2023中考数学真题基础练 第四章 三角形课件.pptx

1、第四章 三角形 中考数学真题基础练考点26 相交线与平行线 容易题 1.新情境导航路线选择2021 台州小光准备从A地去往B地,导航显示两地距离为37.7公里,但导航提供的三条可选路线长却分别为45公里,50公里,51公里(如图).能解释这一现象的数学知识是()A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.三角形两边之和大于第三边D.两点确定一条直线答案1.A 容易题 2.2022北京如图,利用工具测量角,则1的大小为()A.30B.60C.120D.150答案2.A容易题 3.2022山西如图,RtABC是一块直角三角板,其中C=90,BAC=30.直尺的一边DE经过顶点A,若DECB,则DAB的

2、度数为()A.100B.120C.135D.150答案3.B DECB,C=90,DAC=C=90.又BAC=30,DAB=90+30=120.容易题 4.2021百色如图,与1是内错角的是()A.2B.3C.4D.5答案4.C容易题 5.2021 北京如图,点O在直线AB上,OCOD.若AOC=120,则BOD的大小为()A.30B.40C.50D.60答案5.A AOC=120,BOC=180-AOC=60.OCOD,BOD=COD-BOC=90-60=30.容易题 6.新考法过程性探究2021 荆州阅读下列材料,其步中数学依据错 误 的是()A.B.C.D.答案6.B 步的数学依据是“两

3、直线平行,同位角相等”.如图,已知直线bc,ab,求证:ac.证明:ab(已知),1=90(垂直的定义).bc(已知),1=2(同位角相等,两直线平行),2=1=90(等量代换),ac(垂直的定义).容易题 7.2022湖北如图,ABCD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.BEF的平分线交CD于点G.若EFG=52,则EGF=()A.128B.64C.52D.26答案7.B ABCD,FEB=180-EFG=128.EG平分BEF,BEG=12BEF=64.ABCD,EGF=BEG=64.容易题 8.2021 益阳如图,AB与CD相交于点O,OE是AOC的平分线,且OC恰好平分EOB,则AO

4、D=.答案8.60 OE是AOC的平分线,OC恰好平分EOB,AOE=COE=BOC.又AOE+COE+BOC=180,BOC=60,AOD=60.中档题 9.2022陕西如图,ABCD,BCEF.若1=58,则2的大小为()A.120B.122C.132D.148答案9.B 中档题 10.2021连云港如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D1,C1的位置,ED1的延长线交BC于点G,若EFG=64,则EGB等于()A.128B.130C.132D.136答案10.A ADBC,DEF=EFG=64,BGE=DEG.由折叠可知DEF=GEF,BGE=DEG=2DEF=264

5、=128.中档题 11.2022扬州将一副直角三角板如图放置,已知E=60,C=45,EFBC,则BND=.答案11.105 BAC=90,EDF=90,E=60,C=45,F=30,B=45.EFBC,NDB=F=30,BND=180-B-NDB=180-45-30=105.一题多解 如图,EFBC,E=60,GDC=E=60,AGD=60+45=105,AND=180-105=75,BND=180-75=105.中档题 12.2022宜昌如图,C岛在A岛的北偏东50方向,C岛在B岛的北偏西35方向,则ACB的大小是 .答案12.85 由题意可知,DAC=50,EBC=35.如图,过点C作C

6、FAD,则CFBE,ACF=DAC=50,BCF=EBC=35,ACB=50+35=85.中档题 13.2021 大庆如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两相交最多有6个交点,按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有 个交点.答案13.190 每两条直线相交有一个交点,n条直线两两相交最多有(1)2个交点,20条直线两两相交最多有190个交点.中档题 14.2022 武汉如图,在四边形ABCD中,ADBC,B=80.(1)求BAD的度数;(2)AE平分BAD交BC于点E,BCD=50.求证:AEDC.答案14.思路导图 中档题 答案【参考答案】(1)ADBC,B+BAD=180.

7、又B=80,BAD=100.(2)证明:AE平分BAD,DAE=12BAD=50.ADBC,AEB=DAE=50.BCD=50,BCD=AEB,AEDC.另解:运用三角形内角和定理可以得证考点27 三角形的基本性质 容易题 1.2022金华已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,则第三边的长可以是()A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.13 cm答案1.C 设第三边长为x cm.三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,8-5x5+8,即3x”“=”或“”).答案4.=连接CD,易知CDAB,SABC=SABD.一题多解 设小正方形的边长为1,则AB=2 2,BC=2 2.易知BCAB,

8、SABC=122 22 2=4.又SABD=25-1215-1222-1213=4,SABC=SABD.【提示】同底等高中档题 5.2021 怀化如图,在ABC中,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的是()A.AD+BDAB,故选项A中的说法错误;三角形的重心和外心分别是三边中线的交点和三边垂直平分线的交点,易知当AB=AC时,BAC的平分线经过ABC的重心和外心,故选项B,D中的说法错误.中档题 6.2021邵阳如图,点D,E,F分别为ABC三边的中点.若AB

9、C的周长为10,则DEF的周长为 .答案6.5 点D,E,F分别为ABC三边的中点,DE,DF,EF均为ABC的中位线,DE=12BC,DF=12AC,EF=12AB,DE+DF+EF=12BC+12AC+12AB=12(BC+AC+AB)=1210=5,即DEF的周长为5.中档题 7.2022常州如图,在ABC中,E是中线AD的中点.若AEC的面积是1,则ABD的面积是 .答案7.2 E是AD的中点,CE是ACD的中线,SACD=2SAEC.AEC的面积是1,SACD=2SAEC=2.AD是ABC的中线,SABD=SACD=2.中档题 8.2021河北如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与

10、BD的交点为C,且A,B,E保持不变.为了舒适,需调整D的大小,使EFD=110,则图中D应 (填“增加”或“减少”).答案8.减少 10 A=50,B=60,DCE=ACB=180-50-60=70.如图,延长EF交CD于点G,EGD是EGC的外角,EGD=E+DCE=30+70=100.当EFD=110时,D=EFD-EGD=110-100=10.又D原来的度数为20,D应减少10.中档题 9.2022哈尔滨在ABC中,AD为边BC上的高,ABC=30,CAD=20,则BAC是 度.答案9.40或80 当ACB是钝角,即点D在线段BC的延长线上时,如图(1),则BAC=90-30-20=4

