBhb=csinAasinChc=asinBbsinA1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.(重点)2.三角形各种类型的判定方法.(难点)1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？D 思考：如何用已知边和角表示三角形的面积？探究点1 三角形面积公式 A a C B c b ha hc hb 111222abcABCab在 ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为h,h,h，则有S
2、=ah=bhchc2.已知边角求三角形的面积:habsinCcsinB hb=csinAasinC hc=asinBbsinA A a ha C B D c b 121121221122cABCab根据以前学过的三角形面积公式S=ah=bhch，可以推导出下面S=absinC，S=bcsinA，S=的三角形面积公式：acsinB.分析：这是一道在不同的已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.例1 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面 积S（精确到0.1 ）:（1）已知a=14.
3、8cm，c=23.5cm，B=148.5；（2）已知B=62.7，C=65.8,b=3.16cm；（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm.cm2 应21（1）用S=casinB21 S=23.5 90.14.8s9（cm）i.n148.5解2：222bcbsinC（2）根据正弦定理，=，c=，sinBsinCsinB11sinCsinAS=bcsinA=b，22sinBA=180-（B+C）=180-（62.7+65.8）=51.5，1sin65.8sin51.5S=3.16 4.0（cm）.2sin62.7(3)根据余弦定理的推论，得 应22222222
4、2c+a-bcosB=2ca38.7+41.4-27.3=238.741.40.769 7，sinB=1-cos B1-0.769 70.638 4，1用S=casinB，得21S38.741.40.6384511.4（cm）.2例2 如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1）分析：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.CAB解：设a=68 m,b=88 m,c=127 m,根据余弦定理的推论，.0.753 2，应222222
5、222c+a-b127+68-88cosB=2ca212768sinB=1-cos B1-0.753 20.657 8.1用S=casinB，得21S127680.657 82 840.4（m）.2这个区积2域的面是2 840.答4 m：.例3 在ABC中，求证：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理和余弦定理来证明.探究点2 三角形边角关系应用 222222222a+bsin A+sin B（1）=.csin C（2）a+b+c=2（bccosA+cacosB+abcosC）.证明：（1）根据正弦定理，可设 显边边.222222222222
6、abc=ksinAsinBsinC然k0，所以a+b左=ck sin A+k sin Bsin A+sin B=右k sin Csin C（2）根据余弦定理，右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.（1）acosA=bcosB.例4 判断满足下列条件的三角形的形状.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.探究点3 判断三角形的形状.coscossinA+sinB（2）sinC=AB边该（1）关22222222244222222222由余弦定理得b+c-ac+a-ba=b2bc2ca所以c（a-b）=a-b=（a+b）（a
7、-b），所以a=b 或c=a+b.根据的系得三角形是等腰三角形或直解：角三角形.另解：由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,即2A=2B,根据边的关系易得是等腰三角形.所以A=B，思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错误？为什么？因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，则A+B=90.前一种解法正确.后一种解法遗漏了一种情况；22222222222222222222222323222323由已知，sinA+sinB=sinC（cosA+cosB），b+c-aa+c-b由正、余弦定理得，a+b=c（+）2
8、bc2acb+c-aa+c-b所以a+b=+，2b2a所以2a b+2ab=a（b+c-a）+b（a+c-b），所以a b+ab=ac-a+bc-b，所以a b+ab-ac（2）+a-bc+b=0所以此三角形为直角三角形.222222222222所以ab（a+b）-c（a+b）+（a+b）（a-ab+b）=0即（a+b）（a+b-c）=0，又a+b0，所以a+b-c=0，所以c=a+b，利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并观察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.1.在 中，内角A，B，C
9、的对边分别为a，b，c，若 且ab，则 （）ABC1a sin BcosC+csinBcosA=b,2=B25A.B.C.D.6336【解析】选A.据正弦定理，设 则 将它们代入 整理得 即 又 所以 因为ab，所以 必为锐角，所以 abc=ksinAsinBsinCa=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.1asinBcosC+csinBcosA=b,21sinAcosC+cosAsinC=,21sin(A+C)=,2sin(A+C)=sin(-B)=sinB,1sinB=2B=.6B2.（2013 陕西高考）设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB
10、=asinA,则 ABC的形状为?（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定分析：在含有边角关系式三角函数恒等变形中，利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式，这是判断三角形形状的两个转化方向.【解析】选A.因为 所以由正弦定理得 所以三角形ABC是直角三角形.bcosC+ccosB=asinA222sinBcosC+sinCcosB=sin A,所以sin(B+C)=sin AsinA=sin AsinA=113.在 ABC中，已知tanB=3，cosC=，AC=3 6，3求 ABC的面积?（）设长别为2AB，BC，CA的分c，a，b31
11、由tanB=3得B=60所以sinB=，cosB=，222 2又sinC=1-cos C=，32 23 6bsinC3由正弦定理得，c=8.sin：，32B解ABC所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC3112 232=+=+，2323631故S=bcsinA=6 2+8 3.24.2645在 ABC中，已知a=，b=，A=，求三角形的面积S为bsinA由正弦定理可得sinB=a6sin453=.22因在ABC中，a b,所以A B,所以B=60或B=1解：20.则（1）若B=60，C=180-45-60=75,113+3故S=absinC=2 6sin75=.22
12、2答：三角形的面积为 3+33-3或.22则（2）若B=120，C=180-45-120=15113-3故S=absinC=2 6sin15=.2225.已知a，b，c分别为ABC 三个内角A，B，C的对边，cos3 sin0.aCaCbc（1）求A.（2）若a=2，ABC的面积为 ，求b,c.3解：（1）由 及正弦定理得 acosC+3asinC-b-c=0sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0因为B=-A-C,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0由于sinC0，所以 1sin().62A又0A ,故A=.3（2）ABC的面积 1S=bcsinA=3,故bc=4.222222而a=b+c-2bccosA,故b+c=8.解得b=c=2.1.三角形面积公式：2.确定三角形的形状利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.111222S=absinC，S=bcsinA，S=acsinB.