11、0;当ACB是锐角,即点D在线段BC上时,如图(2),则BAC=90-30+20=80.考点28 与特殊三角形有关的证明与计算 容易题 1.新情境数学活动2021 福建如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得A=60,C=90,AC=2 km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB等于()A.2 kmB.3 kmC.2 3 kmD.4 km答案1.D 在RtABC中,由余弦的定义,得AB=cos=2cos60=4(km).容易题 2.2022天津如图,OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且ABx轴,若AB=6,OA=OB

12、=5,则点A的坐标是()A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)答案2.D 设AB交x轴于点C,OA=OB,ABx轴,CA=CB=12AB=3,OC=22=4,A(4,3).容易题 3.2022荆州如图,直线l1l2,AB=AC,BAC=40,则1+2的度数是()A.60B.70C.80D.90答案3.B 如图,过点C作CDl1,l1l2,l1l2CD,1=BCD,2=ACD,1+2=BCD+ACD=ACB.AB=AC,BAC=40,ACB=12(180-BAC)=70,1+2=70.容易题 4.2021 扬州如图,在44的正方形网格中有两个格点A,B,连接AB,在网格中再找一

13、个格点C,使得ABC是等 腰 直 角三角形,满足条件的格点C的个数是()A.2B.3C.4D.5答案4.B 图示速解 分情况讨论:AB为等腰直角三角形ABC的斜边时,符合条件的格点C有0个;AB为等腰直角三角形ABC的直角边时,符合条件的格点C有3个,如图.故选B.容易题 5.2020 宜昌如图,在一个池塘两旁有一条笔直的小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置),测得的相关数据为:ABC=60,ACB=60,BC=48米,则AC=米.答案5.48 因为ACB=ABC=60,所以ABC为等边三角形,所以AC=BC=48米.容易题 6.2021成都如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代

14、表的正方形的面积为 .答案6.100 A所代表的正方形的面积为36+64=100.容易题 7.2021 江西节选如图,在ABC中,A=40,ABC=80,BE平分ABC交AC于点E,EDAB于点D,求证:AD=BD.答案7.【参考答案】证明:BE平分ABC,ABC=80,EBA=12ABC=40.A=40,EBA=A,BE=EA.EDAB,AD=BD.容易题 一题多解 证明:BE平分ABC,ABC=80,EBA=12ABC=40.A=40,EBA=A.EDAB,BDE=ADE=90.ED=ED,BEDAED,AD=BD.中档题 8.2021 青海已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满足 2

15、3+5+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为()A.8B.6或8C.7D.7或8答案8.D 23+5+(2a+3b-13)2=0,23+5=0,2+313=0,解得 =2,=3,当b为底边长时,三角形的三边长分别为2,2,3,则周长为7;当a为底边长时,三角形的三边长分别为2,3,3,则周长为8.综上可知,等腰三角形的周长为7或8.故选D.中档题 9.2021 绍兴如图,在ABC中,AB=AC,B=70,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则BAP的度数是 .答案9.15或75 图示速解(分类讨论思想)AB=AC,ABC=70,ACB=70,BAC=40

16、.CA=CP,CAP=CPA.分两种情况讨论:当点P在点B的左侧时,如图(1),CAP=(180-70)2=55,BAP=CAP-CAB=55-40=15;当点P在点B的右侧时,如图(2),CAP=12ACB=35,BAP=CAP+CAB=35+40=75.综上,BAP=15或75.中档题 10.2022荆州如图,在RtABC中,ACB=90,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于D,E,连接CD.若CE=13AE=1,则CD=.答案10.如图,连接BE,由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线,BE=AE=3CE=3.在RtECB中,BC=2 2=2 2,AB=2+2=2 6.又CD为

17、RtABC斜边上的中线,CD=12AB=6.中档题 11.2021 长沙如图,在ABC中,ADBC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA,连接AE.(1)求证:B=ACB;(2)若AB=5,AD=4,求ABE的周长和面积.答案11.【参考答案】(1)证明:ADBC,BD=CD,直线AD是线段BC的垂直平分线,AB=AC,B=ACB.(2)在RtABD中,BD=2 2=5242=3,CD=3.又CE=AC=AB=5,DE=8,BE=11,AE=2+2=42+82=4 5,SABE=12114=22,ABE的周长为5+11+4 5=16+4 5.中档题 12.2022杭州如图,在Rt

18、ACB中,ACB=90,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EFAC于点F,连接CM,CE.已知A=50,ACE=30.(1)求证:CE=CM.(2)若AB=4,求线段FC的长.答案12.思路导图 中档题 答案【参考答案】(1)证明:因为ACB=90,A=50,点M为AB的中点,所以MA=MC,所以MCA=A=50,所以CMA=180-A-MCA=80.因为CEM=A+ACE=50+30=80,所以CME=CEM,所以CE=CM.(2)由题意,得CE=CM=12AB=2.又因为EFAC,所以FC=CEcos 30=3.考点29 全等三角形的判定与性质 容易题 1.2021 盐城工人师傅常常利

19、用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在AOB的两边OA,OB上分别截取OC=OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C,D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS答案1.D 容易题 2.2021 哈尔滨如图,ABCDEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点,过点A作AFCD,垂足为点F,若BCE=65,则CAF的度数为()A.30B.25C.35D.65答案2.B ABCDEC,ACB=DCE.BCE=65,ACD=BCE=65.AFCD,AFC=90,CAF=90-65=25.容易题 3.

20、2020 北京如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明ABDACD,这个条件可以是 (写出一个即可).答案3.D为BC的中点(答案不唯一,正确即可)因为D为BC的中点,所以BD=CD.又AB=AC,AD=AD,所以ABDACD.容易题 4.2021 陕西如图,BDAC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.求证:D=ABC.答案4.【参考答案】证明:BDAC,EBD=C.BD=BC,BE=AC,EDBABC,D=ABC.容易题 5.2022福建改编如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BC=EF,AB=DE,ABED.求证:A=D.答案5.【参

21、考答案】证明:ABED,B=E.在ABC和DEF中,=,=,=,ABCDEF,A=D.中档题 6.2022扬州如图,小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不 一 定 符合要求的是()A.AB,BC,CAB.AB,BC,BC.AB,AC,BD.A,B,BC答案6.C中档题 7.2020 江西如图,AC平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,则BAE的度数为 .答案7.82 AC平分DCB,BCA=DCA.在BCA和DCA中,=,=,=,BCA

22、DCA(SAS),BAC=DAC.又DAC+CAE=180,DAC=180-49=131,BAC=131,即BAE+EAC=131,BAE=131-49=82.中档题 8.2020 陕西副卷如图,在ABC中,AB=AC,D是BA延长线上一点,E是AC的中点,连接DE并延长,交BC于点M,DAC的平分线交DM于点F.求证:AF=CM.答案8.【参考答案】证明:AB=AC,B=C,DAC=B+C=2C.AF是DAC的平分线,EAF=12DAC=C.E是AC的中点,AE=CE.在AEF和CEM中,EAF=C,AE=CE,AEF=CEM,AEFCEM(ASA),AF=CM.【关键】利用角平分线的定义中

23、档题 9.2022长沙如图,AC平分BAD,CBAB,CDAD,垂足分别为B,D.(1)求证:ABCADC;(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.答案9.【参考答案】(1)证明:AC平分BAD,CBAB,CDAD,CB=CD.又AC=AC,RtABCRtADC.(2)ABCADC,BC=CD=3,SABC=SADC,S四边形ABCD=2SABC=212ABBC=43=12.中档题 10.2021常州如图,B,F,C,E是直线l上的四点,ABDE,AB=DE,BF=CE.(1)求证:ABCDEF;(2)将ABC沿直线l翻折得到ABC.用直尺和圆规在图中作出ABC(保留作图痕迹,不要

24、求写作法);连接AD,则直线AD与l的位置关系是 .答案10.【参考答案】(1)证明:BF=CE,BF+FC=CE+FC,即BC=EF.ABDE,ABC=DEF.在ABC与DEF中,=,=,=,ABCDEF(SAS).(2)如图所示,ABC即为所求.平行考点30 相似三角形的判定与性质 容易题 1.2021 重庆B卷如图,在平面直角坐标系中,将OAB以原点O为位似中心放大后得到OCD,若B(0,1),D(0,3),则OAB与OCD的相似比是()A.21B.12C.31D.13答案1.D 容易题 2.2022临沂如图,在ABC中,DEBC,=23,若AC=6,则EC=()A.65B.125C.1

25、85D.245答案2.C DEBC,=23,=35,EC=35AC=356=185.容易题 3.2022连云港ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的DEF,其最长边为12,则DEF的周长是()A.54B.36C.27D.21答案3.C ABC与DEF相似,ABC的最长边为4,DEF的最长边为12,ABC与DEF的相似比为13,ABC的周长与DEF的周长比为13,DEF的周长为3(2+3+4)=27,故选C.容易题 4.2021 郴州如图是一架梯子的示意图,其中AA1BB1CC1DD1,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在A,D1间加绑一条安全绳(线段AD1).量得AE=0.4 m,

26、则AD1=m.答案4.1.2 BB1CC1,=.又AB=BC,AE=EF.同理可得EF=FD1,AE=EF=FD1.AE=0.4 m,AD1=0.43=1.2(m).容易题 5.2021黄冈如图,在ABC和DEC中,A=D,BCE=ACD.(1)求证:ABCDEC;(2)若SABCSDEC=49,BC=6,求EC的长.答案5.【参考答案】(1)证明:BCE=ACD,BCE+ACE=ACD+ACE,ACB=DCE.A=D,ABCDEC.(2)ABCDEC,SABCSDEC=49,()2=49,=23.BC=6,CE=9.容易题 6.2022陕西小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高

27、.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AOOD,EFFG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.答案6.【参考答案】ADEG,ADO=EGF.又AOD=EFG=90,AODEFG,=,AO=1.8202.4=15.同理,BOCAOD,=,BO=151620=12,AB=OA-OB=3(米),旗杆的高AB为3米.中档题 7.2021 河北图(1)是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图(2)所示,此时液面AB=(

28、)A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm答案7.C 根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知 6=157117,即 6=84,AB=3 cm.中档题 8.2022达州如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,BE=4,则AD的长为()A.9B.12C.15D.18答案8.C 四边形ABCD是矩形,AD=BC,A=EBF=BCD=90.由翻折性质知DF=AD=BC,DFE=A=90,BFE+CFD=90,BFE+BEF=90,BEF=CFD,BEFCFD,=.CD=3BF,CF=3BE=12.设BF=x,则CD=3x,DF=

29、AD=BC=x+12,在RtCDF中,CD2+CF2=DF2,(3x)2+122=(x+12)2,解得x1=3,x2=0(舍去),AD=x+12=3+12=15.中档题 9.2021 徐州如图,在ABC中,点D,E分别在边BA,BC上,且=32,DBE与四边形ADEC的面积的比 .答案9.=32,=25.又B=B,DBEABC,=(25)2=425.设SDBE=4a,则SABC=25a,S四边形ADEC=25a-4a=21a,SDBES四边形ADEC=421.中档题 10.2022北京如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=14,则AE的长为 .答案10.1 ABC=90,BC=22=

30、5232=4.ADBC,AEFCBF,=14,AE=14BC=144=1.中档题 11.新考法填空双空题2022河北如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则(1)AB与CD是否垂直?(填“是”或“否”).(2)AE=.中档题 答案11.(1)是(2)(1)如图(1).AC=CF=2,ACM=CFD=90,CM=FD=1,ACMCFD,CAM=FCD.CAM+CMA=90,FCD+CMA=90,CEM=90,即ABCD.(2)方法一:如图(1),在RtABH中,AB=H2+H2=22+42=2 5.ACBD,CAE=DBE,

31、ACE=BDE,ACEBDE,=23,=25,AE=4 55.方法二:如图(2),连接AD.SACD=1222=12CDAE,CD=22+12=5,AE=4 55.中档题 12.2021 上海节选如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AD=CD,点O是对角线AC的中点,连接BO并延长交边CD于点E.(1)求证:DACOBC;(2)若BECD,求的值.答案12.【参考答案】(1)证明:如图,AD=CD,1=2.ADBC,1=3.点O是RtABC的斜边AC的中点,OB=OC,3=4,1=2=3=4,DACOBC.【注意】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半中档题 答案(2)如图,2=3

32、=4,BEC=90,2=3=4=30,DCH=60.过点D作DHBC于点H,则四边形ABHD是矩形.设AD=CD=2m,则BH=2m.在RtDCH中,DCH=60,DC=2m,CH=m,BC=BH+CH=3m,ADBC=2m3m=23.考点31 锐角三角函数 容易题 1.2022天津tan 45的值等于()A.2B.1C.22D.33答案1.B容易题 2.2021 东营如图,在ABC中,C=90,B=42,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是()答案2.D 由正切的定义,得AC=BCtan B=8tan 42.容易题 3.2021 宜昌如图,ABC的顶点是正方形网格的格点

33、,则cosABC的值为()A.23B.22C.43D.2 23答案3.B 如图,过点A作ADBC于点D,由题意可知点D位于格点上,且AD=BD,ABC=45,cosABC=cos 45=22.容易题 4.2022福建如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ABC=27,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 270.45,cos 270.89,tan 270.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD.22.44 cm答案4.B AB=AC,ADBC,BD=CD=12BC=22 cm.在RtABD中,tanABD=,AD=BDtan

34、ABD=22tan 27220.51=11.22(cm).中档题 5.2021 温州图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图(2)所示的四边形OABC.若AB=BC=1,AOB=,则OC2的值为()A.1sin2+1B.sin2+1C.1cos2+1D.cos2+1答案5.A 在RtAOB中,AB=1,AOB=,sin=,OB=sin=1sin.在RtCOB中,由勾股定理,得OB2+BC2=OC2,即(1sin)2+12=OC2,OC2=1sin2+1.中档题 6.新情境关注行车安全2021 临沂如图,在某小区内拐角处的一段

35、道路上,有一儿童在C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来.已知CM=3 m,CO=5 m,DO=3 m,AOD=70,汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童(结果保留整数)?(参考数据:sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75,sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75)答案6.【参考答案】在RtCOM中,OM=22=5232=4(m).BOD=COM,tanBOD=tanCOM,=34,BD=2.25 m.在RtAOD中,AD=ODtanAOD=3tan 7032.75=8.25(m),AB=AD-BD=8.25-2.25=6(m)

36、.答:汽车从A处前行6 m才能发现C处的儿童.专项强化10 全等三角形的常考模型 模型一 平移模型 1.2021 衡阳如图,点A,B,D,E在同一条直线上,AB=DE,ACDF,BCEF.求证:ABCDEF.答案1.【参考答案】证明:ACDF,BCEF,A=FDE,ABC=DEF.在ABC与DEF中,=,=,=,ABCDEF.模型一 平移模型 2.2022宜宾已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,ABDE,B=E,BC=EF.求证:AD=CF.答案2.【参考答案】证明:ABDE,A=EDF,在ABC与DEF中,=,=,=,ABCDEF(AAS),AC=DF,AC-DC=DF-DC,AD=C

37、F.模型二 轴对称模型 3.2022金华如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定ABODCO的依据是()A.SSSB.SASC.AASD.HL答案3.B 在ABO和DCO中,AO=OD,AOB=DOC,OB=OC,ABODCO(SAS).故选B.模型二 轴对称模型 4.2021 无锡已知:如图,AC,DB相交于点O,AB=DC,ABO=DCO.求证:(1)ABODCO;(2)OBC=OCB.答案4.【参考答案】证明:(1)在ABO和DCO中,=,=,=,ABODCO.(2)ABODCO,OB=OC,OBC=OCB.模型三 旋转模型 5.2022牡丹江如图,CA=C

38、D,ACD=BCE,请添加一个条件 ,使ABCDEC.答案5.CB=CE(A=D,B=E等,答案不唯一)模型三 旋转模型 6.2022北京节选在ABC中,D为ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.如图,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AFEF,求证:BDAF.答案6.【参考答案】证明:如图,延长BD交AF于点M.DC=CE,BCD=FCE,BC=CF,BCDFCE,CBD=CFE,BDEF,AMB=AFE=90,BDAF.模型四 一线三等角模型 7.2021 南充如图,BAC=90,AD是BAC内部一条射线,若AB=AC,BEAD于点E,CFAD于点F

39、.求证:AF=BE.答案7.【参考答案】证明:BEAD,CFAD,BEA=90,AFC=90,BEA=AFC.BAE+CAF=90,C+CAF=90,BAE=C.在ABE和CAF中,=,=,=,ABECAF,AF=BE.模型四 一线三等角模型 8.2020 苏州节选如图,在四边形ABCD中,B=C=90,P是BC上一点,PA=PD,APD=90.求证:AB+CD=BC.答案8.【参考答案】证明:B=90,APB+BAP=90.APD=90,APB+CPD=90,BAP=CPD.在ABP和PCD中,=,=,=,ABPPCD(AAS),AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+BP=BC.模型四

40、一线三等角模型 一题多解 证明:设BAP=CPD=.在RtABP中,BP=PAsin,AB=PAcos.在RtPCD中,CD=PDsin,PC=PDcos.又PA=PD,AB=PC,BP=CD,AB+CD=PC+BP=BC.模型五 倍长中线模型 9.2019 临沂如图,在ABC中,ACB=120,BC=4,D为AB的中点,DCBC,则ABC的面积是 .答案9.8 图示速解 DCBC,BCD=90.ACB=120,ACD=30.如图,延长CD到点H,使DH=CD,连接AH.D为AB的中点,AD=BD.在ADH与BDC中,=,=,=,ADHBDC(SAS),AH=BC=4,H=BCD=90.ACH

41、=30,CH=3AH=4 3,SABC=SACH=1244 3=8 3.模型五 倍长中线模型 10.2021 烟台有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图(1)所示放置,点E,F分别在边AB和AD上,连接BF,DE,M是BF的中点,连接AM交DE于点N.【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是 ,位置关系是 ;【探究证明】(2)将图(1)中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45,点G恰好落在边AB上,如图(2),其他条件不变,线段DE与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由.模型五 倍长中线模型 答案10.【参考答案】(1)DE=2AM DEAM解法提示:四边形ABCD和四边形

42、AEGF都是正方形,AD=AB,AF=AE,DAE=BAF=90,DAEBAF(SAS),DE=BF,ADE=ABF.在RtBAF中,M是BF的中点,AM=FM=BM=12BF,DE=2AM.AM=FM,AFB=MAF.ABF+AFB=90,ADE+AFB=90,ADE+MAF=90,AND=180-(ADE+MAF)=90,DEAM.模型五 倍长中线模型 答案(2)仍然成立.理由:如图,延长AM至点H,使得MH=AM,连接FH,M是BF的中点,BM=FM.AMB=HMF,AMBHMF(SAS),AB=HF,ABM=HFM,ABHF,HFG=AGF.四边形ABCD和四边形AEGF是正方形,DA

43、B=AFG=90,AE=AF,AD=AB=FH,EAG=AGF,EAD=EAG+DAB=AFG+AGF=AFG+HFG=AFH,EADAFH(SAS),DE=HA.AM=MH=12AH,DE=2AM.【题眼】作辅助线,构造全等三角形模型五 倍长中线模型 答案EADAFH,ADE=FHA.AMBHMF,BAM=FHM,ADE=BAM.BAM+DAM=DAB=90,ADE+DAM=90,AND=90,即AMDE.故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM,位置关系是DEAM.模型六 手拉手模型 11.2020 宜宾如图,ABC和ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,点

44、M,N分别是线段BE,AD上的点,且BM=13BE,AN=13AD,则CMN的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形答案11.C ABC和ECD是等边三角形,ACB=ECD=60,AB=AC=BC,EC=ED=CD.BCE=180-ECD=120,ACD=180-ACB=120,BCE=ACD.又CE=CD,BC=AC,BCEACD,BE=AD,EBC=DAC.又BM=13BE,AN=13AD,BM=AN.在BCM和ACN中,=,=,=,BCMACN,CM=CN,BCM=ACN,MCN=ACM+ACN=ACM+BCM=ACB=60,CMN是等边三角形.模型六 手拉

45、手模型 12.2020 鄂州如图,在AOB和COD中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD=36.连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:AMB=36,AC=BD,OM平分AOD,MO平分AMD.其中正确的结论个数有()个.()A.4B.3C.2D.1答案12.B 模型六 手拉手模型 图示速解 AOB=COD=36,AOB+BOC=COD+BOC,即AOC=BOD,在AOC和BOD中,=,=,=,AOCBOD(SAS),OAC=OBD,AC=BD,故正确;OAC=OBD,由三角形的外角性质得AMB+OBD=OAC+AOB,AMB=AOB=36,故正确;作OGAM于点G,OHDM

46、于点H,如图所示,则OGA=OHB=90.AOCBOD,OG=OH,MO平分AMD,故正确;假设MO平分AOD,则DOM=AOM,在AMO与DMO中,AOM=DOM,OM=OM,AMO=DMO,AMODMO(ASA),AO=OD.OC=OD,OA=OC,而OAOC,故错误;正确的个数有3个.故选B.【技巧】利用“反证法”证明模型七 截长补短模型 13.2020 烟台如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图(1),若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD;【类比探究】如图(2),若点D在边BC的延长线上,

47、请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?并说明理由.模型七 截长补短模型 答案13.【参考答案】【问题解决】证明:如图(1),在CD上截取CH=CE,连接EH,ABC是等边三角形,ECH=60,CEH是等边三角形,EH=EC=CH,CEH=60.DEF是等边三角形,DE=FE,DEF=60,DEH+HEF=FEC+HEF=60,DEH=FEC.在DEH和FEC中,=,=,=,DEHFEC(SAS),DH=CF,CD=CH+DH=CE+CF,CE+CF=CD.【类比探究】FC=CD+CE.理由如下:ABC是等边三角形,A=B=60.模型七 截长补短模型 答案如图(2),过点D作DGAB

48、,交AC的延长线于点G,GDAB,GDC=B=60,DGC=A=60,GCD为等边三角形,DG=CD=CG.EDF为等边三角形,ED=DF,EDF=GDC=60,EDG=FDC.在EGD和FCD中,=,=,=,EGDFCD(SAS),EG=FC,FC=EG=CG+CE=CD+CE.专项强化11 相似三角形的常考模型 模型一 “A字”模型 1.2022云南如图,在ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,设ABC的面积为S1,EBD的面积为S2,则21=()A.12B.14C.34D.78答案1.B 模型一 “A字”模型 2.2022邵阳如图,在ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加

49、一个条件:,使ADEABC.答案2.DEBC(答案不唯一,如ADE=B,AED=C,=或=等)模型一 “A字”模型 3.2021 南充如图,在ABC中,D为BC上一点,BC=3AB=3BD,则ADAC的值为 .答案3.BC=3AB=3BD,=33.ABD=CBA,ABDCBA,=33.模型一 “A字”模型 4.2021 南京如图,AC与BD交于点O,OA=OD,ABO=DCO,点E为BC延长线上一点,过点E作EFCD,交BD的延长线于点F.(1)求证:AOBDOC;(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.答案4.【参考答案】(1)证明:OA=OD,ABO=DCO,AOB=DOC,AO

50、BDOC.(2)由题知,BE=BC+CE=4.AOBDOC,CD=AB=2.EFCD,BEFBCD,=,2=43,EF=83.模型二 “8字”模型 5.2022哈尔滨如图,ABCD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为()A.32B.4C.92D.6答案5.C ABCD,=,即12=3,BE=32,BD=32+3=92.模型二 “8字”模型 6.2021 连云港如图,BE是ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则=.答案6.如图(1),过点E作EPAD交BC于点P.AE=CE,DP=CP.EPAD,=3,BD=3DP,=32=32.图示速

51、解 如图(2),过点E作EQBC交AD于点Q.点E是AC的中点,点Q是AD的中点,CD=2QE.易得BDFEQF,=3,BD=3QE,=32=32.模型二 “8字”模型 7.2021 包头如图,在RtABC中,ACB=90,过点B作BDCB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相交于点M,过点M作MNCB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为 .答案7.65 ACB=90,BDCB,MNCB,ACMNBD,CNM=CBD,MAC=MBD,MCA=MDB=CMN,MACMBD,CMNCDB,=23,=.=+=25,3=25,MN=65.模型二 “8字”模型 8.2021 长春如图,在菱形ABCD

52、中,对角线AC与BD相交于点O,AC=4,BD=8,点E在边AD上,AE=13AD,连接BE交AC于点M.(1)求AM的长.(2)tanMBO的值为 .模型二 “8字”模型 答案8.【参考答案】(1)在菱形ABCD中,ADBC,AD=BC,AEMCBM,=.AE=13AD,AE=13BC,=13,AM=13CM=14AC=1.(2)14解法提示:AO=12AC=2,BO=12BD=4,ACBD,BOM=90,AM=OM=12AO=1,tanMBO=14.模型三 一线三等角模型 9.2020 雅安节选如图,已知边长为10的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B,C不重合),连接AE,G是BC延

53、长线上的点,过点E作AE的垂线交DCG的平分线于点F,若FGBG.求证:ABEEGF.答案9.【参考答案】证明:四边形ABCD是正方形,EFAE,B=FGC=AEF=90,BAE+AEB=90,AEB+FEG=90,BAE=FEG,ABEEGF.模型三 一线三等角模型 10.2020 苏州如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFAE,垂足为F.(1)求证:ABEDFA;(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.答案10.【参考答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形,B=90,ADBC,AEB=DAF.DFAE,DFA=90,B=DFA,ABEDFA.(2)ABEDFA,=.BC=4,E是BC

54、的中点,BE=12BC=124=2,在RtABE中,AE=2+2=62+22=2 10.AD=BC=4,6=2 104,DF=6 105.模型四 手拉手模型 11.2021 宿迁节选已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.如图,连接BG,CF,求的值.答案11.【参考答案】如图,连接AF,AC,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,AC=2AB,AF=2AG,CAB=GAF=45,BAD=90,CAB+CAG=GAF+CAG,即CAF=BAG.=,CAFBAG,=2.模型四 手拉手模型 12.2020 河南节选将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB,记旋转

55、角为,连接BB,过点D作DE垂直于直线BB,垂足为点E,连接DB,CE.(1)如图(1),当=60时,DEB的形状为 ,连接BD,可求出 的值为 ;(2)当0360且90时,(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图(2)的情形进行证明;如果不成立,请说明理由.答案12.【参考答案】(1)等腰直角三角形 2解法提示:由旋转和正方形的性质,得AB=AB=AD,又BAB=60,ABB是等边三角形,ABB=60.模型四 手拉手模型 答案DAB=30,AB=AD,ABD=180302=75,DBE=180-75-60=45.又DEBE,DEB是等腰直角三角形.易知=22,BDB=CDE,BDB

56、EDC,=2.(2)两个结论仍成立.证明:连接BD.AB=AB,BAB=,ABB=90-2.BAD=-90,AD=AB,模型四 手拉手模型 答案ABD=135-2,EBD=ABD-ABB=45.DEBB,EDB=45,DEB是等腰直角三角形,=2.四边形ABCD为正方形,=2,BDC=45,=.EDB=BDC,EDB+EDB=BDC+EDB,即BDB=EDC,BDBEDC,=2.专项强化12 解直角三角形的实际应用中的常考模型 模型一 背靠背型 1.2022武汉如图,沿AB方向架桥修路,为加快施工进度,在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取ABC=150,BC=1 600 m,BCD=105

57、,则C,D两点的距离是 m.答案1.800 过点C作CEBD,垂足为E.ABC=150,EBC=180-150=30,CE=12BC=800 m,BCE=60.BCD=105,ECD=105-60=45,CD=2CE=800 2 m.模型一 背靠背型 2.2021 天津如图,一艘货船在灯塔C的正南方向,距离灯塔257海里的A处遇险,发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东40方向上,同时位于A处的北偏东60方向上的B处,救生船接到求救信号后,立即前往救援.求AB的长(结果取整数).参考数据:tan 400.84,3取1.73.模型一 背靠背型 答案2.【参考答案】如图,过点B作BHCA,垂足

58、为H.根据题意知BAC=60,BCA=40,CA=257.在RtBAH中,tanBAH=,cosBAH=,BH=AHtan 60=3AH,AB=cos60=2AH.在RtBCH中,tanBCH=,CH=tan40=3tan40.又CA=CH+AH,257=3tan40+AH,可得AH=257tan403+tan40,AB=2257tan403+tan40 22570.841.73+0.84=168.答:AB的长约为168海里.模型二 母子型 3.2021 广西北部湾经济区如图,从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45,看楼下荷塘D处的俯角为60,已知楼高AB为30米,则荷塘的宽CD为 米(结果保留

59、根号).答案3.(30-10)由题意可知,ACB=45,ADB=60,BC=AB=30,BD=33 AB=10 3,CD=BC-BD=(30-10 3)米.模型二 母子型 4.2022河南开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的清明上河图建造的,拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度,如图,在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34,沿AC方向前进15 m到达B处,又测得拂云阁顶端D的仰角为45.已知测角仪的高度为1.5 m,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上,求拂云阁DC的高度(结果精确到1 m.参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340

60、.67).模型二 母子型 答案4.【参考答案】如图,延长EF交DC于点H,由题意知,EHDC.设DH=x.在RtDHF中,DFH=45,FH=DH=x.在RtDHE中,DEH=34,EH=tan34=tan34.EF=15,EH-FH=15,即tan34-x=15,x30.5,DC=30.5+1.5=32.答:拂云阁DC的高度约为32 m.模型三 拥抱型 5.2021 南京如图,为了测量河对岸两点A,B之间的距离,在河岸这边取点C,D,测得CD=80 m,ACD=90,BCD=45,ADC=1917,BDC=5619.设A,B,C,D在同一平面内,求A,B两点之间的距离.(参考数据:tan 1

61、9170.35,tan 5619 1.50)模型三 拥抱型 答案5.【参考答案】如图,过点B分别作BECD于点E,BFCA交CA的延长线于点F,则四边形CEBF是矩形.BECD,BCD=45,CBE=45=BCE,CE=BE,矩形CEBF是正方形.设CE=BE=x m,在RtBDE中,DE=tan=tan561923x(m).CD=80 m,x+23x=80,解得x=48,CF=BF=BE=48 m.在RtACD中,AC=CDtanADC=80tan 1917800.35=28(m),AF=CF-AC=20 m,在RtABF中,AB=2+2=202+482=52(m),A,B两点之间的距离约为

62、52 m.模型三 拥抱型 6.2021 自贡如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 370.75,tan 531.33,31.73)答案6.【参考答案】在RtBAD中,tanBDA=,BDA=53,AD=tan5318.05(米).在RtCAD中,tanCAD=,CAD=30,CD=ADtanCAD=33 AD10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米.模型四 实物型 7.2021 荆州如图(1)是一

63、台手机支架,图(2)是其侧面示意图,AB,BC可分别绕点A,B转动,测量知BC=8 cm,AB=16 cm.当AB,BC分别转动到BAE=60,ABC=50时,点C到AE的距离为 cm.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 700.94,31.73)答案7.6.3 如图,过点B作BMAE于点M,由题意知BAM=60,则ABM=30,BM=ABsinBAM=16 32=8 313.84.过点C作CNBM于点N,则CBN=ABC-ABM=50-30=20,BCN=70,BN=BCsinBCN80.94=7.52,MN=BM-BN=13.84-7.526.3.故点C到AE的距离约为6.3 cm.

64、模型四 实物型 8.新情境建模动感单车2022吉林动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,BCD的度数为58.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60)答案8.【参考答案】在RtACE中,AEC=90,C=58,AC=AB+BC=34+70=104,AE=ACsin C=104sin 581040.8588.答:点A到CD的距离AE的长度约为88 cm.专

65、项强化13 三角形中的动点与折叠问题 考点一 动点问题 1.2021 贵港如图,在ABC中,ABC=90,AB=8,BC=12,D为AC边上的一个动点,连接BD,E为BD上的一个动点,连接AE,CE,当ABD=BCE时,线段AE的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案1.B 如图,取BC的中点T,连接AT,ET.ABC=90,ABD+CBD=90.ABD=BCE,CBD+BCE=90,CEB=90.CT=TB=6,ET=12BC=6,AT=2+2=82+62=10.AEAT-ET,AE4,AE的最小值为4.【注意】直角三角形斜边的中线=斜边的一半考点一 动点问题 2.2021 日照如图,在矩

66、形ABCD中,AB=8 cm,AD=12 cm,点P从点B出发,以2 cm/s的速度沿BC边向点C运动,到达点C停止,同时,点Q从点C出发,以v cm/s的速度沿CD边向点D运动,到达点D停止,规定其中一个动点停止运动时,另一个动点也随之停止运动.当v为 时,ABP与PCQ全等.答案2.2或(分类讨论思想)记动点的运动时间为t s,当BP=CQ,AB=PC时,ABPPCQ,AB=8 cm,PC=8 cm,BP=12-8=4(cm),2t=4,解得t=2,CQ=BP=4 cm,v2=4,解得v=2;当BA=CQ,PB=PC时,ABPQCP,PB=PC,BP=PC=6 cm,2t=6,解得t=3.

67、CQ=AB=8 cm,v3=8,解得v=83.综上所述,当v=2或83时,ABP与PCQ全等.考点一 动点问题 3.2020 咸宁如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),AEF=90,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:ABEECG;AE=EF;DAF=CFE;CEF的面积的最大值为1.其中正确结论的序号是 .(把正确结论的序号都填上)考点一 动点问题 答案3.四边形ABCD是正方形,B=ECG=90.AEF=90,AEB+CEG=AEB+BAE,BAE=CEG,ABEECG,故正确;在BA上截取BM=BE,连接E

68、M,如图,四边形ABCD为正方形,B=90,BA=BC.BM=BE,BEM为等腰直角三角形,BME=45,AME=135.BA-BM=BC-BE,AM=CE.CF为正方形外角平分线,DCF=45,ECF=135.由知,MAE=CEF,在AME和ECF中,=,=,=,AMEECF(ASA),AE=EF,故正确;AE=EF,AEF=90,EAF=45,BAE+DAF=45.BAE+CFE=CEF+CFE=45,DAF=CFE,故正确;设BE=x,则BM=x,AM=AB-BM=2-x,SCEF=SAME=12x(2-x)=-12(x-1)2+12.-120,当x=1时,SCEF有最大值,为12,故错

69、误.综上,所有正确结论的序号是.考点一 动点问题 4.2021 达州如图,在边长为6的等边三角形ABC中,点E,F分别是边AC,BC上的动点,且AE=CF,连接BE,AF交于点P,连接CP,则CP的最小值为 .答案4.2 图示速解 在等边三角形ABC中,ACB=EAB=60,AC=AB.又AE=CF,ACFBAE,EBA=FAC,EPA=PBA+PAB=EAP+PAB=60,APB=120.如图,以AB为底边在AB下方构造等腰三角形OAB,使AOB=120,则点P在以点O为圆心,OA长为半径的圆上.连接OC交O于点G,易知当点P与点G重合时,CP最小.易得AO=2 3,ACO=30,CAO=9

70、0,CO=2AO=4 3,CG=OC-OG=2 3,即CP的最小值为2 3.考点一 动点问题 5.2022扬州节选如图,在ABC中,BAC=90,C=60,点D在BC边上由点C向点B运动(不与点B,C重合),过点D作DEAD,交射线AB于点E.(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系,并说明理由:点E在线段AB的延长线上且BE=BD;点E在线段AB上且EB=ED.(2)若AB=6.当=32 时,求AE的长.考点一 动点问题 答案5.思路导图【参考答案】(1)AE=2BE.理由:DEAD,AED+EAD=90,BDE+BDA=90.BE=BD,AED=BDE,考点一 动点问题 答

71、案EAD=BDA,AB=BD,BE=BD=AB,AE=2BE.AE=2EB.理由:如图(1),BAC=90,C=60,ABC=30.EB=ED,EDB=ABC=30,AED=EDB+ABC=60.又EDA=90,EAD=30,AE=2ED,AE=2EB.【点拨】+=+=90考点一 动点问题 答案(2)过点D作DFAB于点F,如图(2).FAD=DAE,AFD=ADE=90,AFDADE,=,=.=32,DFAF=32.设DF=3m,则AF=2m.在RtBDF中,BF=3DF=3m.AB=6,BF+AF=6,即3m+2m=6,m=65,AF=125,DF=6 35,考点一 动点问题 答案AD=2

72、+2=6 75.AFDADE,=,即1256 75=6 75,AE=215.考点二 折叠问题 6.2020金华如图(1),在ABC中,AB=4 2,B=45,C=60.(1)求BC边上的高线长.(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连接EF,将AEF沿着直线EF折叠得到PEF.如图(2),当点P落在边BC上时,求AEP的度数.如图(3),连接AP,当PFAC时,求AP的长.答案6.【参考答案】(1)过点A作ADBC于点D.在RtABD中,AD=ABsin 45=4 2 22=4,BC边上的高线长为4.考点二 折叠问题 答案(2)由折叠的性质可知AEFPEF,AE=EP.AE=BE,BE=

73、EP,EPB=B=45,AEP=B+EPB=90.由(1)可知,在RtADC中,AC=sin60=8 33.PFAC,PFA=90.由折叠的性质可知AEFPEF,AFE=PFE=45,则AFE=B.EAF=CAB,EAFCAB,=,即 4 2=2 28 33,AF=2 3.在RtAFP中,AF=PF,则AP=2AF=2 6.考点二 折叠问题 7.2020 荆州如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC边上的一点,将ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将ADF沿着AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时SGFHSAFH=23.(1)求证:EGCGFH;(2)求AD的

74、长;(3)求tanGFH的值.答案7.【参考答案】(1)证明:四边形ABCD是矩形,B=D=C=90.由折叠知,AGE=B=90,AHF=D=90,GHF=C=90,EGC+HGF=90,GFH+HGF=90,EGC=GFH,EGCGFH.考点二 折叠问题 答案(2)SGFHSAFH=23,且GFH和AFH等高,GHAH=23,由折叠知,AG=AB=GH+AH=20,AD=AH,GH=8,AH=12,AD=AH=12.(3)在RtADG中,DG=22=202122=16,设DF=FH=x,则GF=16-x,GH2+HF2=GF2,82+x2=(16-x)2,解得x=6,HF=6,在RtGFH中

75、,tanGFH=86=43.【另解】根据=,直接求=即可专项强化14 三角形中考新趋势题 数学文化 拓视野 1.2021 宿迁改编九章算术中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其池面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在池塘的中央,高出水面的部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C处(示意图如图),水深和芦苇长各多少尺?则该问题中的水深是 尺.答案1.12(数形结合思想)设芦苇长AC=AC=x尺,则水深AB=(x-1)尺,由题意知CB=1210=5(尺),在

76、RtACB中,CB2+AB2=AC2,即52+(x-1)2=x2,解得x=13,即芦苇长13尺,水深为12尺.数学文化 拓视野 2.2021 岳阳九章算术是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线长度恰好为1丈.问门高、宽各是多少(1丈=10尺,1尺=10寸).如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .答案2.x2+(x-6.8)2=102 由题意可知AC=1丈=10尺,6尺8寸=6.8尺.由门高AB为x尺,可知门宽BC为(x-6.8)尺.根据勾股定理,得AB2+BC2=AC2,故x2+

77、(x-6.8)2=102.数学文化 拓视野 3.2022宜宾数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,书中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为S=14 22(2+222)2.现有周长为18的三角形的三边满足abc=432,则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 .答案3.3 根据abc=432,可设a=4x,b=3x,c=2x,则4x+3x+2x=18,解得x=2,a=4x=8,b=3x=6,c=2x=4,S=14 42 82(42+

78、82622)2=14 (16 64484)=3 15.新定义试题 练迁移 4.2022 苏州定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .答案4.6 若底边BC的长是腰长的2倍,则腰长为1.5,1.5+1.5=3,不符合三角形三边关系;若腰长是底边BC长的2倍,则腰长为6,符合题意.【易错】易忽略三角形三边关系而错解新定义试题 练迁移 5.2020 雅安对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2

79、=.答案5.20 ACBD,AOD=AOB=BOC=COD=90,由勾股定理得,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AD2+BC2.AD=2,BC=4,AB2+CD2=22+42=20.开放性试题 提思维 6.2022河北改编平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是 .答案6.7(答案不唯一,2d5且1+5+1+1d,解得2dEAF,与之矛盾,假设不成立.若AEFGCF,则GFC=AFE=EFG=60,在RtAEF中,EAF=30,tanEAF=33.而由CD=2,AD=4可知tanEAF=12,产生矛盾,假设不成立,GCF与AEF不全等.